2.4.2 简单幂函数的图像和性质-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

4.2　简单幂函数的图象和性质 　 第二章　§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 知识目标 1. 了解幂函数的概念．　 2. 通过具体实例，结合y＝x，y＝ ，y＝x2，y＝ ，y＝x3的图 象，理解幂函数图象的变化情况和性质．　 3. 结合幂函数的性质，能利用数形结合的方法解决与幂函数相 关的问题. 素养目标 借助幂函数的图象的学习，培养直观想象素养；通过幂函数的性质的学习，培养逻辑推理素养. 知识点一　幂函数的概念 1 知识点二　幂函数的图象和性质 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　幂函数的概念 返回 问题1.下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？ (1)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数； 提示：y＝x2 问题导思 幂函数的概念 一般地，形如________ (α为常数)的函数，即______是自变量、______是常数的函数称为_________． 新知构建 微思考 如何判断一个函数是幂函数？ 提示：①xα的系数为1.②xα的底数x是自变量．③xα的指数α为常数． y＝xα 底数 指数 幂函数 (1)[多选题]下列函数中是幂函数的是 例1 幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，A是α＝－1的情形，D是α＝－ 的情形，所以A、D都是幂函数；B中x2的系数是2，不是幂函数；易知C不是幂函数．故选AD. √ √ (2)[多选题]若函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值可能是 A．k＝3 B．k＝－3 C．k＝－2 D．k＝2 因为函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，所以k2－k－5＝1，解得k＝－2，或k＝3.故选AC. √ √ 规律方法 求幂函数解析式的依据和常用方法 1．依据：若一个函数是幂函数，则该函数是y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需要满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1. 2．常用方法：使用待定系数法，设幂函数解析式为y＝xα(α为常数)，依据条件求出α.　　 √ 返回 知识点二　幂函数的图象和性质 返回 问题导思 提示：能画出．如下图： (2)通过对5个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？ 提示：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象． 问题3.结合问题2中的5个函数图象，回答问题：当x∈(0，＋∞)时，它们的图象有什么特征？ 提示：幂函数均过(1，1)点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象．对幂函数y＝xα，当α>0，其一定在(0，＋∞)是单调增函数；当α<0，在(0，＋∞)是单调减函数． 1．常见的五种幂函数的图象 新知构建 微提醒 (1)在第一象限内，函数y＝ 的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．(2)在第一象限内，在x＝1右侧，指数越大，幂函数的图象越远离x轴(简记为指大图高)． 2．常见的五种幂函数的性质   y＝x y＝ y＝x2 y＝ y＝x3 定义域 R ___________ R ___________ R 值域 R ___________ ____________ ___________ R 奇偶性 ______ ______ ______ __________ ______ 单调性 增函数 在(0，＋∞)上单调递____，在(－∞，0)上单调递____ 在[0，＋∞)上单调递____，在(－∞，0]上单调递____ ____函数 ____函数 {x|x≠0} [0，＋∞) {y|y≠0} [0，＋∞) [0，＋∞) 奇 奇 偶 非奇非偶 奇 减 减 增 减 增 增 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)．(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上，函数单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．(3)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义．(4)若α为奇数，则幂函数为奇函数，若α为偶数，则幂函数为偶函数． 微提醒 角度1　幂函数的图象 下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是 例2 √ 规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 1．依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． √ (2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c √ 角度2　幂函数的性质的简单应用 比较下列各组中两个数的大小： 例3 解：因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是增函数， 规律方法 1．比较幂的大小的三种基本方法 2 ．利用幂函数单调性比较大小时的注意点 比较大小的实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．　　 直接法 当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较 转化法 当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小 中间量法 当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的 对点练3.比较下列各组中两个数的大小： (1)3.51.7，3.41.7； 解：函数y＝x1.7在(0，＋∞)上单调递增，由3.5>3.4可知，3.51.7>3.41.7. (2)3.50.3，3.40.3； 解：函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，由3.5>3.4可知，3.50.3>3.40.3. (3)3.5－1.6，3.4－1.6； 解：函数y＝x－1.6在(0，＋∞)上单调递减，由3.5>3.4可知，3.5－1.6<3.4－1.6. (4)0.12－0.6，0.11－0.6. 解：函数y＝x－0.6在(0，＋∞)上单调递减，由0.12>0.11可知，0.12－0.6<0.11－0.6. 返回 综合应用 返回 幂函数性质的综合应用 已知幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm是(0，＋∞)上的增函数． (1)求实数m的值； 例4 规律方法 利用幂函数的性质解不等式的步骤 第一步：确定可以利用的幂函数； 第二步：借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； 第三步：解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．　　 对点练4.已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm，且f(x)的图象关于原点对称． (1)求f(x)的解析式； 解：因为函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm为幂函数， 所以m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3， 当m＝2时，f(x)＝x2是偶函数，关于y轴对称，舍去； 当m＝3时，f(x)＝x3是奇函数，关于原点对称， 所以f(x)＝x3. (2)若f(a2＋1)>f(1－a)，求实数a的取值范围． 解：明显f(x)＝x3在R上单调递增， 对于f(a2＋1)>f(1－a)，有a2＋1>1－a， 解得a<－1，或a>0. 所以实数a的取值范围为(－∞，－1)∪(0，＋∞)． 返回 课堂小结 知识 1.幂函数的概念. 2.几种常见幂函数的图象以及幂函数的性质 方法 待定系数法、数形结合法以及分类讨论法 易错误区 对幂函数形式的判断易出错，只有形如y＝xα(α为常数)的函数为幂函数 随堂演练 返回 1．(2024·广东茂名高一期末监测)已知幂函数f(x)＝(m－1)xm2－1，则f(－1)＝ A．－1 B．1 C．－2 D．2 因为f(x)＝(m－1)xm2－1是幂函数，所以m－1＝1，即m＝2，所以f(x)＝x3，f(－1)＝(－1)3＝－1.故选A. √ 2．函数y＝ 的单调递减区间是 A．[0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) √ 3.(2024·山西阳泉高一期末)图中C1，C2，C3分别为幂函数y＝xα1，y＝xα2，y＝xα3在第一象限内的图象，则α1，α2，α3依次可以是 由题图知：α1<0，0<α2<1，α3>1，所以α1，α2，α3依次可以是－1， ，3.故选D. √ 返回 由函数f(x)＝x3在R上单调递增， > 课时测评 返回 1．下列函数是幂函数的是 由幂函数的定义，形如y＝xα，α∈R叫幂函数，对A，y＝ ＝x－3，故A正 确；B、C、D均不符合．故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．已知幂函数f(x)＝(m2－2m－2)·xm2－m－3的图象不经过坐标原点，则m＝ A．－1 B．3 C．1或－3 D．－1或3 √ 因为f(x)是幂函数，所以m2－2m－2＝1，解得m＝－1或3；当m＝－1时，m2－m－3＝－1，f(x)＝ 的图象不经过坐标原点，符合题意；当m＝3时，m2－m－3＝3，f(x)＝x3的图象经过坐标原点，不符合题意．综上，m＝－1符合题意．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，y＝x－1不过(0，0)，故A错误；对于B，x>0时，y＝xa>0，幂函数的图象不可能过第四象限，故B正确；对于C，幂函数y＝x 的定义域为[0，＋∞)，是非奇非偶函数，故C错误；对于D，x＝－1时，y＝－1；x＝1时，y＝1，不是定义域上的减函数，故D错误．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．(新情境)幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布．三国时的刘徽为《九章算术·方田》作注：“田幂，凡广(即长)从(即宽)相乘谓之乘．”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”．幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即xn，函数f(x)＝(2a2－a)xa＋a2－1为幂函数，则a＝____． 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．(开放题)若幂函数f(x)＝xα(α∈R)是奇函数，且在(－∞，0)上单调递减，则α的值可以是__________________(只要写一个即可)． －1(答案不唯一) 幂函数f(x)＝xα(α∈R)是奇函数，可取α为奇数，f(x)＝xα(α∈R)在(－∞，0)上单调递减，可取α为负数，故α可取负奇数(答案不唯一)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3，4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)已知幂函数f(x)＝(2a2＋a)xa满足f(2)＞f(1)． (1)求a的值；(4分) 解：因为f(x)＝(2a2＋a)xa是幂函数， 当a＝－1时，f(x)＝x－1，不满足f(2)> f(1)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若关于x的方程f(x2－2x＋m)＝2有唯一解，求m的值．(6分) 因为方程f(x2－2x＋m)＝2有唯一解， 所以方程x2－2x＋m＝4有唯一解， 所以Δ＝4－4(m－4)＝0，解得m＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(开放题)赵同学在研究幂函数时，发现有的幂函数具有以下三个性质：①奇函数；②值域是R；③在(0，＋∞)上是增函数．则以下幂函数符合这三个性质的有 A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x2 C．f(x)＝x D．f(x)＝ √ √ 对于A，f(x)＝x3是定义域R上的奇函数，增函数，值域为R，故A正确；对于B，f(x)＝x2是定义域R上的偶函数，不符合要求，故B错误；对于C，f(x)＝x是定义域R上的奇函数，增函数，值域为R，故C正确；对于D，f(x)＝ 在(0，＋∞)上单调递减，不符合要求，故D错误．故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．[多选题]已知幂函数f(x)＝(2a－1)xm2－3m＋2，其中a，m∈R，则下列说法正确的是 A．a＝1 B．f(x)恒过定点(1，1) C．若 <m<1时，f(2)<f(1) D．若m＝3时，y＝f(x)关于y轴对称 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(15分)已知幂函数f(x)＝(3m2－m＋1)x9m－2的图象不经过原点． (1)求m的值；(5分) 当m＝0时，f(x)＝x－2的图象不经过原点，符合题意， 所以m＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若a≠0，试比较f(a)与f(a2＋1)的大小．(10分) 解：由(1)得f(x)＝x－2，易得f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数， 所以f(a2＋1)<f(a)． 因为f(－a)＝(－a)－2＝a－2＝f(a)，且f(x)在(0，＋∞)上为减函数， 所以f(a2＋1)<f(－a)＝f(a)． 综上，f(a2＋1)<f(a)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)当x∈[a，＋∞)时，幂函数y＝x2的图象总在y＝x 的图象上方，则a的取值范围为___________． (1，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)已知幂函数f(x)＝(2m2－2m－3)xm. (1)若f(x)的定义域为R，求f(x)的解析式；(5分) 解：因为f(x)＝(2m2－2m－3)xm是幂函数， 所以2m2－2m－3＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2，或m＝－1. (1)因为f(x)的定义域为R，所以m＝2， 故f(x)＝x2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若f(x)为奇函数，∃x∈[1，2]，使f(x)>3x＋k－1成立，求实数k的取值范围．(10分) 返回 解：因为f(x)＝(2m2－2m－3)xm是幂函数， 所以2m2－2m－3＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2，或m＝－1. 所以1－3>k－1，即k<－1. 故实数k的取值范围为(－∞，－1)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 函 数 返回 提示：y＝.这些解析式都是幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数为常数． 2．依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝或y＝或y＝x3)来判断．　　 f(x)＝|x|的定义域为R，又f(－x)＝＝|x|＝f(x)，故f(x)＝|x|为偶函数，当x>0时，f(x)＝x，结合幂函数的图象可知，C正确．故选C. 4．函数f(x)＝x3，比较两个函数值的大小： f _______f . 4．[多选题]下列说法正确的是 A．若幂函数y＝f(x)过点，则f(x)＝x－4 B．函数y＝2x表示幂函数 C．若y＝(m2－2m－2)xm表示递增的幂函数，则m＝3 D．若幂函数y＝f(x)过点(－3，－27)，则f ＝ － 8．已知幂函数f(x)＝x ，若f(a－1)<f(8－2a)，则a的取值范围是________． 幂函数f(x)＝x ＝，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)且在定义域上单调递减，所以需满足a－1>8－2a>0，解得3<a<4. － － 解：由(1)得f(x)＝x， 12．已知幂函数f(x)＝x ，且0<a<b<1，则下列选项中正确的是 A．f(a2)< f(b2)< f < f B．f < f < f(b2)<f(a2) C．f(a2)< f (b2)< f < f D．f < f(a2)< f < f(b2) 因为>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又因为0<a<b<1，所以>>1>b2>a2>0，所以f > f > f (b2)> f(a2)．故选C. 因为当x∈[a，＋∞)时，幂函数y＝x2的图象总在y＝x 的图象上方，所以当x∈[a，＋∞)时，x2>x 恒成立，x2>x ⇒⇒⇒⇒x>1，因此要想x∈[a，＋∞)时，x2>x 恒成立，只需a>1，因此a的取值范围为(1，＋∞)． $$