第一章 重点题型强化（二） 破解不等式“恒成立”与”能成立“问题-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

重点题型强化(二) 破解不等式“恒成立”与 “能成立”问题 　 第一章　 预备知识 知识目标 会利用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题． 素养目标 通过不等式的恒成立、能成立问题的应用，提升逻辑推理，数学运算等素养． 技法一　判别式法解决恒(能)成立问题 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，则实数k的取值范围为___ _____________； 例1 当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意．当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，因为y<0恒成立，所以其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点．所以 解得－1<k<0.综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}． {k|－1<k≤0} (2)已知不等式kx2＋2kx－(k－2)<0能成立，则实数k的取值范围为________________． {k|k<0，或k>1} 规律方法 判别式法解决恒(能)成立问题的类型和注意点 问题 等价表示式 判别式法 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上能成立 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集不为∅ a>0，或 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上能成立 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集不为∅ a<0，或 规律方法 注意：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0.　　 对点练1．(1)若不等式 <1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是 A．(1，3) B．(－∞，1) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(3，＋∞) √ (2)若集合A＝{x|ax2－ax＋1≤0}≠∅，则实数a的取值集合为_____________________． 技法二　数形结合法解决恒(能)成立问题 (1)若当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0恒成立，则实数m的取值范围为___________； 例2 (2)若当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值范围为___________． 记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)有解，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.故实数m的取值范围为(－5，＋∞). (－5，＋∞) 规律方法 数形结合法解决恒(能)成立问题的类型和注意点 若是一元二次不等式，则利用方程根的分布及数形结合思想求解． 1．当a>0时，ax2＋bx＋c>0在x∈[m，n]上恒成立⇔Δ<0或 规律方法 2．当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈[m，n]上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝m，x＝n时的函数值同时小于0. 3．当a>0时，ax2＋bx＋c>0在x∈[m，n]上能成立⇔ym>0或yn>0(注意结合图象检验端点是否有意义). 注意 当a<0时，结合a>0时的情况利用方程根的分布及数形结合思想求解． 对点练2．当1≤x≤2时，关于x的不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围为__________． {m|m<－5} 技法三　分离参数法解决恒(能)成立问题 已知函数y＝x2－2tx＋t2－6t＋1. (1)若y≤0的解集为[b，1]，求实数b，t的值； 解：因为y≤0的解集为[b，1]，即b，1是方程x2－2tx＋t2－6t＋1＝0的根， 例3 规律方法 分离参数法解决恒(能)成立问题的类型和注意点 1．不等式(恒)能成立问题，借助不等式的性质，若能将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则利用分离参数法解题． 2．(1)m>y恒成立⇔m>ymax；m<y恒成立⇔m<ymin. (2)对一些简单的能成立(有解)问题，可转化为m>ymin，或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围．　　 对点练3．若∀x∈[－1，2]使得不等式2x2－x＋2－a>0成立，则实数a的取 值范围为____________． 技法四　主参换位法解决恒成立问题 不等式mx2－mx－6＋m<0对满足1≤m≤3的所有m均成立，求实数x的取值范围． 解：mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0， 设y＝(x2－x＋1)m－6，该函数为以m为自变量的一元一次函数， 因为1≤m≤3，所以该函数的图象为一条线段， 要使y＝(x2－x＋1)m－6<0对满足1≤m≤3的所有m均成立， 例4 规律方法 主参换位法解决恒成立问题的类型和注意点 已知参数的取值范围，求变量的取值范围时，常常把变量和参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原参数的取值范围求解．　　　 对点练4．对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，则实数x的取值范围为__________________． 返回 课堂小结 知识 能够利用判别式法、数形结合法、分离参数法、主参换位法解决恒(能)成立问题 方法 1.判别式法、数形结合法、分离参数法、主参换位法.2.等价转化和数形结合的思想方法 易错 误区 注意端点值的取舍 随堂演练 返回 1．已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≥0的解集为R，则 A．a2－b≥0 B．a2－b≤0 C．a2－4b≥0 D．a2－4b≤0 由不等式x2＋ax＋b≥0的解集为R，得函数y＝x2＋ax＋b的图象开口向上，且与x轴至多有一个交点，即Δ＝a2－4b≤0.故选D. √ 2．已知mx2＋mx＋1≥0对一切实数恒成立，则实数m的取值范围是 A．0<m≤4 B．0≤m≤1 C．m≥4 D．0≤m≤4 √ 3．若关于x的不等式x2－4x－2－a≥0在{x|1≤x≤4}内有解，则实数a的取值范围是 不等式x2－4x－2－a≥0在 内有解等价于1≤x≤4时，a≤(x2－4x－2)max.当1≤x≤4时，(x2－4x－2)max＝－2，所以a≤－2.故选A. √ 4．若对任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3<0成立，则实数a的取值范围是________． 返回 (－∞，0) 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 预 备 知 识 返回 (－∞，0)∪ 或　　 由题意，得a<＝＋在x∈[－3，－1]上恒成立．令m＝，则m∈，a<3m2＋m在m∈上恒成立．二次函数y＝3m2＋m图象的对称轴为直线m＝－，故当m∈时，y随m的增大而减小，所以当m＝－时，y有最小值为3×－＝0，故a<0. $$