第一章 重点题型强化（一） 应用基本不等式求最值-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

知识 目标 1.掌握利用基本不等式求最值的方法．　2.能通过构造基本不等式的形式解决求代数式的最值问题. 素养 目标 通过对基本不等式的灵活应用，提升逻辑推理和数学运算素养. 技法一　配凑法求最值 (1)若－1<x<1，则y＝有(　　) A．最大值－1 B．最小值－1 C．最大值1 D．最小值1 (2)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________． 答案：(1)A　(2) 解析： (1)因为－1<x<1，则0<1－x<2，于是得y＝－·＝－≤－·2＝－1，当且仅当1－x＝，即x＝0时取“＝”，所以当x＝0时，y＝有最大值－1.故选A． (2)因为0<x<1，所以4－3x>0，3x>0，x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，等号成立． 　 配凑法的应用技巧 为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值． [注意]　验证取等条件． 对点练1.(1)函数y＝3x＋(x>1)的最小值是(　　) A．4 B．2－3 C．2 D．2＋3 (2)已知xy＝1，且0<y<，则的最大值为________． 答案：(1)D　(2) 解析：(1)因为x>1，所以y＝3(x－1)＋＋3≥2＋3＝2 ＋3，当且仅当3(x－1)＝，即x＝1＋时等号成立．故选D． (2)由xy＝1且0<y<，可得y＝(x>2)，故x－4y＝x－>0，又＝＝≤＝，当且仅当x－4y＝，即x－4y＝2，又xy＝1，可得x＝＋，y＝时，不等式取等号． 技法二　常数代换法求最值 (1)已知正实数a，b满足a＋b＝，则＋的最小值为(　　) A．6 B．5 C．12 D．25 (2)已知正实数x，y满足＋＝1，则4xy－3x－6y的最小值为(　　) A．2 B．4 C．8 D．12 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)因为a＋b＝，所以3a＋3b＝5，即(a＋2b＋2a＋b)＝1，而a>0，b>0，所以＋＝(a＋2b＋2a＋b)＝≥＝5，当且仅当＝，即a＝4b＝时，等号成立．故选B． (2)由x>0，y>0且＋＝1，可得xy＝x＋2y，所以4xy－3x－6y＝4x＋8y－3x－6y＝x＋2y＝·(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时取等号．故选C． 常数代换法的应用技巧 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值，应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．　　 对点练2.(1)已知非负实数x，y满足3x＋4y＝1，则＋的最小值为(　　) A．4 B．8 C． D．8 (2)设x>0，y>0，x＋y＝1，则的最小值为________． 答案：(1)B　(2)＋1 解析：(1)已知非负实数x，y满足3x＋4y＝1，即为2(x＋y)＋(x＋2y)＝1，其中x＋y>0，x＋2y>0.所以＋＝＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当＝，即x＋2y＝2(x＋y)＝时等号成立．故选B． (2)因为x＋y＝1，所以＝＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋1≥2＋1＝＋1，当且仅当＝，即x＝－1，y＝2－时，等号成立，故的最小值为＋1. 技法三　消元法求最值 若正实数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为________． 答案：9 解析：因为ab＝a＋b＋3，所以(a－1)·b＝a＋3.因为a>0，b>0，所以a－1>0，即a>1，所以b＝，所以ab＝a·＝＝＝a－1＋＋5.因为a>1，所以a－1＋≥2＝4，当且仅当a－1＝，即a＝3时，取等号，此时b＝3，所以ab≥9，所以ab的最小值为9. 学生用书↓第35页 消元法的应用技巧 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题．　　 对点练3.已知正实数a，b满足ab＋2a－2＝0，则4a＋b的最小值是(　　) A．2 B．4－2 C．4－2 D．6 答案：B 解析：由ab＋2a－2＝0，得a＝，所以4a＋b＝＋b＝＋(b＋2)－2≥2－2＝4－2，当且仅当a＝，＝b＋2，即a＝，b＝2－2时取等号．故选B． 知识 1.配凑法求最值.2.常数代换法求最值.3.消元法求最值 方法 换元法、消元法以及转化的思想方法 易错 误区 在同一个题目多次使用基本不等式时，一定要注意等号成立的条件是否一致 1．若x>1，则函数y＝x＋＋1的最小值是(　　) A．＋1 B．4 C． D．－1 答案：B 解析：y＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝2时取等号．故选B． 2．若正数a，b满足a＋3b＝，则＋的最小值为(　　) A．8 B． C．16 D． 答案：D 解析：因为正数a，b满足a＋3b＝，所以1＝2a＋6b，所以＋＝(2a＋6b)＝＋6＋＋≥＋6＋2＝，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号．故选D． 3．若x>0，y>0，且满足＝1－，则x＋y的最小值是(　　) A．10 B．12 C．14 D．16 答案：C 解析：x＋y＝x＋1＋y＋1－2＝(x＋1＋y＋1)·－2＝8＋＋≥8＋2＝14，当且仅当＝，即x＝11，y＝3时等号成立．故选C． 4．若a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝2，则＋的最小值为________． 答案：2＋2 解析：由题意，由a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝2，得2(a＋b＋c)＝4，故＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝2＋2，当且仅当＝时等号成立，故＋的最小值为2＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $$