上海市实验学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

上海实验学校高一期中数学试卷 2024.11 一.填空题 1. 知集合A={xl-3<$<3,B=({xl$x>l,则AB= 2. 不等式x-10的解集为 2x+5 3. 若1<a<4,-1<b<3,则a+b的取值范围是 4. 已知m>0,n>0,且m+n=1,则m{②}+n{}的最小值为 5. 若存在x,使得|x-1l+|x+1a成立,则a的取值范围是 6. 已知对于任意xER,x2+2kx-k-2<0,则实数k的取值范围为 7. 已知关于x的方程x2+(m-1)x-6-m=0的两根一个比2大,另一个比2小,则实数m 的范围是 8.关于x的不等式 (x-2){2(4-x)3(x-6) 9. 若实数a、b、c满足 -1,则c的最小值是 x 二.选择题 __. 11. 以下选项中,是集合A=((x.v)|v=3x-5的元素的是( A.(1,-2) B.(2,-1) C.(3,5) D.(4.8) 12. 如果a、b、c满足c<b<a且ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( _ A. ab>ac B. cb2<ab2 C.c(b-a)>0 D. ac(a-c)<0 13. 大气压强p(单位:kPa)与海拔h(单位:m)之间的关系可以由p三poe*"近似描述 其中p.为标准大气压强,k为常数.已知海拔为5000m、8000m两地的大气压强分别为 54kPa、36kPa. 若测得某地的大气压强为72kPa,则该地的海拔约为( )n A.2415 B.2653 C.2871 D.3025 14. 已知p:集合A≠(1或集合B;(2),q:AUB+(1,2,则p是q的( )条件 A.充要 B. 充分不必要 C.必要不充分 D. 既不充分也不必要 三.解答题 15.(1)已知lg2=a,lg3=b,试用a、b表示log15; xy ax-11. 16. 解关于x的不等式; x-2 (1)若m=6,求AUBC (2)若BCC,求m的取值范围 (3)若AOB=BC,求m的取值范围 18. 对给定的正整数n,令O.=((a,a,..,a.)laE(0,1,i=1,2,.,n.对任意 x=(x,x,x)、v-(y,y,y.)e2,定义x与y的距离d(x,)x-y, 设A 是Q.的至少含有两个元素的子集,集合D=(d(x.v)|x去v.x.vEA)中的最小值称为A的 特征值,记作x(A). (1)设A=((0,0,0)(0,1,1)(1,0,1)},B=((0,0,0)(0,0,1)(0,1,1)(1,1,1)),直接写出集合A、 B的特征值; (2)当n=4049时,求证:存在集合A满足对任意xe24o49, 都存在唯一的yEA,使得 d(x,y)<2024,且A中不同元素之间的距离为4049; (3)当n=n.时,且x(A)=2,求A中元素个数的最大值(用n。表示). 四.附加题 19. 已知集合A=(a,a,.,a.}中的元素都是正整数,且a.<a<..<a, 集合A具有 1-1n-1. (1)求证: d a. 17 (2)求集合A中元素个数的最大值,并说明理由 20. 知S=(1,2,.,m,PcS,P≠,i=1、2、..、n,满足:对任意ij,则P≠P, 如果POP,则POP的最小元素不等于P中的最大元素,也不等于P中的最大元素 (1)当m=3时,列出P,P,P; (2)当m三2024时,求出n的最大值并说明理由 参考答案 一.填空题 4 1. [1,3] 3.(0,7) 5. a>2 2( 6.(-1,0] 7. m<4 8. (-00,1]U[3,4)U(5 U(6,+0o) 。 10.1 二.选择题 12.B 13.C 11.A 16.C 三.解答题 15. 【详解】(1) log,15-g151g5+lg31-lg2+lg3 1-+b lg2 lg2 lg2 0 x x y 16. ar-1 【详解】 ①a=1时,解集为(2.+o) #②-时,解集为? 2 ③a>1,解集为(-(2+) 1-a 17. (1)由x-8$x+12>0,得$x<2或x>6,则A=(ixlx<2或x>6 若m=6,则B={$x10<t< 15 },$={$\3<$ .$$$ 所以ABC=(xlx<2或x>3 .解得_# (2)①B时,>1,此时 2m>3m-3 ②B=时,m<1,此时BcC恒成立. 因此ne(-~,)U3] (3) AOB=BUC-CCBCA ①C=时,m<0,若B=,m<1,恒成立.mE(-,0) ②C=时,m<0,若B,m>1,无实数解 ③C:2时,mz0,则 ,无实数解 3m-3<2或2m-2>6 综上所述, ,mE(-co,0) 18. 【详解】(1)由题意可知:对任意x,yEA,且xy,均有d(x,y)>l, 对于集合A:对任意xyEA,且x:y, 均有d(xy)=x-+-y+-y=2,所以 (A)=; #×(_00(0_(0) 集合B: 可得d(x,y)=x-+-y+x-y=1,所以 (B)=1 所以x(A)-2,x(B)=1. (2)对任意a,be{o,ì),则1-ae{o,ì),且la-(11-a)=1,la-bl+l(1-a)-bl=1, 对任意m=(m,m..,mos)e24o049, 定义=(1-m,1-m.l.1-m4ou9)24049' 则d(m,m)=4049, 且对任意x=(,x2...,x4o4o)240o4, 则d(x,n)+d(x,)=4049. 令集合A={m,m,由d(m,m)=4049可知满足A中不同元素之间的距离为 4049, 由题意可知:对任意m,xeA,且m≠x,均有d(x,m)>1, 若d(x,m)<2024,则令y=m,即满足d(x,y)<2; 若d(x,m)>2025,则令y=m,则d(x,)=4049-d(x,m)<2024,即满足 d(x,y)<2024; 综上所述:存在集合A满足对任意xEQ24049, 都存在唯一的yfA,使得 d(x.v)<2024,且A中不同元素之间的距离为4049 (3)由题意可知:对任意x,yeA,且xy,均有d(x,y)>1, 对任意的a=(,2,a,..-,a)EA 即f(a)=(,d2.-,1-an。), 则d(a,f(a))=l-2a =1<2,故f(a)A 即对任意aeA,均能对应一个元素f(a)eA 令集合B={f(a)laEA,则AOB=, 则AUBC2且A和B的元素个数相同 又因为2。中共有2^*}个元素,其中至多一半属于A,故A中至多有2-1个元 素; 设A=(a=,,,.-, l+a+.+a是偶数),此时 B=({a=(,,,.,)。 l+a+.+a是奇数),AB= 都有A中的元素个数为2-1, 易得d(x,y)=-yl+x-y.+-y与&++x+y+.+x+y奇偶 性相同, 可知d(x.y)为偶数, 又xzy,则d(x,y)>0,所以d(x,y)>2, 注意到(0.0.0.0...0.0),(1.10.0.0.0)EA目它们的距离为2 故此时A满足题意 综上所述:A中元素个数的最大值为2-1. 四.附加题 19. 【详解】(1)依题意有:a- (i-1,2,3...n-1),又a<a<... 17 <dn: 可得: (i-1,2,3...n-1) 所以有: 得证; 2 22 a3 an-1 an 17 aan (2)取集合(1.2.3.4.6.10.25)符合要求,猜想最大值为7 -△-得1-<,即,其 假设n>8,首先a>4,由- 次1<--1<1,1--1<.此时as<o矛盾.故假设不成立,最大值 2a1710'a 7 1725 为7. 20. $$)=(1,2,3,B=(1,2,B=(13 2) 7m=22023-1 一方面,考虑O为(2,3,..,2024;的非空子集,令P=(1;UQ,显然满足要求, 另一方面,所有S的子集中,去除(1;和,剩下所有集合分两类,A类:最大 元素为k,1到k-1任取,B类:最大元素为k,1到k-1取法与A互补.两类 集合-一对应,且不能同时取.举例:A=(1.3,5),B=(2,4.5).因此n<22023-1. 综上所述nm2023-1.