4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 知识 目标 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型．　2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义．　3.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律. 素养 目标 通过三种函数的增长特征的实际应用，培养数学建模素养；通过三种函数增长快慢的比较，培养直观想象素养. 观察函数y＝x2，y＝2x，y＝log2x在区间(0，＋∞)上的图象，思考以下几个问题： 问题1.三个函数在区间(0，＋∞)上的图象有什么特点？ 提示：三个函数在区间(0，＋∞)上的图象都是上升的，即单调递增． 问题2.当x趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？ 提示：三个函数的增长速度差异很大，其中y＝2x增长速度最快，y＝log2x增长速度最慢． 1．指数函数、对数函数、幂函数图象的特征 　　函数 特征　　 y＝ax (a>1) y＝logbx (b>1) y＝xc (x>0，c>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x增大逐渐表现为与y轴“平行” 随x增大逐渐表现为与x轴“平行” 在(0，＋∞)上，随x的增大，图象平稳上升 2．y＝ax(a>1)，y＝logbx(b>1)，y＝xc(x>0，c>0)不同增长情况比较 随着自变量x的增大，y＝ax的函数值增长远远大于y＝xc的函数值增长；而y＝xc的函数值增长又远远大于y＝logbx的函数值增长，即尽管它们在(0，＋∞)上都是增函数，但增长速度不在一个档次上，在(0，＋∞)上总存在一个x0，当x>x0时，logbx<xc<ax． 3．三种函数的增长趋势 当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快． 当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快． 当x>0，c>0时，幂函数y＝xc是增函数，并且当x>1时，c越大其函数值的增长就越快． 当底数a>1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，人们称这种现象为“指数爆炸”． 学生用书↓第116页 [微提醒]　(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型． 下列函数中，随着自变量x的增大，增长速度最快的是(　　) A．y＝2 024x B．y＝x2 024 C．y＝log2 024x D．y＝2 024x 答案：A 解析：比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快．故选A. 常见的函数模型及其增长特点 1．线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． 2．指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”． 3．对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． 4．幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．　　 对点练1.下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的衰减情况的叙述正确的是(　　) A．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变慢 B．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变快 C．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变慢 D．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变快 答案：C 解析：由函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的图象以及性质知函数f(x)，g(x)，h(x)的衰减速度均逐渐变慢．故选C. 应用一　指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数； (2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2 025)，g(2 025)的大小． 解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)因为g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4， g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024， 所以f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)， f(10)>g(10)． 所以1<x1<2，9<x2<10. 所以x1<8<x2<2 025. 从图象上知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)； 当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数， 所以f(2 025)>g(2 025)>g(8)>f(8)． 用图象法判断指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 判断指数函数、对数函数和幂函数增长快慢时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．　　 对点练2.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较． 解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)由已知，以x1，x2为分界点， 当0<x<x1时，g(x)>f(x)； 当x1<x<x2时，f(x)>g(x)； 当x>x2时，g(x)>f(x)； 当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)． 学生用书↓第117页 应用二　函数增长模型的选取 随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示(其中第4年为预估人数，仅供参考)： 建立平台第x年 1 2 3 4 会员个数y(千人) 14 20 29 43 (1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台x(x∈N＋)年后平台会员人数y(千人)，并求出你选择模型的解析式：①y＝＋b(t>0)，②y＝d·logrx＋s(r>0，且r≠1)，③y＝m·ax＋n(a>0，且a≠1)； (2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过k·(k>0)千人，依据(1)中你选择的函数模型求k的最小值． 解：(1)从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①， 因为函数增长的速度越来越快， 所以选择③y＝m·ax＋n(a>0，且a≠1)， 代入表格中的三组数据可得 解得 所以y＝8·＋2，x∈N＋. (2)由(1)可知f(x)＝8·＋2，x∈N＋， 故不等式8·＋2≤k·对x∈[1，＋∞)恒成立， 所以k≥＋＝2·＋8·对x∈[1，＋∞)恒成立， 令＝t，则t∈， 所以g(t)＝2t2＋8t，t∈， 因为g(t)在单调递增， 所以g(t)≤g＝， 所以k≥，所以kmin＝. 所以k的最小值为. 不同函数模型的选取标准 1．线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律． 2．指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧上升的变化规律． 3．对数函数增长模型适合于描述增长速度逐渐平缓的变化规律．　　 对点练3.学校为鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位：分钟)的函数关系，要求如下：(1)函数的图象接近图示；(2)每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；(3)每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；(4)每天最多得分不超过6分．现有以下三个函数模型供选择：①y＝kx＋b(k>0)，②y＝k·1.2x＋b(k>0)，③y＝klog2＋n(k>0)． (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由； (2)根据你对(1)的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； (3)已知学校要求每天得分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟(结果保留整数)． 解：(1)从题图看应选择增长速度先快后慢的函数模型，故选y＝klog2＋n(k>0)． (2)将(0，0)，(30，3)代入解析式得到 即 解得k＝3，n＝－3，即y＝3log2－3. 当x＝90时，y＝3log2(6＋2)－3＝6， 满足每天得分最高不超过6分的条件． 所以函数的解析式为 y＝ (3)由y＝3log2－3≥4.5， log2≥2.5＝log22， 得＋2≥2＝4≈5.657， 得x≥54.855， 所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟． 知识 三种函数模型的增长差异 方法 数形结合法和转化的思想方法 易错误区 实际问题要注意函数的定义域并作答 学生用书↓第118页 1．下列函数中，随x的增大，y增长速度最快的是(　　) A．y＝1 B．y＝x C．y＝3x D．y＝log3x 答案：C 解析：结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象(图略)可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.故选C. 2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A．y＝2x－2 B．y＝(x2－1) C．y＝log2x D．y＝logx 答案：B 解析：由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合．故选B. 3．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(　　) A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2x C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x 答案：D 解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D. 4．函数y＝x2与函数y＝ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的是________． 答案：y＝x2 解析：作出y＝x2与y＝ln x的图象(图略)，通过比较图象可得．课时测评32　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．下列函数中，随着x(x>1)的增大，函数值的增长速度最快的是(　　) A．y＝8lg x B．y＝x8 C．y＝ D．y＝9×8x 答案：D 解析：当x＞1时，指数函数增长最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数y＝9×8x的增长速度最快．故选D. 2．若x∈(1，2)，则下列结论正确的是(　　) A．2x>x>lg x B．2x>lg x>x C．x>2x>lg x D．x>lg x>2x 答案：A 解析：因为x∈(1，2)，所以2x>2，x∈(1，)，lg x∈(0，1)，所以2x>x>lg x．故选A. 3．了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防该细菌、病毒引起的疾病传播有重要的意义．科研团队在培养基中放入一定量某种菌落进行研究，设经过时间x(单位：min)，菌落的覆盖面积为y(单位：mm2)．团队提出如下假设：①当x≥0时，y≥0；②y随x的增加而增加，且增加的速度越来越快．则下列选项中，符合团队假设的模型的是(　　) A．y＝kax(k>0，a>1) B．y＝logbx＋c(b>1，c>0) C．y＝kx＋b(k>0，b>0) D．y＝p＋q(p>0，q>0) 答案：A 解析：根据题意，对于①x≥0，y≥0，即函数的定义域为[0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，A、B、C、D均符合；对于②y随x的增加而增加，且增加的速度越来越快，即函数为增函数，且增加的速度越来越快，故A符合，B、C、D均不符合．故选A. 4．2023年，通过市场调查，得到肉价在8～11四个月的市场平均价f(x)(单位：元/斤)与时间x (单位：月)的数据如下： x 8 9 10 11 f(x) 28.00 33.99 36.00 34.02 现有三种函数模型：f(x)＝bx＋a，f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝＋a，找出你认为最适合的函数模型，并估计12月份市场的肉价的平均价为(　　) A．28 B．25 C．23 D．21 答案：A 解析：第二组数据近似为(9，34)，第四组数据近似为(11，34)，根据四组数据(8，28)，(9，34)，(10，36)，(11，34)，可得f(x)先增后减，而f(x)＝bx＋a和f(x)＝＋a都是单调函数，故不符合要求，所以选f(x)＝ax2＋bx＋c，由第二组数据(9，34)，和第四组数据(11，34)，可得f(x)的图象关于x＝10对称，故x＝12时，f(12)＝f(8)＝28.故选A. 5．[多选题]已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的描述中，不正确的是(　　) A．在上，随着x的逐渐增大，y1增长速度越来越快于y2 B．在上，随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1 C．当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度一直快于y3 D．当x∈(2，＋∞)时，y2>y1 答案：ACD 解析： 在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x的图象，如图所示，在上，随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快，且快于y1，故A错误；B正确；对于C，当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度不是一直快于y3，故C错误；对于D，当x∈(2，4)时，y2<y1，故D错误．故选ACD. 6．三个变量y1，y2，y3随变量x的变化情况如表： x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5.00 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 其中随x呈对数函数型变化的变量是__________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________． 答案：y3　y2　y1 解析：根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y2随着x的增大而迅速增加，呈指数函数型变化；y3随着x的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化；y1相对于y2的变化要慢一些，相对于y3要快，呈幂函数型变化． 7．(开放题)下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________． ①y＝10×1.05x，②y＝20＋x1.5，③y＝30＋lg(x－1)，④y＝50. 答案：① 解析：由于指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移是越来越快，所以y＝10×1.05x是更为有前途的生意． 8．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一段时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期，现有一杯88 ℃的热水，放在24 ℃的房间中，如果水温降到40 ℃需要20分钟．那么在16 ℃环境下，水温从40 ℃降到22 ℃时，需要________分钟． 答案：20 解析：由已知可得Ta＝24，T0＝88，T＝40，t＝20，由题意知40－24＝(88－24)×，即＝，解得h＝10，当Ta＝16，T0＝40，T＝22时，由22－16＝(40－16)·，得＝.解得t＝20. 9．(10分)已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，设两个函数的图象相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1<x2.若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并说明理由． 解：依题意知，x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值． 当x<x1时，2x>x3，即f(x)>g(x)； 当x1<x<x2时，f(x)<g(x)； 当x>x2时，f(x)>g(x)． 因为f(1)＝2，g(1)＝1，f(2)＝22＝4，g(2)＝23＝8， 所以x1∈[1，2]，即a＝1. 又因为f(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，f(8)<g(8)， f(9)＝29＝512，g(9)＝93＝729，f(9)<g(9)， f(10)＝210＝1 024，g(10)＝103＝1 000，f(10)>g(10)， 所以x2∈[9，10]，即b＝9. (10—12每小题5分，共15分) 10．若2<x<4，则(　　) A．2x>x2>log2x B．2x>log2x>x2 C．x2>2x>log2x D．x2>log2x>2x 答案：C 解析： 画出y＝2x，y＝x2，y＝log2x在区间(2，4)上的图象如图所示，由图可知x2>2x>log2x.故选C. 11．[多选题]以下四种说法中，正确的是(　　) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．已知a>2，则对任意的x>0，ax>logax C．对任意的x>0，xa>logax D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xa>logax 答案：BD 解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错误；对于B，因为a>2，所以结合指数函数及对数函数图象，易知ax>logax，故B正确；对于C，当0<a<1时，结合图象易知xa>logax不恒成立，故C错误；对于D，当a>1时，结合图象易知，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xa>logax，但若去掉限制条件“a>1”，则结论不成立，故D正确．故选BD. 12．[多选题]从今年起x(x∈，x∈N)年内，小李的年薪y(万元)与年数x的关系是y＝2＋0.2x，小马的年薪y(万元)与年数x的关系是y＝0.5＋1.2x，则下列判断正确的有(　　) A．5年后小马的年薪超过小李 B．6年后小马的年薪超过小李 C．小马的年薪比小李的增长快 D．小马的年薪比小李的增长慢 答案：BC 解析： 易知指数函数的增长速度更快，故C正确，D错误；画出函数y＝2＋0.2x(x≥0)和y＝0.5＋1.2x(x≥0)的图象，从图象中观察，可知在这8年内先是小马的年薪低，后来超过了小李，令f(x)＝2＋0.2x－0.5－1.2x＝1.5＋0.2x－1.2x，则f(5)＝2.5－≈0.012>0，f(6)＝2.7－≈－0.29<0，所以存在x0∈(5，6)，当x>x0时，2＋0.2x<0.5＋1.2x，由于x∈N，所以至少经过6年，小马的年薪超过小李的年薪，故A错误，B正确．故选BC. 13．(15分)某公园池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系如下表所示： 时间t/月 1 2 3 4 浮萍的面积y/m2 3 5 9 17 现有以下三种函数模型可供选择：①y＝kt＋b，②y＝p·at＋q，③y＝m·logat＋n，其中k，b，p，q，m，n，a均为常数，a>0且a≠1. (1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出y关于t的函数解析式；(5分) (2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到15 m2，31 m2，211 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，写出一种t1，t2，t3满足的等量关系式，并说明理由．(10分) 解：(1)应选择函数模型②y＝p·at＋q. 依题意，得解得 所以y关于t的函数解析式为y＝2t＋1. (2)t1＋t2＝t3＋1. 理由：依题意，得2t1＋1＝15，2t2＋1＝31，2t3＋1＝211， 所以2t1＝14，2t2＝30，2t3＝210， 所以2t1·2t2＝420， 所以2t1·2t2＝2t1＋t2＝420＝2×2t3＝2t3＋1， 所以t1＋t2＝t3＋1. 14．(5分)[多选题]甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．则以下结论正确的是(　　) A．当x>1时，甲走在最前面 B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面 C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲 答案：BCD 解析： 路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系是：f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数和对数型函数模型，四个函数的大致图象如图所示：当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，故A错误；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x＝1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，故 B正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，故D正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，故C正确．故选BCD. 15．(15分)下表表示的是某款车的车速与刹车距离的关系，试分别就y＝a·ekx，y＝axn，y＝ax2＋bx＋c三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为120 km/h时的刹车距离． 车速(km/h) 10 15 30 40 50 刹车距离/m 4 7 12 18 25 车速/(km/h) 60 70 80 90 100 刹车距离/m 34 43 54 66 80 解：若以y＝a·ekx为模拟函数，将(10，4)，(40，18)代入函数关系式，得 解得 所以y＝2.422 8e0.050 136x， 以此函数关系式计算车速为90 km/h，100 km/h时，停车距离分别为220.8 m，364.5 m，与实际数据相比，误差较大． 若以y＝axn为模拟函数，将(10，4)，(40，18)代入函数关系式，得 解得 所以y＝0.328 9x1.085， 以此函数关系式计算车速为90 km/h，100 km/h时，停车距离分别为43.39 m，48.65 m，与实际情况误差也较大． 若以y＝ax2＋bx＋c为模拟函数，将(10，4)，(40，18)，(60，34)代入函数关系式，得解得 所以y＝x2＋x＋2， 以此函数关系式计算车速为90 km/h，100 km/h时，停车距离分别为68 m，82 m，与前两个函数相比，此函数更符合实际情况． 当x＝120时，y＝114，即当车速为120 km/h时，刹车距离为114 m. 学科网（北京）股份有限公司 $$