4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较（教学课件）数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数、幂函数、对数函数增长比较，通过房价增长与攒钱的面试题导入，结合前情回顾的函数图像及参数影响知识，搭建学习支架，帮助学生衔接旧知探究增长差异。 其亮点是“数”与“形”结合分析，用表格数据和图像对比增长特征，融入投资方案、沙尘暴治理等实例。运用数学眼光观察现实问题，数学思维辨析增长规律，数学语言表达结论，助力学生掌握特性及应用，便于教师高效备课和清晰教学。

4.4 指数函数、幂函数、对数 函数增长的比较 第四章 对数运算与对数函数 北师大版2019必修第一册·高一 前情回顾 y=bx y=ax y x O 1 b a 底数a越大， 其函数值增长就越快. 底数a越小， 其函数值增长就越快. y=logax y=logbx y x O 1 a b x＞1时，n越大其 函数值增长就越快. y=x2 y=x3 y x O 1 指数函数、对数函数图像及对图像影响 幂函数图像及对图像影响 学 习 目 标 1 2 3 通过作图,借助数学软件体会并了解指数函数、幂函数、对数函数的增长特性.(重点、难点) 掌握幂函数与对数函数、幂函数与指数函数的增长差异，并能解决相关问题.(难点) 能正确的选择函数模型解决实际问题． 读教材 阅读课本P119-P120，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“指数函数、幂函数、对数函数的增长比较”吧！ 1.指数函数、幂函数、对数函数的增长快慢是怎样的？ 2.如何借助信息技术分析三种函数的增长趋势？ 3.在实际问题中如何选择函数模型？ 新课引入 一家世界500强公司曾经出过这样的一道面试题: 现在有一套房子,价格200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固定能一共攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款,收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子? A.5年 B.7年 C.8年 D.9年 E.永远买不起 房子每年的价格满足什么函数关系?这个人每年的收入之和满足什么函数关系?你能给出这道题的答案吗? 学习过程 01 03 02 目录 1 指、对、幂三种函数的增长差异 3 课堂小结 2 题型训练 问题提出 这三个函数的函数值的增长快慢有什么差别呢? 我们知道，指数函数()，对数函数()，幂函数(，)在定义域内都是增函数，当的值趋近于正无穷大时，的值都是趋近于正无穷大． 分析理解 函数即“数与形”的结和，因此我们可以从两方面来分析三种函数的增长差异。 首先来观察幂函数与对数函数的增长情况的比较 这三种函数的函数值的增长快慢有什么差别呢? 方法1：从“数”的角度看 2 4 8 16 32 64 128 256 2 4 6 8 10 12 14 16 新知探究 幂函数与对数函数增长速度的比较 幂函数比对数函数增长快,而且快很多. 1 2 4 8 16 32 64 128 2 2 2 2 2 2 2 2 接着，用表示函数值的增长量，更直观的观察函数增长趋势： 抽象概括 方法2：从“形”的角度看 从图像上看，当x∈(0,4)时，增长更快. 当x∈(16,)时，比增长更快； A(4,2) B(16,4) 新知探究 思考：()，(),当b很接近于1,c很接近于0时，幂函数与对数函数的增长规律是怎样的呢？ 实际上，当b>1,c>0时,即使b很接近于1,c很接近于0,都有y=xc比y=logbx增长快. > 新知探究 指数函数与幂函数增长速度的比较 指数函数比幂函数增长快,而且快很多. 从“数”的角度看 2 1 接下来，观察指数函数与幂函数函数的增长情况的比较 新知探究 实际上，当a很接近于1，c很大，都有比增长快. 思考：当a很接近于1，c很大，比较指数函数（a>1与幂函数（c>0）增长快慢. 新知探究 思考：三种增函数，，，增加快慢的差别 1 2 4 y=2x y=x2 y=log2x 16 4 ①对数函数增长最慢 ②在(0,2)内，幂函数比指数函数增长快； 在(4,)内，指数函数比幂函数增长快 归纳总结 指数爆炸 直线上升 对数增长 归纳总结 幂函数、指数函数、对数函数三种函数的增长快慢比较 函数值的增长特征 随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常称为“指数爆炸” 开始阶段增长较快，但随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢。 称为“对数增长” 当时，n越大，其函数值的增长就越快。当时，函数值匀速增大，称为“直线上升” 函数值增长快慢的比较 归纳总结 知识延伸 当大于某一值时，指对幂函数的关系？ (1)指数函数与幂函数：当x＞0，n＞0，时，可能开始时有，但由于指数函数是“爆炸型”函数，故当x大于某一个确定值x0后，就一定有； (2)对数函数与幂函数：当x＞0，n＞0，时，可能开始时有，但由于对数函数增长会逐渐趋于平缓，故当x大于某一个确定值x0后，就一定有. 综上，总会存在一个x0，当x＞x0时，有. 牛刀小试 判一判：(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何时候,函数都比增长得快.(　　) (2)三类增长型的函数模型在上均为增函数.(　　) (3)函数与图像交点的个数是2.(　　) × × √ 学习过程 01 03 02 目录 1 指、对、幂三种函数的增长差异 3 课堂小结 2 题型训练 题型训练 题型一 指、对、幂增速的判断 练习1：三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如表: x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则关于x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是( 　) A. y1,y2,y3 B. y2,y1,y3　　　　C. y3,y2,y1 D. y3,y1,y2 C 题型训练 解析：由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较,可知指数函数增长最快,对数函数增长最慢,由题中表格可知,y1是幂函数,y2是指数函数,y3是对数函数,故选C. x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 题型一 指、对、幂增速的判断 题型训练 题型二 增长曲线的选择 练习2：高为 H、满缸水量为 V0 的鱼缸的轴截面如图所示. 现其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出. 若鱼缸水深为 h 时鱼缸内水的体积为 V，则函数 V = f (h)的大致图象是 (　　) B 分析：当 h = H 时，体积是V0，故排除A，C项；h 由 0 到 H 变化的过程中，V 的变化刚开始时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图象，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图象，综合分析可知选 B 项. 函数增长快慢对函数曲线的影响： 随着自变量的增大，如果函数值增长得越来越快，则函数的图象越“陡”，类似于指数函数的图象；如果函数值增长得越来越慢，则函数的图象越“缓”，类似于对数函数的图象. 题型训练 练习3：为了治理沙尘暴,A市政府大力加强环境保护,其周边草场绿色植被面积每年都比上一年增长10.4%,那么经过x年绿色植被的面积为y,则y=f(x)的图象大致为(　　) 解:由已知条件可得函数关系y=f(x)=a(1+10.4%)x,a为草场绿色植被的初始面积,故选D. 题型二 增长曲线的选择 D 题型训练 题型三 根据函数不同增长特点比较大小 练习4：比较下列各组数的大小: 分析：先观察各组数值的特点,再考虑构造适当的函数,利用函数的性质或图象进行求解. 题型训练 题型三 根据函数不同增长特点比较大小 练习4：比较下列各组数的大小: 分析：先观察各组数值的特点,再考虑构造适当的函数,利用函数的性质或图象进行求解. 解：(2)令函数y1=x2,y2=log2x,y3=2x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图象如图,然后作直线x=0.3,此直线必与上述三个函数图象相交.由图象知log20.3<0.32<20.3. 题型训练 题型三 根据函数不同增长特点比较大小 练习4：比较下列各组数的大小: 分析：先观察各组数值的特点,再考虑构造适当的函数,利用函数的性质或图象进行求解. O 题型训练 题型四 根据函数不同增长特点解不等式 练习5：若不等式在内恒成立，求实数的取值范围． 解 ：在同一坐标系中作和的图象： 要使在内恒成立， 只需在的图像的上方，于是， ∵时，，∴只要时， ∴，即，又，所以， 故取值范围为． 题型训练 题型五 函数增长模型的应用 练习6：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案? 题型训练 题型五 对数的实际应用 解:令第天，回报为元. 方案一：方案二：；方案三：.列出每天收益，如下表： 第天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 方案一 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 方案二 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 方案三 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 204.8 409.6 题型训练 题型五 对数的实际应用 按照天数累计收益列表如下： 第天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 方案一总收益 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 方案二总收益 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 方案三总收益 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.6 显然通过表格可以看出： 投资1-6天选择方案一； 投资7天选择方案一、方案二均可； 投资8-10天选择方案二； 投资11天及以上选择方案三． 学习过程 01 03 02 目录 1 指、对、幂三种函数的增长差异 3 课堂小结 2 题型训练 课堂小结 幂函数、指数函数、对数函数三种函数的增长快慢比较 函数值的增长特征 随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常称为“指数爆炸” 开始阶段增长较快，但随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢。 称为“对数增长” 当时，n越大，其函数值的增长就越快。当时，函数值匀速增大，称为“直线上升” 函数值增长快慢的比较 感谢聆听! 解:(1)∵函数y1=为R上的减函数,且,∴. ∵函数y2=在(0,+∞)上是增加的,且, ∴.∴. (1); (2)0.32, log20.3, 20.3; (3). (1); (2)0.32, log20.3, 20.3; (3). 解：(3)可分别视为函数f(x)=,g(x)=,h(x)=x2,当x=时的函数值,在同一坐标系内分别作出这三个函数的图象,由图象易知g>f>h,即. (1); (2)0.32, log20.3, 20.3; (3). $