第一章 重点题型强化（二） 破解不等式“恒成立”与”能成立“问题-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

知识 目标 会利用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题． 素养 目标 通过不等式的恒成立、能成立问题的应用，提升逻辑推理，数学运算等素养． 技法一　判别式法解决恒(能)成立问题 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，则实数k的取值范围为________________； (2)已知不等式kx2＋2kx－(k－2)<0能成立，则实数k的取值范围为________________． 答案：(1){k|－1<k≤0} 　(2){k|k<0，或k>1} 解析：(1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意．当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，因为y<0恒成立，所以其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点．所以解得－1<k<0.综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}． (2)当k＝0时，原不等式化为2<0，显然不符合题意．当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k－2)， 因为y<0能成立，所以当k<0时，显然符合题意．当k>0时，若不等式kx2＋2kx－(k－2)<0能成立，则所以即k>1.综上，实数k的取值范围是{k|k<0，或k>1}． 判别式法解决恒(能)成立问题的类型和注意点 问题 等价表示式 判别式法 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上能成立 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集不为∅ a>0，或 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上能成立 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集不为∅ a<0，或 注意：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0.　　 对点练1．(1)若不等式<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(1，3) B．(－∞，1) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(3，＋∞) (2)若集合A＝{x|ax2－ax＋1≤0}≠∅，则实数a的取值集合为__________． 答案：(1)A　(2)(－∞，0)∪ 解析：(1)因为4x2＋6x＋3＝42＋>0恒成立，所以<1恒成立⇔2x2＋2mx＋m<4x2＋6x＋3恒成立⇔2x2＋(6－2m)x＋(3－m)>0恒成立，故Δ＝(6－2m)2－4×2×(3－m)<0，解得1<m<3.故选A. (2)当a＝0时，不等式等价于1<0，此时不等式无解；当a≠0时，要使原不等式有解，应满足a<0或解得a<0或a≥4.综上，实数a的取值范围是(－∞，0)∪. 技法二　数形结合法解决恒(能)成立问题 (1)若当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0恒成立，则实数m的取值范围为________； (2)若当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值范围为________． 答案：(1)　(2)(－5，＋∞) 解析：(1)记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)恒成立，所以Δ＝m2－4×4<0或或解得－4<m<4或m≥4或m＝－4，即m≥－4.故实数m的取值范围为. (2)记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)有解，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.故实数m的取值范围为(－5，＋∞). 数形结合法解决恒(能)成立问题的类型和注意点 若是一元二次不等式，则利用方程根的分布及数形结合思想求解． 1．当a>0时，ax2＋bx＋c>0在x∈[m，n]上恒成立⇔Δ<0或 或　　 2．当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈[m，n]上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝m，x＝n时的函数值同时小于0. 3．当a>0时，ax2＋bx＋c>0在x∈[m，n]上能成立⇔ym>0或yn>0(注意结合图象检验端点是否有意义). [注意]　当a<0时，结合a>0时的情况利用方程根的分布及数形结合思想求解． 对点练2．当1≤x≤2时，关于x的不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|m<－5} 解析：令y＝x2＋mx＋4.因为y<0在1≤x≤2上恒成立，所以y＝0的根一个小于1，另一个大于2.如图，可得解得m<－5， 所以m的取值范围是{m|m<－5}． 学生用书↓第46页 技法三　分离参数法解决恒(能)成立问题 已知函数y＝x2－2tx＋t2－6t＋1. (1)若y≤0的解集为[b，1]，求实数b，t的值； (2)关于t的不等式1－6t≤－t2＋t－1在t∈(1，＋∞)上有解，求实数k的取值范围． 解：(1)因为y≤0的解集为[b，1]，即b，1是方程x2－2tx＋t2－6t＋1＝0的根， 所以解得b＝7－2，t＝4－. (2)因为1－6t≤－t2＋t－1， 整理得t2＋t＋2≤0在t∈(1，＋∞)上有解， 所以－k≤＝－，而－≤－2，当且仅当t＝时，等号成立， 所以－k≤－2， 解得k≥3，或－≤k<0， 故实数k的取值范围为∪. 分离参数法解决恒(能)成立问题的类型和注意点 1．不等式(恒)能成立问题，借助不等式的性质，若能将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则利用分离参数法解题． 2．(1)m>y恒成立⇔m>ymax；m<y恒成立⇔m<ymin. (2)对一些简单的能成立(有解)问题，可转化为m>ymin，或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围．　　 对点练3．若∀x∈[－1，2]使得不等式2x2－x＋2－a>0成立，则实数a的取值范围为____________． 答案： 解析：∀x∈[－1，2]使得不等式2x2－x＋2－a>0成立，即∀x∈[－1，2]使得不等式a<2x2－x＋2恒成立，设y＝2x2－x＋2，x∈[－1，2]，即a<ymin；y＝2x2－x＋2的对称轴为x＝－＝，所以ymin＝，所以a<.故实数a的取值范围为. 技法四　主参换位法解决恒成立问题 不等式mx2－mx－6＋m<0对满足1≤m≤3的所有m均成立，求实数x的取值范围． 解：mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0， 设y＝(x2－x＋1)m－6，该函数为以m为自变量的一元一次函数， 因为1≤m≤3，所以该函数的图象为一条线段， 要使y＝(x2－x＋1)m－6<0对满足1≤m≤3的所有m均成立， 只需 解得<x<， 所以x的取值范围为. 主参换位法解决恒成立问题的类型和注意点 已知参数的取值范围，求变量的取值范围时，常常把变量和参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原参数的取值范围求解．　　 对点练4．对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，则实数x的取值范围为__________________． 答案： 解析：由x2＋px>4x＋p－3，得(x－1)p＋(x2－4x＋3)>0，设y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)，该函数为以p为自变量的一元一次函数，因为0≤p≤4，所以该函数的图象为一条线段，要使y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)>0对满足0≤p≤4的所有p均成立，只需所以解得x>3，或x<－1.所以实数x的取值范围为{x|x>3，或x<－1}． 知识 能够利用判别式法、数形结合法、分离参数法、主参换位法解决恒(能)成立问题 方法 1.判别式法、数形结合法、分离参数法、主参换位法.2.等价转化和数形结合的思想方法 易错 误区 注意端点值的取舍 1．已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≥0的解集为R，则(　　) A．a2－b≥0 B．a2－b≤0 C．a2－4b≥0 D．a2－4b≤0 答案：D 解析：由不等式x2＋ax＋b≥0的解集为R，得函数y＝x2＋ax＋b的图象开口向上，且与x轴至多有一个交点，即Δ＝a2－4b≤0.故选D. 2．已知mx2＋mx＋1≥0对一切实数恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．0<m≤4 B．0≤m≤1 C．m≥4 D．0≤m≤4 答案：D 解析：当m＝0时，1≥0，成立．当m≠0时，需满足所以0<m≤4.综上所述，实数m的取值范围是0≤m≤4.故选D. 3．若关于x的不等式x2－4x－2－a≥0在{x|1≤x≤4}内有解，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：不等式x2－4x－2－a≥0在内有解等价于1≤x≤4时，a≤(x2－4x－2)max.当1≤x≤4时，(x2－4x－2)max＝－2，所以a≤－2.故选A. 4．若对任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3<0成立，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，0) 解析：由题意，得a<＝＋在x∈[－3，－1]上恒成立．令m＝，则m∈，a<3m2＋m在m∈上恒成立．二次函数y＝3m2＋m图象的对称轴为直线m＝－，故当m∈时，y随m的增大而减小，所以当m＝－时，y有最小值为3×－＝0，故a<0. 学生用书↓第47页 学科网（北京）股份有限公司 $$