2.2.1 函数概念-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§2　函数 2.1　函数概念 知识目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.　2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.　3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 素养目标 通过学习函数的概念，培养数学抽象素养；借助函数的定义域的求解，培养数学运算素养. 知识点一　函数的概念 问题1.下面两个例子所给出的两个变量是函数关系吗？ (1)某“复兴号”高速列车运行速度到350 km/h后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系是函数关系吗？ (2)如图，是某市某日的空气质量指数变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？ 提示：(1)是.s与t的关系可以表示为s＝350t，此时t的变化范围是数集A1＝{t|0≤t≤0.5}，s的变化范围是数集B1＝{s|0≤s≤175}，对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系s＝350t，在数集B1中都有唯一确定的路程s和它对应. (2)是.t的变化范围是A2＝{t|0≤t≤24}，I的范围是B2＝{I|0<I<150}，对于数集A2中的任一时刻t，按照图中曲线所给对应关系，在数集B2中都有唯一确定的I与之对应.因此I是t的函数. 问题2.上述例子中的函数有哪些共同特征？ 提示：共同特征有：(1)都包含两个非空数集，用A，B来表示；(2)都有一个对应关系；(3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应. 函数的有关概念 函数的定义 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 函数的定义域 集合A称为函数的定义域 函数的自变量 x称为自变量 函数值 与x值对应的y值称为函数值 函数的值域 集合{f(x)}称为函数的值域 [微思考]　(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？(2)函数的值域是集合B吗？ 提示：(1)这种看法不对.符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数. (2)函数的值域是集合B的子集. (1)下列图象中，表示y是x的函数的是(　　) (2)[多选题]下列对应关系f是定义在集合A上的一个函数的是(　　) A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方 学生用书↓第57页 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍 答案：(1)A　(2)AD 解析：(1)由函数定义，对于定义域中任意x值都有唯一y值与其对应，A满足函数定义，B、C、D不满足函数定义.故选A. (2)对于A，(－1)2＝1，02＝0，12＝1，为一一对应关系，f是定义在集合A上的一个函数；对于B，±＝0，±＝±1，集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，f不是定义在集合A上的函数；对于C，A中的元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，f不是定义在集合A上的函数；对于D，1×2＝2，2×2＝4，3×2＝6，4×2＝8，为一一对应关系，f是定义在集合A上的一个函数.故选AD. 判断一个对应关系是否为函数的方法 　　 对点练1.[多选题]下列对应关系是集合A到集合B的函数的为(　　) A．A＝R，B＝，f：x→y＝|x| B.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2 C．A＝，B＝{0}，f：x→y＝0 D.A＝，B＝，对应关系如图所示： 答案：BC 解析：A不是，集合A中的元素0在集合B中没有对应的元素.B是，对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应.C是，对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应.D不是，集合A中的元素3在集合B中没有对应的元素，且A中的元素2在集合B中有5和6两个元素与之对应.故选BC.知识点二　同一个函数 问题3.(1)作出函数y＝x与函数y＝的图象，这两个函数是同一个函数吗？ (2)结合函数的定义，如何判断两个函数是否为同一个函数？ 提示：(1)图象略；不是同个一函数；因为y＝＝x(x≠0)与y＝x的定义域不同.(2)有确定的定义域和对应关系，则此时值域唯一确定，即两个函数是同一个函数. 确定同一个函数的两个要素 前提条件 定义域相同 对应关系完全一致 结论 这两个函数是同一个函数 [微思考]　(1)函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？ (2)定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ 提示：(1)由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可. (2)不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数. (链教材P54例1)[多选题]下列各组函数能表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝，g(x)＝|x| B．f(x)＝x＋1，g(x)＝ C．f(x)＝，g(x)＝· D．f(x)＝x2－2x，g(u)＝u2－2u 答案：AD 解析：对于A，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，即定义域一样，且f(x)＝|x|＝g(x)，即对应关系一样，所以是同一个函数，故A正确；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠1}，定义域不一样，所以不是同一个函数，故B错误；对于C，f(x)的定义域为[2，＋∞)∪(－∞，－2]，g(x)的定义域为[2，＋∞)，二者定义域不一样，所以不是同一个函数，故C错误；对于D，f(x)的定义域为R，g(u)的定义域为R，且对应关系一样，值域一样，所以是同一个函数，故D正确.故选AD. 判断两个函数是否为同一个函数的三个步骤 [注意]　(1)在化简解析式时，必须是等价变形.(2)解析式与用哪个字母表示无关.　　 对点练2.(2024·河北邯郸高一质量检测)[多选题]下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝与g(x)＝x B．f(x)＝x2－3x与g(t)＝t2－3t C．f(x)＝与g(x)＝ D．f(x)＝x0与g(x)＝1 答案：BC 解析：对于A，f(x)＝＝与g(x)＝x对应关系不同，故不是同一个函数，故A不正确；对于B，f(x)＝x2－3x与g(t)＝t2－3t定义域都为R，且对应关系相同，故是同一个函数，故B正确；对于C，当x>0时，f(x)＝＝1，当x<0时，f(x)＝＝－1，所以f(x)＝＝故f(x)＝与g(x)＝是同一个函数，故C正确；对于D，函数f(x)＝x0的定义域为，函数g(x)＝1的定义域为R，两个函数定义域不同，故不是同一个函数，故D不正确.故选BC. 学生用书↓第58页 应用一　求函数的定义域 角度1　已知解析式求定义域 (链教材P55例2)求下列函数的定义域： (1)f(x)＝－；(2)f(x)＝. 解：(1)为使函数有意义，只需自变量x的取值必须满足解得x≤1，且x≠－1， 所以函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}. (2)为使函数有意义，只需自变量x的取值必须满足解得x≤5，且x≠±3， 所以函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}. 已知解析式求函数定义域的一般方法 1.如果f(x)是整式，其定义域是实数集R(通常省略不写). 2.如果f(x)是分式，其定义域是使分母不为0的实数集合. 3.如果f(x)是二次根式(偶次根式)，其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合.　　 4.f(x)＝x0的定义域是{x|x∈R，且x≠0}. 5.如果f(x)是由以上几部分式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合. 对点练3.求下列函数的定义域： (1)y＝＋； (2)y＝； (3)y＝. 解：(1)由题意知，解得3≤x<5， 所以函数的定义域为{x|3≤x<5}. (2)由题意知，解得x≤4，且x≠2且x≠－， 所以函数的定义域为. (3)由题意知|x|－1≠0，解得x≠±1， 所以函数的定义域为{x|x≠±1}. 角度2　求抽象函数的定义域 (1)若函数f(x)的定义域为[－1，3]，则函数f(1－x)的定义域为(　　) A．[－2，2 B．[－2，3] C．[－1，2] D．[－1，3] (2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(－1，0)，则函数f(x)的定义域为(　　) A．(－1，1) B． C．(－1，0) D． 答案：(1)A　(2)A 解析：(1)由题意，要使函数f(1－x)有意义，则－1≤1－x≤3，即－2≤x≤2，所以函数f(1－x)的定义域为[－2，2].故选A. (2)因为函数f(2x＋1)的定义域为(－1，0)，所以－1<x<0，可得－1<2x＋1<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1).故选A. 抽象函数的定义域 1.若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中g(x)∈[a，b]，从中解得x的解集即f(g(x))的定义域. 2.若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由x∈[m，n]可确定g(x)的范围，设 u＝g(x)，则f(g(x))＝f(u)，又f(u)与f(x)是同一函数，所以g(x)的范围即f(x)的定义域. 3.已知f(φ(x))的定义域，求f(h(x))的定义域，先由x的取值范围，求出φ(x)的取值范围，即f(x)中的x的取值范围，即h(x)的取值范围，再根据h(x)的取值范围求出 x的取值范围，即f(h(x))的定义域.　　 对点练4.已知函数f(x)＝，则函数f(3x－2)的定义域为(　　) A． B． C．[－3，1] D． 答案：A 解析：由－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，即函数f(x)的定义域为[－1，3].由－1≤3x－2≤3，解得≤x≤，则函数f(3x－2)的定义域为.故选A. 应用二　求函数的值(或值域) 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R). (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(3))的值和f(g(x))的关系式； (3)求函数g(x)的值域. 解：(1)由f(x)＝，有f(2)＝＝. 又g(x)＝x2＋2，得g(2)＝22＋2＝6. (2)由g(3)＝32＋2＝11，得f(g(3))＝f(11)＝＝. f(g(x))＝＝＝. (3)g(x)＝x2＋2(x∈R)，由x2≥0，则x2＋2≥2， 所以函数g(x)的值域为[2，＋∞). 学生用书↓第59页 [变式探究] 1.(变设问)对于函数g(x)＝x2＋2(x∈R)，若g(m)＝3，求m的值. 解：由题意知g(m)＝m2＋2＝3，则m＝±1. 2.(变设问)若＝4，求x. 解：由题意知＝x2＋3，所以x2＋3＝4，解得x＝±1. 求函数值的方法 1.已知函数解析式求函数值，可分别将自变量的值代入解析式，即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解. 2.已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值(或解析式中的参数值)，只需将函数值代入解析式，建立关于自变量(或参数)的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制.　　 对点练5.已知函数f(x)＝且f(2)＝0. (1)求f(f(1))； (2)若f(m)＝m，求实数m的值. 解：(1)f(x)＝由于f(2)＝0，故2a－1＝0，解得a＝. 故f(x)＝ 所以f(f(1))＝f＝－2. (2)当m≥0时，m－1＝m，解得m＝－2，舍去； 当m<0时，＝m，解得m＝1或－1，其中m＝1不符合题意，舍去； 综上所述，m＝－1. 知识 1.函数的概念.2.判断两函数是同一个函数的方法.3.会求函数的定义域以及函数值(或值域) 方法 定义法和图象法 易错误区 1.判断同一个函数时没有考虑函数的三要素完全相同导致错误.2.化简函数的对应关系时要注意定义域的变化.3.不会用整体代换的思想求抽象函数的定义域 1.下列图形能表示函数图象的是(　　) 答案：D 解析：由函数的定义：任意垂直于x轴的直线与函数的图象至多有一个交点，所以A、B显然不符合，C在x＝0与函数图象有两个交点，不符合函数的定义，只有D符合要求.故选D. 2.[多选题]下列给出的对应关系f，不能确定从集合A到集合B是函数关系的是(　　) 学生用书↓第60页 A．A＝{1，4}，B＝{－1，1，－2，2}，对应关系：开平方 B．A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，对应关系： x 0 1 2 y 1 2 1 C．A＝[0，2]，B＝[0，1]，对应关系： D．A＝R，B＝{1，0}，∀x∈A，y∈B，对应关系：当x为有理数时，对应的y为1，当x为无理数时，对应的y为0 答案：AC 解析：对于A，集合A中的元素1开平方与集合B中的－1和1对应，不满足唯一性，对于C，同样不满足唯一性，故A和C错误；对于B和D，都满足函数概念，故正确.故选AC. 3.函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．{x|x≥－3，且x≠0} B． C．{x|x>－3，且x≠0} D． 答案：A 解析：由题意得x＋3≥0且x≠0，解得x≥－3且x≠0.所以定义域为{x|x≥－3，且x≠0}.故选A. 4.已知f(x)＝－5x＋3，且f(a)＝8，则a的值为　　　　. 答案：－1 解析：因为f(x)＝－5x＋3，且f(a)＝8，所以－5a＋3＝8，解得a＝－1. 课时测评16　函数概念 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.函数f(x)＝的定义域为(　　) A．R B． C． D． 答案：D 解析：令3x－1≥0，解得x≥，所以函数f(x)＝的定义域为.故选D. 2.函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 025的交点个数(　　) A．至少有1个 B．至多有1个 C．仅有1个 D．可能有无数多个 答案：B 解析：当x在定义域内任意取一个值，都有唯一的一个函数值f(x)与之对应，函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 025有唯一交点；当x不在定义域内时，函数值f(x)不存在，函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 025没有交点.函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 025的交点至多有一个.故选B. 3.若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案：B 解析：选项A，定义域为[－2，0]，与条件不符，故A错误；选项B，定义域、值域均与条件相符，故B正确；选项C，不符合函数的定义，在[－2，2]内的任一x的值，在[0，2]内并非只有唯一的y值与之对应，故C错误；选项D，值域与条件不符，故D错误.故选B. 4.已知函数f(x)的对应值如表所示，则f(f(2))等于(　　) x 0 1 2 3 4 5 y 3 6 5 4 2 7 A．4 B．5 C．6 D．7 答案：D 解析：由表可知f(2)＝5，f(5)＝7，所以f(f(2))＝f(5)＝7.故选D. 5.[多选题]下列各选项给出的两个函数中，表示同一个函数的有(　　) A．f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋x0 B．f(x)＝与g(x)＝ C．f(x)＝与g(x)＝()2 D．f(t)＝t·与g(x)＝x· 答案：BD 解析：对于A，函数f(x)＝x＋1的定义域为R，g(x)＝x＋x0的定义域为{x|x≠0}，所以二者不是同一个函数，故A错误；对于B，f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝＝的定义域为{x|x≠0}，二者对应关系也相同，值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以二者表示同一个函数，故B正确；对于C，f(x)＝的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为{x|x≥0}，所以二者不是同一个函数，故C错误；对于D，f(t)＝t·与g(x)＝x·的定义域均为(－∞，0]，对应关系相同，值域均为(－∞，0]，所以二者表示同一个函数，故D正确.故选BD. 6.已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x＋2，则f(g(3))＝　　　　Ｗ. 答案：25 解析：根据题意可知g(3)＝3＋2＝5，则f(g(3))＝f(5)＝52＝25. 7.已知函数f(x)＝，则f(x)的值域是　　　　Ｗ. 答案： 解析：因为x2＋2≥2，所以0<≤，所以f(x)的值域为. 8.设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为　　　　Ｗ. 答案：(－∞，2] 解析：若2∈(－∞，a)，则f(2)＝2，不符合题意.若2∈，则f(2)＝22＝4，符合题意.故a的取值范围为a≤2，即a∈(－∞，2]. 9.(10分) 已知函数f(x)＝＋1，满足f(－2)＝0. (1)求实数a的值；(4分) (2)求当a＝6时，f(4)的值.(6分) 解：(1)已知f(x)＝＋1，f(－2)＝－＋1＝0，解得a＝2. (2)当a＝6时，f(x)＝＋1， 所以f(4)＝＋1＝. (10—12每小题5分，共15分) 10.已知A＝，B＝，下列对应关系不可以作为从A到B的函数的是(　　) A．f：x→y＝2x B．f：x→y＝x2 C．f：x→y＝ D．f：x→y＝ 答案：C 解析：对于A，当1≤x≤2时，y＝2x∈[2，4]，且[2，4]⊆B，A中的对应关系可以作为从A到B的函数；对于B，当1≤x≤2时，y＝x2∈[1，4]，且B＝[1，4]，B中的对应关系可以作为从A到B的函数；对于C，当1≤x≤2时，y＝∈，且B，C中的对应关系不能作为从A到B的函数；对于D，当1≤x≤2时，－3≤x－4≤－2，则y＝∈[2，3]，且[2，3]⊆B，D中的对应关系可以作为从A到B的函数.故选C. 11.已知f(x2－1)的定义域为[0，3]，则f(2x－1)的定义域为(　　) A．[0，1] B． C．∪ D． 答案：B 解析：因为f(x2－1)的定义域为[0，3]，即0≤x≤3，所以－1≤x2－1≤8，则在f(2x－1)中，－1≤2x－1≤8，解得0≤x≤，故函数f(2x－1)的定义域为.故选B. 12.(新情境)[多选题]记无理数π＝3.141 592 6…0288…小数点后第a位上的数字是b，则b是a的函数，记作b＝f(a)，定义域为A，值域为B，下列说法正确的是(　　) A．值域B是定义域A的子集 B.函数图象f(a)是一群孤立的点 C．f(6)＝2 D.a也是b的函数，记作a＝f(b) 答案：BC 解析：对于A，根据题意可知定义域为A＝，B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，因为0∈B，0∉A，所以值域B不是定义域A的子集，故A错误；对于B，C，由题意可知数位a对应的数字依次为1，4，1，5，9，2，6，…，则函数图象f(a)是一群孤立的点，f(6)＝2，故B，C正确；对于D，因为b＝1时，a＝1和3，不符合函数的定义，故D错误.故选BC. 13.(15分)已知函数f(x)＝＋. (1)求函数f(x)的定义域并求f(－2)，f(6)；(5分) (2)已知f(2a＋1)＝＋3，求a的值.(10分) 解：(1)由解析式知：可得x≥－3，且x≠1， 故定义域为{x|x≥－3，且x≠1}， f(－2)＝＋＝－＋1＝－， f(6)＝＋＝＋3＝. (2)由f(2a＋1)＝＋＝＋＝＋3， 所以2a＋4＝9⇒a＝，显然2a＋1＝6在f(x)定义域内，所以a＝. 14.(5分)(新角度)[多选题]德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数D(x)，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0，以下关于狄利克雷函数D(x)的性质正确的有(　　) A．D()＝1 B．D(x)的值域为[0，1] C．D(x)定义域为R D．D(x－1)＝D(x) 答案：CD 解析：因为是无理数，所以D()＝0，故A错误；D(x)的值域为，故B错误；D(x)定义域为R，故C正确；当x为有理数时，x－1也为有理数，所以此时D(x－1)＝D(x)＝1，当x为无理数时，x－1也为无理数，所以此时D(x－1)＝D(x)＝0，所以对x∈R都有D(x－1)＝D(x)，故D正确.故选CD. 15.(15分)已知函数f(x)＝. (1)求f(2)＋f 的值；(4分) (2)求证：f(x)＋f 是定值；(4分) (3)求2f(1)＋f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(2 024)＋f 的值.(7分) 解：(1)因为f(x)＝， 所以f(2)＋f ＝＋＝＋＝1. (2)证明：f(x)＋f ＝＋＝＋＝＝1为定值. (3)由(2)可知，f(x)＋f ＝1，f(1)＝＝， 所以2f(1)＋f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(2 024)＋f ＝[f(1)＋f(1)]＋＋＋…＋ ＝1×2 024＝2 024. 学科网（北京）股份有限公司 $$