4.3.3 对数函数y＝logax的图象和性质（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

3．3　对数函数y＝logax的图象和性质 课程内容标准 学科素养凝练 能利用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 通过对对数函数y＝logax的图象和性质的学习，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质 图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过定点(1，0)，即当x＝1时，y＝0 (4)当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 (4)当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 (5)在定义域(0，＋∞)上是增函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 (5)在定义域(0，＋∞)上是减函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)对数函数的定义域为R.(　×　) (2)对数函数的图象在y轴的右侧．(　√　) (3)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　) (4)当a＞1时，若0＜x＜1，则logax＜0.(　√　) 2．函数y＝ln (x－2)的定义域是(　　) A．(－∞，＋∞)　　　　　　　 B．(－∞，2) C．(0，2)　　　　　　　 D．(2，＋∞) D　[由题意可得x－2＞0，即x＞2.] 3．函数y＝logax的图象如下图所示，则实数a的值可能为(　A　) A．5 B. C．　　　　　　　 D． 4．若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为____(－∞，0)____． 5．函数y＝logax＋1(a＞0且a≠1)的图象过定点__(1，1)__． 求下列函数的定义域： (1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log(1－x)5； (3)y＝. 解　(1)为使函数有意义，只需1－x>0，解得x<1， 所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}． (2)为使函数有意义，只需解得x<1，且x≠0， 所以函数y＝log(1－x)5的定义域是{x|x<1，且x≠0}． (3)为使函数有意义，只需 解得<x≤， 所以函数y＝的定义域是. [方法总结]　 1．求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0； (2)根指数为偶数时，被开方数为非负数； (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 2．求函数定义域的步骤 (1)列出使函数有意义的不等式(组)； (2)化简并解出自变量的取值范围； (3)确定函数的定义域． [训练1]　求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝(a＞0，且a≠1). 解　(1)由得 所以x＞－1，且x≠999. 所以函数的定义域为{x|x＞－1，且x≠999}． (2)loga(4x－3)≥0⇒loga(4x－3)≥loga1. 当a＞1时，有4x－3≥1，解得x≥1. 当0＜a＜1时，有0＜4x－3≤1，解得＜x≤1. 综上所述，当a＞1时，函数的定义域为[1，＋∞)；当0＜a＜1时，函数的定义域为(，1]. 比较下列各组数的大小： (1)log与log；(2)log3与log3； (3)loga2与loga3(a＞0，且a≠1). 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：比较两个数的大小． 第二步，精读题目挖已知条件：已知底数、真数、对数函数的单调性． 第三步，建立联系寻解题思路：结合对数函数的单调性与已知条件，完成对两个数的大小比较． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　(1)y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，又因为＜，所以log＞log. (2)方法一　log3－log3 ＝－＝. ∵y＝lg x是增函数，∴lg <lg <0<lg 3. ∴lg lg ＞0，lg －lg ＜0. ∴log3－log3<0.∴log3<log3. 方法二　如图，因为在x∈(1，＋∞)上，y＝logx 的图象在y＝logx图象的上方， 所以log3＜log3. (3)当a＞1时，y＝logax为增函数， 所以loga2＜loga3； 当0＜a＜1时，y＝logax为减函数， 所以loga2＞loga3. [方法总结]　对数值比较大小的常用方法 (1)如果同底，那么可以直接利用单调性求解． (2)如果不同底同真数，那么可以利用图象的高低与底数的大小关系来解决，或利用换底公式化为同底再进行比较． (3)如果底数和真数都不相同，那么常借助中间量1，0，－1等进行比较． (4)如果底数为字母，那