精品解析：天津市滨海新区塘沽第六中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

塘沽六中2024—2025第一学期期中学业质量调查九年级数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕顶点A逆时针旋转80°后得到△A，则∠CA的度数为（ ） A. 45° B. 80° C. 125° D. 130° 4. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点H，若∠AOC＝60°，OH＝1，则弦AB的长为( ) A. 2 B. C. 2 D. 4 5. 将抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（　　） A. y=3（x﹣3）2﹣3 B. y=3x2 C. y=3（x+3）2﹣3 D. y=3x2﹣6 6. 一元二次方程的两根为和，则的值为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 7. 据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的参观人数为14.4万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 10. 如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解x的范围是（　　） 　x … ﹣3 ﹣2　 ﹣1　 0　 1　 … 　y … ﹣11 ﹣5　 ﹣1　 1　 1　 … A. B. C. D. 11. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点刚好落在边上，且，则的度数为（　） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线的对称轴为直线，如果关于x的方程的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ） A. B. C. 1 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 抛物线的顶点坐标是_______． 14. 某小组同学，新年时每人互送贺年片一张，已知全组共送贺年片72张，则这个小组共有______人． 15. 如图，已知圆心角，则圆周角的度数是______． 16. 已知抛物线的图象开口向下，则m的取值范围是________． 17. 已知抛物线经过两点，则t的值为_____． 18. 如图，在 Rt△ABC 中，C 为直角顶点，∠ABC=20°，O 为斜边的中点，将 OA 绕着点 O 逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）至 OP，当△BCP 恰为轴对称图形时，θ的值为________________． 三、解答题（共7小题，共66分） 19. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 20. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）线段的长为______； （2）画出绕原点O点顺时针旋转的图形，并写出、、的坐标； （3）求的面积． 21. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的解析式： （2）写出此函数的开口方向、顶点坐标、对称轴． 22. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD． 23. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售利润为y元. (1)分析数量关系填表： 每台售价(元) 30 31 32 …… 30+x 月销售量(件) 180 170 160 …… _____ (2)求y与x之间的函数解析式和x的取值范围 (3)当售价x(元/件)定为多少时，商场每月销售这种商品所获得的利润y(元)最大？最大利润是多少？ 24. 在中，，将绕点C顺时针旋转，得，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为． （1）如图①，连接AD，若，，，求AD的长； （2）如图②，连接BD，若，求证：． 25. 如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽六中2024—2025第一学期期中学业质量调查九年级数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义求解. 【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意. 故选C. 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心. 2. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、在时是二次函数，故该选项不符合题意； C、符合二次函数定义，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C 3. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕顶点A逆时针旋转80°后得到△A，则∠CA的度数为（ ） A. 45° B. 80° C. 125° D. 130° 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝45°，根据旋转的性质得到∠BA＝80°，结合图形计算即可． 【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠CAB＝45°， 由旋转的性质可知，∠BA=80°， ∴∠CA＝∠CAB+∠BA＝125°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键． 4. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点H，若∠AOC＝60°，OH＝1，则弦AB的长为( ) A. 2 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt△AOH中，由∠AOC＝60°，解直角三角形求得AH＝，然后利用垂径定理解答即可. 【详解】解：∵OC⊥AB于H， ∴AH＝BH， 在Rt△AOH中，∠AOC＝60°，OH＝1， ∴AH＝OH＝， ∴AB＝2AH＝2 故选A. 【点睛】本题考查了垂径定理以及解直角三角形，难度不大，掌握相关性质定理是解题关键． 5. 将抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（　　） A. y=3（x﹣3）2﹣3 B. y=3x2 C. y=3（x+3）2﹣3 D. y=3x2﹣6 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减，即可得出. 【详解】解：抛物线向右平移3个单位, 得到的抛物线的解析式是 故选A. 【点睛】本题主要考查二次函数的平移，解题关键是掌握平移变化规律：左加右减，上加下减. 6. 一元二次方程的两根为和，则的值为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键． 根据韦达定理进行求解即可． 【详解】解：由韦达定理可知． 故选：B． 7. 据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的参观人数为14.4万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该展览中心5月份的参观人数=该展览中心3月份的参观人数×（1+参观人数的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案；本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵，， ∴． 故选：B． 9. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程得到关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：将代入方程 得：，解得：m=． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，将已知方程的一个根代入方程得到新的方程是解答本题关键． 10. 如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解x的范围是（　　） 　x … ﹣3 ﹣2　 ﹣1　 0　 1　 … 　y … ﹣11 ﹣5　 ﹣1　 1　 1　 … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，”由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， ∴方程的一个近似根x的范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 11. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点刚好落在边上，且，则的度数为（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解． 【详解】解：， ， ， 将绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 12. 如图，抛物线的对称轴为直线，如果关于x的方程的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称轴方程是：． 根据抛物线与抛物线的对称轴相同，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程有一个根为4， ∴抛物线与x轴的一个交点为， 抛物线的对称轴为直线 抛物线的对称轴也是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为 ∴方程的另一个根为 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 抛物线的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点．熟练掌握的顶点坐标为是解题的关键． 根据的顶点坐标为，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，顶点坐标为， 故答案为：． 14. 某小组同学，新年时每人互送贺年片一张，已知全组共送贺年片72张，则这个小组共有______人． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设这个小组有x人，根据题意可知每人需要送出张贺年片，再根据全组共送贺年片72张列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个小组有x人，则每人需送出张贺年片， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：9． 15. 如图，已知圆心角，则圆周角的度数是______． 【答案】##39度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是注意是在同圆或等圆中．根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半计算即可． 【详解】解：∵， 故答案为：． 16. 已知抛物线的图象开口向下，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据题意该二次函数的图像开口向下，故即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 已知抛物线经过两点，则t的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求出对称轴和函数解析式是解题的关键． 先根据对称点求出对称轴为直线，继而求出b，再将代入函数解析式即可． 【详解】解∵抛物线经过两点， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 所以解析式为：， 当，则， 故答案为：． 18. 如图，在 Rt△ABC 中，C 为直角顶点，∠ABC=20°，O 为斜边的中点，将 OA 绕着点 O 逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）至 OP，当△BCP 恰为轴对称图形时，θ的值为________________． 【答案】40°或 100°或 70° 【解析】 【分析】如图1，连接AP，根据直角三角形的判定和性质得到∠APB=90°，当BC=BP时，得到∠BCP=∠BPC，推出AB垂直平分PC，求得∠ABP=∠ABC=25°，于是得到θ=2×20°=40°，当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，根据线段垂直平分线的性质得到CH垂直平分PB，求得∠CHB=90°，根据等腰三角形的性质得到θ=2×50°=100°，当PB=PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，推出PG垂直平分BC，得到∠BGO=90°，根据三角形的内角和得到θ=∠BOG=70°． 【详解】∵△BCP恰为轴对称图形， ∴△BCP是等腰三角形， 如图1，连接AP， ∵O为斜边中点，OP=OA， ∴BO=OP=OA， ∴∠APB=90°， 当BC=BP时， ∴∠BCP=∠BPC， ∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°， ∴∠ACP=∠APC， ∴AC=AP， ∴AB垂直平分PC， ∴∠ABP=∠ABC=20°， ∴θ=2×20°=40°， 当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H， ∵BC=CP，BO=PO， ∴CH垂直平分PB， ∴∠CHB=90°， ∵OB=OC， ∴∠BCH=∠ABC=20°， ∴∠CBH=70°， ∴∠OBH=50°， ∴θ=2×50°=100°； 当PB=PC时，如图3， 连接PO并延长交BC于G，连接OC， ∵∠ACB=90°，O为斜边中点， ∴OB=OC， ∴PG垂直平分BC， ∴∠BGO=90°， ∵∠ABC=20°， ∴θ=∠BOG=70°， 综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为40°或100°或70°， 故答案为40°或100°或70°． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键． 三、解答题（共7小题，共66分） 19. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了公式法，配方法解一元二次方程．熟练掌握公式法，配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 解得，． 20. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）线段的长为______； （2）画出绕原点O点顺时针旋转的图形，并写出、、的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） ，，，由旋转的性质作图如下即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）由旋转的性质作图，然后根据关于原点对称的点坐标的特征作答即可； （3）根据，求解作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：由题意知，， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转作图，关于原点对称的点坐标的特征，坐标与图形等知识．熟练掌握勾股定理，旋转作图，关于原点对称的点坐标的特征，坐标与图形是解题的关键． 21. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的解析式： （2）写出此函数的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【答案】（1） （2）开口向上，坐标顶点为，对称轴 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质， （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数函数解析式的知识进行分析即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵二次函数解析式为：，，， ∴函数图象开口向上，对称轴为， 当时，， ∴顶点坐标为． 22. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD． 【答案】 （1）∵OD⊥AC OD为半径， ∴， ∴∠CBD=∠ABD， ∴BD平分∠ABC； （2）∵OB=OD， ∴∠OBD=∠0DB=30°， ∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°， 又∵OD⊥AC于E， ∴∠OEA=90°， ∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°， 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，BC=AB， ∵OD=AB， ∴BC=OD． 【解析】 【分析】（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC； （2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD． 【详解】（1）略 （2）略 23. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售利润为y元. (1)分析数量关系填表： 每台售价(元) 30 31 32 …… 30+x 月销售量(件) 180 170 160 …… _____ (2)求y与x之间的函数解析式和x的取值范围 (3)当售价x(元/件)定为多少时，商场每月销售这种商品所获得的利润y(元)最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)180﹣10x；(2)y＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数)；(3)每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元. 【解析】 【分析】(1)由数量关系表可知当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，由此填空即可； (2)由销售利润＝每件商品的利润×(180﹣10×上涨的钱数)可得函数解析式，根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值范围； (3)根据二次函数的性质求出最值即可. 【详解】解：(1)由表格可得：当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件， 所以当每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售量为180﹣10x， 故答案为180﹣10x； (2)由题意可知：y＝(30﹣20+x)(180﹣10x)＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数)； (3)由(2)知，y＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数). ∵﹣10＜0， ∴当x＝＝4时，y最大＝1960元； ∴当每件商品的售价为34元时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大，为1960元. 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝时取得. 24. 在中，，将绕点C顺时针旋转，得，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为． （1）如图①，连接AD，若，，，求AD的长； （2）如图②，连接BD，若，求证：． 【答案】（1）10； （2）由（1）知，，由旋转的性质得， ∴是等边三角形． ∴． 又， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据，，则，由旋转的性质得，然后在中利用勾股定理求解即可； （2）由（1）知，，由旋转的性质得，则是等边三角形，得到，则，． 【详解】解：（1）由旋转的性质可得，， ∵， ∴． ∵是旋转得到的， ∴在中，根据勾股定理得． （2） 略 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质． 25. 如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值． 【答案】（1）y═﹣x2+2x+3，y=x+1；（2）P（，）；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，以及点A（﹣1，0）、C（2，3）即可求得二次函数解析式、一次函数解析式； （2）过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，设P（m，﹣m2+2m+3），，则点Q（m，m+1），则可求得线段PQ=﹣（m﹣）2+，最后由图示以及三角形的面积公式表示出△APC 的面积，由二次函数最值的求法可知△APC的面积的最大值； （3）根据两点之间线段最短过点N作与直线x=3的对称点N′，连接DN′，，当M（3，n）在直线DN′上时，MN+MD的值最小. 【详解】（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：， 解得：b=2，c=3． ∴抛物线的解析式为y═﹣x2+2x+3． 设直线AC的解析式为y=kx+b． ∵将点A和点C的坐标代入得，解得k=1，b=1． ∴直线AC的解析式为y=x+1． （2）如图， 设点P（m，﹣m2+2m+3）， ∴Q（m，m+1）， ∴PQ=（﹣m2+2m+3）﹣（m+1）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣）2+， ∴S△APC=PQ×|xC﹣xA| = [﹣（m﹣）2+]×3=﹣（m﹣）2+， ∴当m=时，S△APC最大=，y=﹣m2+2m+3=， ∴P（，）； （3）如图1所示，过点N作与直线x=3的对称点N′，连接DN′，交直线x=3与点M． ∵当x=0时y═3， ∴N（0，3）． ∵点N与点N′关于x=3对称， ∴N′（6，3）． ∵y═﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）． 设DN的解析式为y=kx+b． 将点N′与点D的坐标代入得：， 解得：k=﹣，b=． ∴直线DN′的解析式为y=﹣x+． 当x=3时，n=+=． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，利用二次函数求最值，轴对称的性质.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，求出△APC面积的函数关系式是解（2）的关键，掌握轴对称最短是解（3）的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $