第四章 重点突破5 指数、对数函数的综合问题-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦指数、对数型复合函数的图象变换与性质，系统梳理单调性判断与证明、奇偶性应用、最值求解及综合问题处理等核心知识点。通过题型分类（单调性、最值、奇偶性、综合应用）搭建学习支架，结合例题解析、方法总结与对点练，形成从基础到综合的递进脉络。 资料以核心素养为导向，设计亮点突出。每个题型配套“方法与注意点”总结，如单调性证明用定义法、换元法转化求最值，培养逻辑推理与数学运算能力。例题解析详细，如奇函数性质求参数、复合函数单调性“同增异减”规律应用，课中辅助教师分层教学，课后助力学生回顾方法、查漏补缺，提升综合解题能力。

学习目标 1.掌握指数(对数)型函数的图象变换，培养逻辑推理及直观想象的核心素养.　2.掌握指数(对数)型函数的性质，能利用函数性质求解一些综合性问题，培养数学运算的核心素养. 题型一　指数、对数型复合函数的单调性问题 已知函数f(x)＝为奇函数. (1)求a的值； (2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明. 解：(1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R， 所以f(0)＝＝0， 所以a＝－1(经检验，a＝－1时f(x)为奇函数，满足题意). (2)由(1)知f(x)＝＝1－， 函数f(x)在定义域R上单调递增.证明如下：任取x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为x1＜x2，所以＜，所以－＜0， 又＋1＞0，＋1＞0，所以f(x1)＜f(x2)， 所以函数f(x)在定义域R上单调递增. 判断或证明复合函数单调性的方法与注意点 1.方法：一是利用函数单调性定义；二是复合函数单调性的“同增异减”规律. 2.注意：对数函数、指数函数的底数a＞0，且a≠1. 对点练1.(1)设函数f(x)＝在区间上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. (2)函数f(x)＝lo的单调增区间为　　　　. 答案：(1)D　(2)也对) 解析：(1)y＝在R上单调递减，由复合函数单调性可知，t＝x(x－a)＝x2－ax＝－上单调递减，≥1，解得a≥2.故选D. (2)由－2x2＋3x＋5＞0得2x2－3x－5＝(x＋1)＜0，解得－1＜x＜，所以f(x)的定义域是.函数y＝－2x2＋3x＋5的图象开口向下，对称轴为x＝，函数y＝lox在(0，＋∞)上单调递减，则 f(x)的单调递增区间是.(也对) 题型二　指数、对数型复合函数的最值(值域)问题 已知2x≤256且log2x≥. (1)求x的取值范围； (2)在(1)的条件下，求函数f(x)＝log2·log2的最大值和最小值. 解：(1)由2x≤256，得2x≤28，解得x≤8. 由log2x≥，得log2x≥log2，解得x≥， 所以≤x≤8，即x的取值范围为[，8]. (2)由(1)得≤x≤8，所以≤log2x≤3， 又f(x)＝log2·log2＝(log2x－1)(log2x－2)＝－， 所以当log2x＝， 即x＝＝2时，f(x)min＝－； 当log2x＝3，即x＝8时，f(x)max＝2. 故函数f(x)的最大值为2，最小值为－. 学生用书⬇第117页 　　与指数函数、对数函数有关的复合函数最值问题多采用换元法，转化为一元二次函数在给定区间上的最值再解决问题，注意新的定义域. 对点练2.(1)若函数f(x)＝1＋lg x(x∈［，100］)，则函数F(x)＝的值域为(　　) A.［，16］ B. C. D. (2)已知函数f(x)＝ln，g(x)＝－m，若∃x1∈[－1，3]，∀x2∈[－1，2]，使得f(x1)≤g(x2)成立，则实数m的取值范围为　　　　. 答案：(1)D　(2) 解析：(1)函数f(x)＝1＋lg x在［，100］上单调递增，又f＝1＋lg＝1－1＝0，f＝1＋lg 100＝1＋2＝3，故f(x)∈[0，3]，令t＝[f(x)－1]2∈[0，4]，而函数y＝2t在[0，4]上单调递增，则1≤2t≤16，所以函数F(x)＝.故选D. (2)因为x∈[－1，3]，f(x)min＝f(0)＝0，x∈[－1，2]，g(x)min＝g(2)＝－m，根据题意，f(x)min≤g(x)min，即0≤－m，得m≤.所以所求实数m的取值范围为. 题型三　指数、对数型复合函数的奇偶性问题 若函数f(x)＝x2ln(－x)为奇函数，则a＝(　　) A. B. C.1 D.2 答案：C 解析：因为函数f(x)＝x2ln(－x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，而f(－x)＝x2ln(＋x)，则f(x)＋f(－x)＝x2ln(－x)＋x2ln(＋x)＝x2[ln(－x)＋ln(＋x)]＝x2ln [(－x)(＋x)]＝x2ln(x2＋a－x2)＝x2ln a＝0，所以ln a＝0，则a＝1.故选C. 复合函数的奇偶性的判断方法 1.定义法：利用函数奇偶性的定义. 2.性质法：利用奇偶性的性质判断. 对点练3.(多选题)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A.y＝－ln｜x｜ B.y＝x3 C.y＝2｜x｜ D.f(x)＝ 答案：AD 解析：对于A，设g(x)＝－ln｜x｜，且定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且g(－x)＝－ln｜－x｜＝－ln｜x｜＝g(x)，则其为偶函数，当x＞0时，y＝－ln｜x｜＝－ln x，显然其在区间(0，＋∞)上单调递减，故A正确；对于B，根据幂函数y＝x3的性质知其为奇函数，故B错误；对于C，设g(x)＝2｜x｜，且定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，y＝2｜x｜变形为y＝2x，在区间(0，＋∞)上单调递增，故C错误；对于D，画出f(x)的图象，函数f(x)是偶函数，且函数f(x)在上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故D正确.故选AD. 题型四　指数、对数型复合函数性质的综合应用 已知函数f(x)＝log3(1＋x)－log3(1－x). (1)证明：函数f(x)是奇函数； (2)若对任意x∈，t∈，不等式f(x)≥t2＋at－16恒成立，求实数a的取值范围. 解：(1)证明：由得－1＜x＜1，即f(x)的定义域为(－1，1)， 所以f(x)的定义域关于原点对称. 又f(－x)＝log3(1－x)－log3(1＋x)＝－[log3(1＋x)－log3(1－x)]＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数. (2)因为y＝log3(1＋x)和y＝log3(1－x)在上分别是增函数和减函数， 所以f(x)在上为增函数，所以f(x)在上的最小值为f＝－1. 由题知t2＋at－16≤－1对t∈恒成立，即t2＋at－15≤0对t∈恒成立， 所以解得－2≤a≤2， 所以实数a的取值范围是. 1.利用函数奇偶性的定义求出a的值，对函数化简后，再判断函数的单调性. 2.根据其单调性和奇偶性解不等式. 对点练4.已知函数f(x)＝a－为奇函数，a∈R. (1)求a的值； (2)若f＋f＜0恒成立，求实数k的取值范围. 解：(1)函数定义域为R， 因为函数f(x)＝a－为奇函数， 所以有f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0. 又f(－x)＝a－＝a－， 则f(－x)＋f(x)＝a－＋a－＝2a－1＝0，所以a＝. (2)因为函数f(x)＝－为奇函数， 所以f＋f＜0等价于f＜－f＝f， 任取x1，x2∈R，且x1＜x2， f(x1)－f(x2)＝－－＝－＝， 因为x1＜x2，所以0＜＜，则－＜0，＋1＞0，＋1＞0， 则f(x1)－f(x2)＜0， 所以f(x)是R上的单调增函数， 所以－x2＋4x＜x2＋k，即2x2－4x＋k＞0恒成立， 所以Δ＝(－4)2－4×2k＜0，解得k＞2，所以k的取值范围为(2，＋∞). 学生用书⬇第118页 1.函数y＝的单调递增区间为(　　) A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0，1) 答案：A 解析：函数y＝的定义域为R，设u＝1－x，则y＝，因为u＝1－x为减函数，y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，所以y＝在(－∞，＋∞)上是增函数.故选A. 2.已知函数f(x)＝2x＋2－3×4x，若x2＋x≤0，则f(x)的最大值和最小值分别是(　　) A.，0 B.，1 C.， D.3，1 答案：B 解析：由x2＋x≤0，得到－1≤x≤0，令2x＝t∈，则y＝4t－3t2，对称轴t＝，当t＝时，y＝4t－3t2取得最大值，最大值为y＝4×－3×＝，当t＝1时，y＝4t－3t2取得最小值，最小值为y＝4－3＝1，所以f(x)的最大值和最小值分别是，1.故选B. 3.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足f(log2a)－f(loa)≤2f(3)，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，所以f(x)在R上是减函数，f(log2a)－f(loa)≤2f(3)，即f(log2a)＋f(log2a)≤2f(3)，所以f(log2a)≤f(3)，所以log2a≥3＝log223，所以a≥8，即实数a的取值范围为.故选D. 4.已知函数f(x)＝ln＋2，且f＝7，则f＝　　　　. 答案：－3 解析：令g(x)＝f(x)－2＝ln，则g(－x)＋g(x)＝ln ＋ln＝ln＝0，故f(－x)－2＋f(x)－2＝0，所以f＋f＝4，因为f＝7，所以f＝4－7＝－3. 学科网（北京）股份有限公司 $