精品解析：江苏省南通市如皋市十四校联考2024-2025学年高三上学期教学质量调研（二）数学试题

江苏省南通市如皋市十四校联考2024-2025学年高三上学期教学质量调研（二）数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 某运动员在一次训练中共射击次，射击成绩（单位：环）如下：，，，，，．则下列说法正确的是（ ） A. 成绩的极差为 B. 成绩的第百分位数等于成绩的平均数 C. 成绩的中位数为和 D. 若增加一个成绩，则成绩的方差不变 2. 已知集合，若，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n．设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知x，y为正实数，则可成为“”的充要条件的是（ ） A. B. C. D. 6. 位于如皋市定慧寺内的观音塔，是一座仿明清古塔建筑，具有七层、八角彩绘的外观．观音塔除去塔尖部分可近似视为一个正四棱台，现有一个除去塔尖的观音塔模型，塔底宽20cm，塔顶宽10cm，侧面面积为，据此计算该观音塔模型体积为（ ）． A. 31500 B. 30000 C. 10500 D. 10000 7. 已知动点在拋物线上，定点．圆上两个动点满足，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8. 已知函数的定义域为，对内的任意两个不相等的数，都有且．若实数m，n满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 20 D. 19 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 9. 下列函数中，在区间上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 10. 随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. 事件A与相互独立 C. D. 11. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与椭圆交于A，B两点（其中点A在轴上方），连接．现将平面沿轴向上折叠，使得面面，则下列说法正确的是（ ） A. 当直线的倾斜角为时， B. 当直线的倾斜角为时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 当折叠后的周长为时，直线的斜率为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 已知为虚数单位，复数满足，则______． 13. 某工厂生产的产品的长度l（单位：cm）服从正态分布，按长度l分为5级：为一级，为二级，为三级，为四级，为废品．将一级与二级产品称为优品．对该工厂生产的产品进行随机抽查，每次抽取1个，则抽到优品的概率______（精确到0.1）．若抽出的是优品，则抽查终止，否则继续抽查直到抽到优品，则抽查次数不超过两次的概率为______． 附：， 14. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且的平行线OQ与的角平分线交于，则椭圆的离心率为______． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角，，所对的边分别为a，b，c，点在边上且，． （1）求证：； （2）若，求的最大值． 16. 为调查某地区学生在高中学习中错题订正整理情况与考试成绩的关系．首先对该地区所有高中学生错题订正整理情况进行分值评价，给出得分；再组织考试．从这些学生中随机抽取20名学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩作为样本，得到样本数据，其中和分别表示第个样本错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，计算得． （1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断考试成绩和错题订正整理情况得分的相关程度； （2）已知20个样本中有8个样本的考试成绩低于样本平均数．利用频率估计概率，从该地区所有高中学生中随机抽取4个学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，记抽到考试成绩低于的个数为X，求随机变量X的分布列． 附：相关系数． 17. 在三棱锥中，是边长为的正三角形，，分别为线段，的中点，，平面平面． （1）求证：； （2）若与平面所成角的余弦值为，求二面角的余弦值． 18. 已知函数的导函数为，且． （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知双曲线过点，其渐近线方程为．圆过点、，与轴交于、．记直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为． （1）求双曲线的标准方程； （2）求证：直线和直线的斜率之积为定值； （3）判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市如皋市十四校联考2024-2025学年高三上学期教学质量调研（二）数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 某运动员在一次训练中共射击次，射击成绩（单位：环）如下：，，，，，．则下列说法正确的是（ ） A. 成绩的极差为 B. 成绩的第百分位数等于成绩的平均数 C. 成绩的中位数为和 D. 若增加一个成绩，则成绩的方差不变 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出运动员的极差、平均值、中位数、方差以及第百分位，由此判断四个选项即可． 【详解】A．，极差为，故错误，不符合题意； B．第百分位数，平均数，故正确，符合题意； C．成绩的中位数为，故错误，不符合题意； D．若增加一个成绩，则成绩的方差会变小，故错误，不符合题意； 故选：B． 2. 已知集合，若，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合计算，利用求参数的取值范围. 【详解】由得，. 由得，， ∴或， ∴，解得. 故选：A. 3. 抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n．设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的数量积得到，再由古典概率计算即可. 【详解】且不能作为基底，则，即， 当时，；当时，；当时，； 两次投掷得到点数的总可能性为种， 所以所求的概率. 故选：A． 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由配凑法和诱导公式二得到，再由同角的三角函数关系和二倍角的余弦公式计算可得； 【详解】， 故选：C． 5. 已知x，y为正实数，则可成为“”的充要条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作差法可判断A；构造函数、，利用导数研究其单调性，并结合充分、必要性的定义可判断BD；特值法可判断C. 【详解】对于A，已知x，y为正实数，若，， 则，故A错误； 对于B，由可得：， 令， ，令，解得：， 则在上单调递减， 若，则，故B错误； 对于C，已知x，y为正实数，若，取， 则，故C错误； 对于D，由，则， 令，则， 即在定义域上递增，故， 反之也有成立，满足要求，故D正确. 故选：D. 6. 位于如皋市定慧寺内的观音塔，是一座仿明清古塔建筑，具有七层、八角彩绘的外观．观音塔除去塔尖部分可近似视为一个正四棱台，现有一个除去塔尖的观音塔模型，塔底宽20cm，塔顶宽10cm，侧面面积为，据此计算该观音塔模型体积为（ ）． A. 31500 B. 30000 C. 10500 D. 10000 【答案】C 【解析】 【分析】先根据侧面积求出斜高，然后求出侧棱长和棱台的高，最后由棱台的体积公式求解即可. 【详解】每个侧面面积，侧面的高，则 侧棱长，正四棱台的高， 故选：C． 7. 已知动点在拋物线上，定点．圆上两个动点满足，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】过作抛物线准线的垂线，垂足为，则，利用题中条件得，结合进行求解即可. 【详解】 由题意知圆心与抛物线的焦点重合为，抛物线的准线为， 过作抛物线准线的垂线，垂足为，则， 由，则为中点，故，， 又圆的半径为，则可得， 又， 当三点共线时，取得最小值为， 则可得， 故选：D． 8. 已知函数的定义域为，对内的任意两个不相等的数，都有且．若实数m，n满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 20 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法求得，令，进而可求得，可计算，结合单调性可求得最小值. 【详解】， 令， 和原式比较， ， 都有在上单调递增， ， . 故选：B． 【点睛】思路点睛：通过构造函数得到，进而运算得到是本题的重点，也是解决有些抽象函数问题的常用方法. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 9. 下列函数中，在区间上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，对于， 由，得， 所以在区间上单调递减的函数，A选项正确. B选项，对于， 由，得，不符合题意. C选项，由，得， 且， 所以在区间上单调递减的函数，C选项正确. D选项，对于， 由，得，不符合题意. 故选：AC 10. 随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. 事件A与相互独立 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义，结合独立事件的定义、条件概率的公式逐一判断即可. 【详解】因为与一定互斥，所以A对； 独立，B对． 对． 错， 故选：ABC 11. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与椭圆交于A，B两点（其中点A在轴上方），连接．现将平面沿轴向上折叠，使得面面，则下列说法正确的是（ ） A. 当直线的倾斜角为时， B. 当直线的倾斜角为时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 当折叠后的周长为时，直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于对于A，联立直线和椭圆方程可求出坐标，进而知道点的位置，结合线面垂直的性质定理即可证明；对于B，分别求出和的外接圆半径，进而可求三棱锥外接球半径为，由此可求其外接球的表面积；对于C，易知，联立直线与椭圆，消去，进而由韦达定理可得，结合不等式即可得到范围；对于D，由折叠前折叠后的周长可得，利用两点间的距离公式列出等式，对等式进行变形，构造对偶式，进而弦长可用表示，将韦达定理带入即可求解，进而得到直线的斜率. 【详解】对于A，当倾斜角为时，方程为 此时位于椭圆短轴的一个端点，， 又平面平面平面正确． 对于B，当倾斜角为时，为等边三角形，边长为2， 外接圆半径 假设,则 所以外接圆半径， 三棱锥外接球半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积为B正确． 对于C，设直线AB方程为, 联立得， 所以， 平面面 错． 对于D，如图建系，翻折前原先， 翻折后， 由 ① ②， 联立①② 正确， 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于画出翻折后的图形，利用翻折前及翻折后的等量关系列出式子，再化简求值. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 已知为虚数单位，复数满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘方及除法运算求出复数，进而求出其模. 【详解】由，得，即， 则， 所以. 故答案为： 13. 某工厂生产的产品的长度l（单位：cm）服从正态分布，按长度l分为5级：为一级，为二级，为三级，为四级，为废品．将一级与二级产品称为优品．对该工厂生产的产品进行随机抽查，每次抽取1个，则抽到优品的概率______（精确到0.1）．若抽出的是优品，则抽查终止，否则继续抽查直到抽到优品，则抽查次数不超过两次的概率为______． 附：， 【答案】 ①. 0.2 ②. 0.36 【解析】 【分析】利用正态分布的意计算可得结论. 【详解】由，所以， 优品满足，所以，（第一空）； 抽查次数不超过两次的概率为（第二空）. 故答案为：；. 14. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且的平行线OQ与的角平分线交于，则椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长OQ与交于，则为中点，易得，再结合椭圆得定义可求出，再在中，利用余弦定理求出的齐次式即可得解. 【详解】设的角平分线交轴于点， 延长OQ与交于，则为中点，， ∵，∴， ∵，∴， ，即， 又， 在中，由余弦定理得， 即， ， 即椭圆的离心率. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角，，所对的边分别为a，b，c，点在边上且，． （1）求证：； （2）若，求的最大值． 【答案】（1）证明：方法一：， ， 因为中，， 所以上式， 又因为， 所以， 由正弦定理：得， 所以． 方法二：因为， 由正余弦定理可得， 整理得，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：由正弦的和角公式化简可得，由正弦定理即可证；方法二：由正余弦定理角化边整理即可证； （2）方法一：由角平分线性质，可知BD为的角平分线，设，根据面积相等可得，结合基本不等式即可求；方法二：设，在和 中，分别用余弦定理，可得，结合基本不等式即可求；方法三：设，根据平面向量基本定理可得，两边平方可得，结合基本不等式即可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：因为，即， 又，所以， 所以BD为的角平分线， 设， 则， 所以， 所以， 所以， 又在中，由余弦定理得， 即， 故， 即，当且仅当时等号成立， 故． 方法二：设， 在中，①， 在中，②， 由①②得，，下同法一. 方法三：设，因为， 所以， 两边同时平方得， 即，所以， 所以，下同法一． 16. 为调查某地区学生在高中学习中错题订正整理情况与考试成绩的关系．首先对该地区所有高中学生错题订正整理情况进行分值评价，给出得分；再组织考试．从这些学生中随机抽取20名学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩作为样本，得到样本数据，其中和分别表示第个样本错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，计算得． （1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断考试成绩和错题订正整理情况得分的相关程度； （2）已知20个样本中有8个样本的考试成绩低于样本平均数．利用频率估计概率，从该地区所有高中学生中随机抽取4个学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，记抽到考试成绩低于的个数为X，求随机变量X的分布列． 附：相关系数． 【答案】（1）相关系数，考试成绩和错题订正整理情况得分高度相关 （2）随机变量X的分布列为： x 0 1 2 3 4 p 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的计算公式即可代入求解； （2）根据二项分布概率公式求解概率，即可得分布列． 【小问1详解】 ， 接近考试成绩和错题订正整理情况得分高度相关． 【小问2详解】 考试成绩低于样本平均数的概率记为， 则 x 0 1 2 3 4 p 17. 在三棱锥中，是边长为的正三角形，，分别为线段，的中点，，平面平面． （1）求证：； （2）若与平面所成角的余弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：取中点，连接， 为正三角形，， 为中点，， 面，面面，面面 平面，又面， ，面， 所以面， 又面 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，再由线面垂直的判定定理证明面即可； （2）方法一：建立如图空间直角坐标系，求出平面的一个法向量代入空间线面角公式，再利用余弦值为求出， 再求出面和面的一个法向量，代入空间二面角公式求解即可； 方法二：过作，建立如图所示空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，再由空间线面角公式 解出，然后求出面和面的一个法向量，代入空间二面角公式求解即可； 方法三：由线面垂直得到与平面所成角为，解三角形求值，再过作交于， 过作于，为二面角的平面角，再由勾股定理和余弦的定义求出结果即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：由（1）可知面，以为原点，边上的高为轴，边所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图， ， 设，则，记平面的一个法向量为 ， 令，则， 为平面的一个法向量， ， 与平面所成角余弦值为正弦值为． ， 或， 又． 设面的一个法向量为 ，取，则， ∴为平面的一个法向量， 设面的一个法向量为， ， 取， 为平面的一个法向量， 由图可知二面角的平面为锐角，二面角的余弦值为． 方法二：由（1）面 过作，则，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 设 所以， 设平面的法向量为 ，令得，， 所以为平面的一个法向量， 与平面所成角余弦值为， 与平面所成角正弦值为． ，或 又 因为平面的法向量 设平面的法向量为 ，令得，， ∴为平面的一个法向量， ，下同法一 方法三：由（1）可知面，平面， ，又，，平面， 所以面，平面， 面面， 与平面所成角为，设， ，又为的中点， 在中，， 或，又． 过作交于，过作于，连接， 为二面角的平面角． 因为，所以． 由图可知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为． 18. 已知函数的导函数为，且． （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用赋值法求得，求得解析式，进而可求得切线方程； （2）法一，分，，三种情况分离变量，并求得最值求得的取值范围.法二，令，利用二次求导判断恒成立应满足的条件，进而求得的范围. 【小问1详解】 求导得， 令，则， ，即：． 【小问2详解】 方法一，， ①当时，左边右边，不等式显然成立． ②当时， 令 当时，在上单调递减 ③当时， 令，当时，单调递减； 当时，单调递增． 综上：的取值范围为． 法二，令，， 令，所以恒成立，在上递增． ①若，即对 在单调递减，， 与矛盾，无解，舍去． ②若，即， 在上递增 . 故． ③若即：时， 使得，，即： 即： ，故 综上． 19. 已知双曲线过点，其渐近线方程为．圆过点、，与轴交于、．记直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为． （1）求双曲线的标准方程； （2）求证：直线和直线的斜率之积为定值； （3）判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）证明：方法一：设，圆的半径为，则、， 其中， 而，所以，， 即直线、的斜率之积为定值； 方法二：设、，设圆的半径为， 则，， 则圆的方程为， 将点的坐标代入圆的方程得， 所以，，则 （3）相交，理由：直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，可得， 由韦达定理可得，所以， 所以， 所以点，同理可得点， 所以 所以直线的方程为， 即， 所以直线恒过定点， 由（2）圆的方程为， 即，代入，得， 所以，点在圆内，故直线与圆相交． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）方法一：设，圆的半径为，则、，其中，利用斜率公式可计算出为定值； 方法二：设、，设圆的半径为，求出圆的方程，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，利用斜率公式可计算出为定值； （3）将直线的方程与圆的方程联立，求出点的坐标，同理可得出点的坐标，求出直线的方程，可求出直线所过定点的坐标，判断点与圆的位置关系，可得出结论. 【小问1详解】 由题意可得，所以， 双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $