2.1 生活中的变量关系-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§1　生活中的变量关系 知识目标 1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象和函数关系现象．　2.能通过实例辨析依赖关系和函数关系．　3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 素养目标 通过生活中的变量关系的学习，培养数学建模素养． 知识点一　生活中的依赖关系和函数关系 问题1.(1)小明同学坐摩天轮一圈用时8分钟．摩天轮匀速转动的过程中，他的海拔高度h与摩天轮转动的时间t有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？ (2)小明同学坐摩天轮的过程中，现将摩天轮的转动时间t当作自变量，他的海拔高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？ 提示：(1)小明的海拔高度与摩天轮转动的时间有依赖关系．当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2 min或6 min或…. (2)每取一个t值，有唯一一个h值与之对应． 1．依赖关系 在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系． 2．函数关系 (1)如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． (2)两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么变量x和y具有函数关系． [微思考]　依赖关系与函数关系的联系是什么？ 提示：函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系．要确定变量的函数关系，需先分清谁是自变量，谁是因变量． (链教材P50例1、例2)下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系； (2)商品的销售额与广告费之间的关系； (3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系； (4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系． 解：(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数的定义知，二者之间存在函数关系，且冷却时间是自变量，温度计示数是因变量． (2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系． (3)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系，更不具有函数关系． (4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且对于每一个时间的值，路程是唯一确定的，因此它们之间存在函数关系，且时间是自变量，路程是因变量． 综上可知，(1)(4)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两个变量不存在依赖关系，也不具有函数关系． 判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量随之变化．而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考查对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应．　　 学生用书↓第53页 对点练1．下列各组中的两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)圆的面积和它的直径长； (2)商品的价格与销售量； (3)一个人的身高与体重； (4)某同学的学习时间与其学习成绩． 解：(1)因为圆的面积S与直径d存在确定的数量关系即S＝，并符合函数的定义，因此圆的面积与其直径是函数关系． (2)一般情况下，商品的价格越低销售量越大，但只是依赖关系，没有确定的数量关系，不是函数关系． (3)一个人的身高与体重有一定的关系，但体重并不完全由身高来决定，还受人的胖瘦等因素的影响，因此一个人的身高与体重之间存在依赖关系，但不是函数关系． (4)某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系，但学习成绩并不完全由学习时间而定，还受其他因素的影响，如这位同学的学习效率、智力等，因此某同学的学习时间与其学习成绩之间存在依赖关系，但不是函数关系； 综上所述，(1)(2)(3)(4)均存在依赖关系，其中仅(1)是函数关系． 知识点二　分段函数 问题2.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：5 km以内(含5 km)，票价2元；5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算).已知两个相邻的站点间相距1 km，沿途(包括起点站和终点站)有11个站点． (1)从起点站出发，乘坐公共汽车的行程x(km)与票价y(元)间的函数关系是什么？ (2)这种函数关系的特征是什么？ 提示：(1)当0<x≤5时，y＝2；当5<x≤10时，y＝3，故y＝ (2)在给定范围内，对于自变量x的不同取值，对应关系也不同． 分段函数 　一般地，分段函数就是对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． [微提醒]　(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．(2)作分段函数的图象时，应分别作出每一段的图象．(3)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系． (链教材P52例6)某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象写出y关于x的函数关系式． 解：由图象可知y＝ 分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．　　 对点练2．[多选题]下列给出的函数是分段函数的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 答案：AD 解析：B中的函数f(x)＝ 中，当x＝4时，有两个函数值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；C中的函数f(x)＝ 中，当x＝1时，有两个函数值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；只有A、D中的函数满足分段函数的定义，是分段函数．故选AD. 对点练3．某旅行社不定期组织旅游团去风景区旅游，若旅游团人数在30或30以下(不低于20)，则收取费用180元/人；若旅游团人数大于30，则给予如下优惠：每多1人，费用每人减少3元，直到达到满额50人为止(大客车限乘51人，含司机).设旅游团人数为x时每人应交的费用为y元，求出y与x之间的关系式． 解：当20≤x≤30时，y＝180， 当30<x≤50时，y＝180－3(x－30)＝270－3x， 即y＝ 学生用书↓第54页 应用一　通过图象反映两变量之间的关系 (链教材P51例5)如图所示为某市一天24小时内的气温变化图． (1)上午8时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？ (2)大约在什么时刻，气温为0 ℃？ (3)大约在什么时刻，气温在0 ℃以上？温度与时间具有怎样的对应关系？两个变量有什么变化趋势？ 解：(1)上午8时气温约是0 ℃，全天最高气温大约是9 ℃，全天最低气温大约是－2 ℃. (2)大约在0时、8时和22时，气温为0 ℃. (3)在8时到22时之间，气温在0 ℃以上．自变量0≤t≤24，因变量－2≤T≤9，对于“时间t”的每一个值，都有唯一确定的“气温T”值和它对应．由于图象是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温呈先降再升再降的变化趋势． 用图象反映两变量间的关系是一种常用的表示两变量关系的方法．在解此类题时要能从图中找到两个变量，并能判断它们之间的相互依赖关系是如何变化的．　　 对点练4．如图表示某天小明上学从家到学校时，离家的距离与时间的关系的图象． (1)小明从家到学校有多远？他一共用了多长时间到校？ (2)中途小明停下来到路边的商店买了一些练习本，图中哪一段曲线表示这一过程？ (3)你能想象小明从离家到第4 min时的情况吗？ 解：(1)小明从家到学校有0.9 km，小明用了14 min到校． (2)BC段． (3)上学路上忘带作业又返回家中拿． 应用二　分段函数求值 已知函数f(x)＝ 试求f(－5)，f(－)，f 的值． 解：由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]， 知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－)＝(－)2＋2(－)＝3－2. 因为f＝－＋1＝－， －2<－<2， 所以f(f＝f ＝＋2× ＝－3＝－. [变式探究] 1.(变设问)本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值. 解：①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3， 所以a＝2>－2不合题意，舍去； ②当－2<a<2时，a2＋2a＝3， 即a2＋2a－3＝0. 所以(a－1)(a＋3)＝0， 所以a＝1或a＝－3. 因为1∈(－2，2)，－3綌(－2，2)， 所以a＝1符合题意； ③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意. 综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2. 学生用书↓第55页 2.(变设问)本例条件不变，若f(x)>3，求x的取值范围. 解：①当x≤－2时，由x＋1>3得x>2， 又x≤－2，所以x∈∅； ②当－2<x<2时，由x2＋2x>3得x>1，或x<－3， 又－2<x<2，所以1<x<2； ③当x≥2时，由2x－1>3，得x>2， 又x≥2，所以x>2； 综上，x的取值范围是(1，2)∪(2，＋∞). 1.求分段函数的函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)代入该段的解析式求值，当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值. 2.求某条件下自变量的值的方法 先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内.　　 对点练5.已知f(x)＝ (1)求f(2)，f(f ； (2)若f(x)＝，求x的值； (3)若f(x)≥，求x的取值范围. 解：(1)f(2)＝1，f ＝＝， 所以f(f ＝f ＝. (2)f(x)＝等价于 或 解得x＝±. 所以当f(x)＝时，x＝±. (3)因为f(x)≥， 所以或 解得x≥，或x≤－， 所以x的取值范围是∪. 知识 1.依赖关系.2.函数关系.3.分段函数.4.通过图象反映两个变量之间的关系 方法 数形结合的思想方法 易错误区 依赖关系与函数关系容易混淆 1.下列变量之间的关系是函数关系的是(　　) A．某一天24小时内的时间与气温 B．光照时间和果树的亩产量 C．降雨量和交通事故发生率 D．一个人的身高与体重 答案：A 解析：易知每一时刻都有唯一的气温与之相对应.故选A. 2.一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了.下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是(　　) 答案：C 解析：从亮亮的体温变化，可以看出图象应为早晨37 ℃以上37 ℃(中午)37 ℃以上37 ℃(半夜)，结合图象知，只有C项符合.故选C. 3.[多选题]下列变量之间的关系是依赖关系而不是函数关系的是(　　) A．光照时间与小麦亩产量 B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系 C．水稻的产量与施肥量 D．高一定的三角形的面积与底边长 答案：ABC 解析：A、B、C是依赖关系，而D既是依赖关系又是函数关系.故选ABC. 4.函数的图象如图所示，则它的解析式为　. 答案：y＝ 课时测评15　生活中的变量关系 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则(　　) A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 答案：A 解析：小麦的总产量与种子、施肥量、水、日照时间等因素有相关关系，但不一定是函数关系.故选A. 2.某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是(　　) A．y是x的函数 B．w是y的函数 C．w是z的函数 D．w是x的函数 答案：B 解析：对于A、D，由于同学姓名非数字，故A、D错误；对于B，任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩也是唯一确定的，故B正确；对于C，假设班级中有两位身高相同的同学，则这个身高可能对应两个不同同学的数学成绩，故C错误.故选B. 3.俗语“名师出高徒”说明(　　) A．名师与高徒之间具有依赖关系 B．名师与高徒之间具有函数关系 C．名师是高徒的函数 D．高徒是名师的函数 答案：A 解析：“名师出高徒”说明由“名师”可以映射“高徒”，所以“名师”是变量，“高徒”是因变量，故C错误；但是一个“名师”可以映射许多个“高徒”，所以两者不是函数关系，故B、D错误.所以两者不具有函数关系，具有依赖关系，故A正确.故选A. 4.设f(x)＝则f(f(0))等于(　　) A．1 B．0 C．2 D．－1 答案：C 解析：因为f(0)＝1，f(1)＝1＋1＝2，所以f(f(0))＝2.故选C. 5.对于变量“气压”的每一个值，变量“水的沸点”都有唯一确定的值与之对应.对于变量“油面宽度”，至少存在一个值，使得变量“储油量”的值与之对应的值不唯一.根据这两条信息，给出下列四个结论： ①水的沸点是气压的函数；②水的沸点不是气压的函数；③储油量是油面宽度的函数；④储油量不是油面宽度的函数. 其中正确结论的序号为(　　) A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 答案：A 解析：根据函数的定义：自变量每确定一个值，变量就有唯一确定的值与之对应.根据题意，水的沸点与气压符合这个对应关系，而储油量与油面宽度的对应不唯一，不符合定义.故选A. 6.当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，在这个变化过程中，　　　　是自变量，　　　　是因变量. 答案：圆柱底面半径　圆柱的体积 7.从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表： K数 24 K 22 K 21 K 18 K 14 K 含金量% 99以上 91.7 87.5 75 58.5 K数 12 K 10 K 9 K 8 K 6 K 含金量% 50 41.66 37.5 33.34 25 饰用K金的K数与含金量之间是　　　　关系，K数越大，含金量　　　　Ｗ. 答案：函数　越高 8.假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示： (1)甲、乙两人中先到达终点的是　　　　； (2)乙在这次赛跑中的速度为　　　　 m/s. 答案：(1)甲　(2)8 解析：设甲、乙的速度分别为v1，v2，则v1＝＝(m/s)，v2＝＝8(m/s)，v1>v2，甲先到达终点. 9.(10分)(2024·湖南省永州期中)已知函数f(x)＝ (1)求f(f(f(－2)))的值；(4分) (2)若f(a)＝，求实数a的值.(6分) 解：(1)因为－2<－1，所以f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，所以f(f(－2))＝f(－1)＝2， 所以f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝. (2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，所以a＝2>1；当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，所以a＝±∈[－1，1]； 当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，所以a＝－>－1(舍去). 综上，a＝2，或a＝±. (10—12每小题5分，共15分) 10.星期天，小明从家出发出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图象，下面的描述符合小明散步情况的是(　　) A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了 B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了 C．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了 D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min后才回家 答案：B 解析：水平线段表明小明离家的距离始终是300 m，然后离家距离达到500 m，故可能情况是小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了.故选B. 11.如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿半圆形路径M→A→C→B→M匀速慢跑一周，那么李老师离出发点M的距离y与时间x之间的函数关系的大致图象是(　　) 答案：D 解析：由题意得，从M到A的过程中，李老师与M的距离在增大，由A经C到B的过程中，李老师与M的距离不变，都是半圆的半径长，由B到M的过程中，李老师与M的距离逐渐减小.故选D. 12.[多选题]如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r(d，r为常量)，油面高度为h，油面宽度为w，油量为v(h，w，v为变量)，则下列说法正确的是(　　) A．w是v的函数 B．v是w的函数 C．h是v的函数 D．v是h的函数 答案：ACD 解析：根据圆柱的体积公式的实际应用，油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v，对于A，由于v确定，故h确定，w就确定，符合函数的定义，故A正确；对于B，由于w确定，h有两个(上下对称)，所以v有两个，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故B错误；对于C，由于v确定，故h确定，符合函数的定义，故C正确；对于D，由于h确定，故v确定，符合函数的定义，故D正确.故选ACD. 13.(15分)(新情境)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分钟)之间有如下关系：(其中0≤x≤20) 提出概念 所用时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的 接受能力(y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(3分) (2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？(3分) (3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强.(3分) (4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？(6分) 解：(1)画出图如下： 此图反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y是因变量. (2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生接受能力是59. (3)提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强. (4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，学生的接受能力逐步降低. 14.(5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图是甲、乙、丙三辆汽车在不同的速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(　　) A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B.以相同的速度行驶相同的路程，三车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D.某城市汽车限速80千米/小时，相同条件下，用丙车比用乙车更省油 答案：D 解析：由图，乙车在时速超过40千米/小时后，每升汽油行驶的里程将超过5千米，故A错误；甲车燃油效率最高，也就是每升汽油行驶的里程最多，那么相同里程耗油最少，故B错误；甲车时速80千米/小时时，每升油行驶10千米，1小时行驶80千米，耗油8升，故C错误；在限速80千米/小时的条件下，乙车的燃油效率最低，即最耗油，所以用丙车比用乙车更省油，故D正确.故选D. 15.(15分)有研究表明，声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，当空气的温度变化，声音的传播速度也将随着变化.声音在空气中传播速度与空气温度关系的一些数据如下表格所示. 温度/℃ … －20 －10 0 10 20 30 … 声速/(m/s) … 318 324 330 336 342 348 … (1)指出在这个变化过程中的自变量和因变量；(3分) (2)当声音在空气中传播速度为342 m/s时，此时空气的温度是多少？(3分) (3)该数据表明：空气的温度每升高10 ℃，声音的传播速度将增大(或减少)多少？(3分) (4)用y表示声音在空气中的传播速度，x表示空气温度，根据(3)中你发现的规律，直接写出y与x之间的关系式.(6分) 解：(1)由题设可得：当空气的温度变化，声音的传播速度也将随着变化. 因此自变量是温度，因变量是声速. (2)根据题设中给出的数据表可知：当传播速度为342 m/s时，空气的温度为20 ℃. (3)因为324－318＝330－324＝336－330＝342－336＝348－342＝6， 所以空气的温度每升高10 ℃，声音的传播速度将增大6 m/s. (4)数据表对应的点如图所示： 故设y与x之间的关系为y＝kx＋b， 所以解得 所以y＝0.6x＋330. 学生用书↓第56页 学科网（北京）股份有限公司 $$