4.3.1 对数函数的概念&4.3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§3　对数函数 3．1　对数函数的概念 3．2　对数函数y＝log2x的图象和性质 知识 目标 1.通过具体实例，了解对数函数的概念．　2.能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数y＝log2x的图象，并掌握函数y＝log2x的性质．　3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)，并会求指数函数或对数函数的反函数. 素养 目标 通过学习对数函数y＝log2x的图象，培养直观想象素养；借助对数函数y＝log2x的性质应用，培养逻辑推理素养. 知识点一　对数函数的概念 问题1.某种物质的细胞进行分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，则1个这样的细胞分裂x次后得到的细胞个数y如何表示？反之，如果知道一个细胞经过x次分裂后得到了1 024个细胞，该如何求解x的值呢？在第几次开始，细胞个数超过100万个？ x 1 2 3 … 10 … 20 … y 2 4 8 … 1 024 … 1 048 576 … 提示：y＝2x.根据指数与对数的相互转化，我们知道y＝2x可以化为x＝log2y，根据对数的运算，我们便可得到是在第20天开始细胞个数超过100万个． 学生用书↓第107页 1．对数函数的概念 一般将函数y＝logax(a＞0，且a≠1)称为对数函数，其中x为自变量，a为底数． 2．对数函数的基本性质 (1)定义域是(0，＋∞)；(2)图象过定点(1，0)． 3．特殊的对数函数 常用对数函数 以10为底的对数函数y＝lg__x 自然对数函数 以无理数e为底的对数函数y＝ln__x [微思考]　对数函数的解析式有何特征？ 提示：(1)对数函数的系数为1.(2)自变量x在真数的位置上，且真数只能是一个x.(3)底数a的取值范围是a>0，且a≠1. (1)[多选题]下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) A．y＝logπx B．y＝logx C．y＝log4x2 D．y＝log2(x＋1) (2)已知对数函数f(x)的图象过点P(8，3)，则f ＝________． 答案：(1)AB　(2)－5 解析：(1)根据对数函数的定义知，y＝logπx，y＝logx是对数函数，故A、B正确；而y＝log4x2，y＝log2(x＋1)不符合对数函数的定义，故C、D错误．故选AB. (2)设对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，因为f(x)的图象过点P(8，3)，所以3＝loga8，所以a3＝8，a＝2.所以f(x)＝log2x，所以f ＝log2＝log22－5＝－5. 判断一个函数是对数函数的依据 　　 对点练1.(1)[多选题]下列函数中为对数函数的是(　　) A．y＝log(－x) B．y＝logxx2 C．y＝ln x D．y＝log(a2＋a＋2)x(a是常数) (2)若函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则a的值是(　　) A．1或2 B．1 C．2 D．a>0，且a≠1 答案：(1)CD　(2)C 解析：(1)对于A，真数是－x，故A不是对数函数；对于B，y＝logxx2，真数是x2，不是x，并且底数不是常数，故B不是对数函数；对于C，ln x的系数为1，真数是x，故C是对数函数；对于D，底数a2＋a＋2＝＋>1，真数是x，故D是对数函数．故选CD. (2)因为函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，所以a2－3a＋3＝1，a>0，且a≠1，解得a＝1，或a＝2，所以a＝2.故选C. 知识点二　反函数 问题2.在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝log2x的图象，观察这两个函数的图象间有怎样的关系？ 提示：y＝2x与y＝log2x的图象如图，y＝2x与y＝log2x的图象关于y＝x对称． 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)； 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1) 的反函数是指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)． 即它们互为反函数． [微思考]　y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，这两个函数的定义域和值域有什么关系呢？ 提示：y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域和值域互换． (链教材P111例2、例3)写出下列函数的反函数： (1)y＝10x；(2)y＝； (3)y＝log2x；(4)y＝logx. 解：(1)因为指数函数y＝10x的底数是10，所以它的反函数是对数函数y＝lg x. (2)因为指数函数y＝的底数是，所以它的反函数是对数函数y＝logx. (3)因为对数函数y＝log2x的底数是2，所以它的反函数是指数函数y＝2x. (4)因为对数函数y＝logx的底数是，所以它的反函数是指数函数y＝. 学生用书↓第108页 反函数的性质特征 1．同底的指数函数、对数函数互为反函数． 2．反函数的性质： (1)对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； (2)坐标关系：若函数y＝f(x)图象上有一点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数图象上，反之若点(b，a)在反函数图象上，则点(a，b)必在原函数图象上．　　 对点练2.若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1，3)，则f(log28)＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：依题意，函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数是y＝ax，即函数y＝ax的图象过点(1，3)，则a＝3，f(x)＝log3x，于是得f(log28)＝log3(log28)＝log33＝1，所以f(log28)＝1.故选B. 知识点三　对数函数y＝log2x的图象和性质 问题3.类比指数函数y＝2x的图象，你能用两种不同的方法作出函数y＝log2x的图象吗？ 提示：能．法一：描点法． 先列表(如表) x … 1 2 4 8 … y＝log2x … －2 －1 0 1 2 3 … 再作图(如图) 法二：由指数函数的图象得到对数函数的图象． 由于对数函数x＝logay和指数函数y＝ax所表示的x和y这两个变量之间的关系是一样的，因而在同一平面直角坐标系中函数x＝log2y和y＝2x的图象是一样的(如图①②)． 对于对数函数，习惯上，通常用x表示自变量，y表示函数值，因此把x轴和y轴的字母表示互换，就得到y＝log2x的图象(如图③)．习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，因此将图象翻转，使x轴在水平位置，得到通常的y＝log2x的图象(如图④)． 问题4.根据你作出的函数y＝log2x的图象，你能得到哪些性质呢？ 提示：函数y＝log2x的图象位于y 轴的右侧；从靠近y轴最下端的位置逐渐上升，过点(1，0)，继续上升，函数值越来越大，直至无穷． 函数y＝log2x的图象与性质 图象特征 函数性质 过点(1，0) 当x＝1时，y＝0 在y轴的右侧 定义域是(0，＋∞) 向上、向下无限延展 值域是R 在直线x＝1右侧，图象位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图象位于x轴下方 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 函数图象从左到右是上升的 是(0，＋∞)上的增函数 [微提醒]　函数y＝log2x的图象位于y 轴的右侧，永远不和y轴相交． (1)(链教材P112例4)比较log2(a2＋a＋1)与log的大小； (2)(链教材P113例5)求使不等式log(x＋1)>log(3－x2)成立的实数x的集合． 解：(1)log＝－log2＝log2， 又因为a2＋a＋1＝＋≥， 所以log2(a2＋a＋1)≥log2， 所以log2(a2＋a＋1)≥log. (2)原不等式可化为log2(x＋1)<log2(3－x2)， 因为函数y＝log2x(x>0)为单调增函数， 故原不等式可化为 即解得－1<x<1， 故使不等式成立的x的集合为{x|－1<x<1}． 函数y＝log2x单调性的应用 函数y＝log2x在(0，＋∞)上是单调递增的，利用单调性可以比较对数值的大小，解不等式，求函数值域．　　 对点练3.(1)比较与 的大小； (2)解不等式log2(2－x)>－2. 解：(1)因为函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，且6.5>4.5>1， 所以log26.5>log24.5>0， 所以>. (2)由log2(2－x)>－2可得log2(2－x)>log2， 所以所以x<， 所以不等式的解集为. 学生用书↓第109页 函数y＝log2x性质的综合应用 已知函数f(x)＝2－log2x，x∈. (1)求函数f(x)的值域； (2)设g(x)＝[f(x)]2－f(x2)，求g(x)的最值及相应的x的值． 解：(1)因为f(x)＝2－log2x在上是减函数， 又f(1)＝2－log21＝2，f(4)＝2－log24＝2－2＝0， 所以函数f(x)的值域是. (2)因为g(x)＝[f(x)]2－f(x2)＝4－4log2x＋(log2x)2－(2－log2x2) ＝(log2x)2－2log2x＋2＝(log2x－1)2＋1. 又函数g(x)的定义域满足得1≤x≤2，所以g(x)的定义域是[1，2]， 所以0≤log2x≤1.所以当log2x＝0，即x＝1时，g(x)有最大值g(1)＝2； 当log2x＝1，即x＝2时，g(x)有最小值g(2)＝1. 解答与对数函数y＝log2x有关的复合函数最值问题时的关注点 1．针对函数的解析式合理变形化简，并注意复合函数的定义域求解． 2．分清楚对数函数的底数，根据底数的大小确定其单调性． 3．注意换元法、整体思想等在解题中的运用．　　 对点练4.已知f(x)＝(log2x)2－2log2x＋4，x∈[2，4]． (1)设t＝log2x，x∈[2，4]，求t的最大值与最小值； (2)求f(x)的值域． 解：(1)因为函数t＝log2x在区间[2，4]上是单调递增的，所以当x＝4时，tmax＝log24＝2，当x＝2时，tmin＝log22＝1. (2)令t＝log2x，则f(x)＝g(t)＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3， 由(1)得t∈，因为函数g(t)在上是单调增函数， 所以当t＝1，即x＝2时，f(x)min＝3；当t＝2，即x＝4时，f(x)max＝4， 故f(x)的值域为. 知识 1.对数函数以及反函数的概念.2.对数函数y＝log2x的图象与性质 方法 待定系数法、数形结合法 易错误区 忽视对数函数中隐含的条件：真数大于0，底数大于0且不等于1 1．[多选题]下列函数为对数函数的是(　　) A．f(x)＝log(m－1)x(m>1，且m≠2) B．f(x)＝lg x3 C．f(x)＝ln x D．f(x)＝ln x＋e 答案：AC 解析：形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数为对数函数，对于A，由m>1，且m≠2，可知m－1>0，且m－1≠1，故A符合题意；对于B，不符合题意；对于C，符合题意；对于D，不符合题意．故选AC. 2．f(x)＝log2x的反函数是(　　) A．y＝ax B．y＝2x C．y＝logx2 D．y＝4x 答案：B 解析：根据指数函数与对数函数的关系，可得函数f(x)＝log2x的反函数为y＝2x.故选B. 3．log23.6与log425的大小关系为________． 答案：log425>log23.6 解析：因为log425＝log25，所以log25>log23.6，即log425>log23.6. 4．不等式log2x－2≥0的解集为________． 答案：[4，＋∞) 解析：由log2x－2≥0，得log2x≥log24，解得x≥4，故不等式log2x－2≥0的解集为[4，＋∞)． 课时测评29　对数函数的概念　对数函数y＝log2x的图象和性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为(　　) A．y＝log2x B．y＝2log4x C．y＝log2x，或y＝2log4x D．不确定 答案：A 解析：设函数为y＝logax(a>0，且a≠1)，依题可知，2＝loga4，解得a＝2.故选A. 2．若对数函数f(x)的图象经过点(4，－2)，则它的反函数g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝2x B．g(x)＝ C．g(x)＝4x D．g(x)＝x2 答案：B 解析：设f(x)＝logax，函数图象过点(4，－2)，即f(4)＝loga4＝－2，即a＝，f(x)＝logx，它的反函数g(x)的解析式为g(x)＝.故选B. 3．设P＝2log23，Q＝log23，R＝log25，则(　　) A．R<Q<P B．P<R<Q C．Q<R<P D．R<P<Q 答案：C 解析：因为P＝2log23＝log232＝log29>log28＝3，Q＝log23<log24＝2，R＝log25<log28＝3，R＝log25>log24＝2，所以Q<R<P.故选C. 4．方程log(x2－9)＝log(4x－4)的解为(　　) A．x＝1或x＝5 B．x＝－1 C．x＝1 D．x＝5 答案：D 解析：依题意得即解得x＝5.故选D. 5．[多选题]使log(2x－3)>－2成立的一个充分不必要条件是(　　) A．x> B．x<或x>3 C．2<x<3 D．3<x< 答案：CD 解析：因为log(2x－3)>－2，所以log2(2x－3)<2＝log24，所以0<2x－3<4，解得不等式的解集为.根据题意，题目答案所对应的集合必须是所求集合的真子集．故选CD. 6．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________． 答案：1 解析：由题意得a2－a＋1＝1，解得a＝0，或1，又a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1. 7．不等式log2x<3的解集是____________． 答案：(0，8) 解析：因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，由log2x<3＝log28可得0<x<8.因此不等式log2x<3的解集为(0，8)． 8．若点P(4，2)在函数f(x)＝logax的图象上，点Q 在f(x)的反函数图象上，则m＝　. 答案：－2 解析：因为点P(4，2)在函数f(x)＝logax的图象上，所以2＝loga4，a2＝4，又a>0，且a≠1，所以a＝2，所以f(x)＝log2x，所以f(x)的反函数为y＝2x，又因为点Q 在y＝2x图象上，所以＝2m，得m＝－2. 9．(10分)已知对数函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax， (1)求f 的值；(4分) (2)解不等式f >f(2m－1)．(6分) 解：(1)因为函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数， 所以解得a＝2， 所以f(x)＝log2x，所以f ＝log2＝－1. (2)因为f(x)＝log2x在定义域(0，＋∞)上单调递增， 所以由f >f(2m－1)， 可得到解得<m<1， 所以不等式f >f(2m－1)的解集为. (10—12每小题5分，共15分) 10．已知a＝log23，b＝log46，c＝log89，则a，b，c的大小顺序为(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a 答案：C 解析：b＝log46＝log2，c＝log89＝log2，因为3>>，y＝log2x单调递增，所以c<b<a.故选C. 11．[多选题]若函数f(x)＝logx，则下列说法正确的是(　　) A．函数定义域为R B．0<x<1时，y>0 C．f(x)>1的解集为 D．f ＝0 答案：BD 解析：由题意知，f(x)＝logx，对于A，函数定义域为(0，＋∞)，故A错误；对于B，f(x)＝logx在(0，＋∞)上单调递减，当0<x<1时，f(x)＝logx>log1＝0，故B正确；对于C，f(x)＝logx在(0，＋∞)上单调递减，f(x)>1，即logx>log，解得x∈，故C错误；对于D，f ＝f(1)＝log1＝0，故D正确．故选BD. 12．(开放题)写出满足条件“函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(xy)＝f(x)＋f(y)”的一个函数f(x)＝__________． 答案：log2x(答案不唯一) 解析：f(xy)＝f(x)＋f(y)是对数函数模型，f(x)＝log2x满足条件．(答案不唯一) 13．(15分)已知函数f(x)＝b＋logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2，0)和(16，3)． (1)求函数f(x)的解析式；(5分) (2)若函数y＝[f(x)]2－f(x)，求y的最小值．(10分) 解：(1)由题意得解得 所以f(x)＝log2x－1. (2)y＝[f(x)]2－f(x)＝(log2x－1)2－log2x＋1＝(log2x)2－3log2x＋2. 令log2x＝t， 则y＝t2－3t＋2＝－， 故当t＝，即log2x＝，x＝2时，ymin＝－， 所以y的最小值为－. 14．(5分)已知a，b，c∈R，且满足>>1，则(　　) A．log2a>log2b B．log2b>log2a C．log2a2>log2b2 D．log2b2>log2a2 答案：C 解析：由题设知a<b<0，故A、B中对数式无意义，且a2>b2>0，所以log2a2>log2b2，故C正确，D错误．故选C. 15．(15分)已知函数f(x)＝. (1)画出函数y＝f(x)的图象；(4分) (2)写出函数y＝f(x)的单调区间；(4分) (3)当x∈时，函数y＝f(x)的值域为[0，1]，求m的取值范围．(7分) 解： (1)先作出y＝logx的图象，再把y＝logx的图象在x轴下方的部分往上翻折，得到f(x)＝的图象，如图． (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由图可知，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)． (3)由f(x)＝的图象可知f ＝f(2)＝1，f(1)＝0， 由题意结合图象知，1≤m≤2. 故m的取值范围是[1，2]． 学生用书↓第110页 学科网（北京）股份有限公司 $$