1.3.2 第2课时 基本不等式的应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

第2课时　基本不等式的应用 知识 目标 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 素养 目标 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题，提升数学建模素养. 知识点　利用基本不等式求最值 问题1.把一段长为32 cm的细铁丝弯成形状不同的矩形，当矩形的长、宽分别是何值时，面积最大？ 提示：设矩形的长与宽分别是x cm和y cm，则x＋y＝16，由≥xy得xy≤64，当且仅当x＝y＝8时，等号成立，即这个矩形为正方形且边长为8 cm时，其面积最大． 问题2.类比上面的方法，用一段细铁丝弯成面积为64 cm2形状不同的矩形，当矩形的长、宽分别是何值时，周长最小？ 提示：设矩形的长与宽分别是x cm和y cm，则xy＝64，由x＋y≥2得x＋y≥16，当且仅当x＝y＝8时等号成立，即这个矩形为正方形且边长为8 cm时，其周长最小． 学生用书↓第32页 两个重要结论 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值； (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2． [微提醒]　(1)口诀：两个正数的和定积最大，积定和最小．(2)应用基本不等式求最值时的三个关键点：一正、二定、三相等．①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． 已知x>0，y>0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解：法一：因为x>0，y>0，＋＝1， 所以x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当即时，等号成立， 故当x＝12，y＝3时，x＋2y的最小值为18. 法二：因为x>0，y>0，＋＝1，8y＋x＝xy， 所以x＝，所以y－1>0. 所以x＋2y＝＋2y＝＋(2y－2)＋2＝10＋＋(2y－2) ≥10＋2＝10＋8＝18， 当且仅当＝2y－2， 即y＝3，x＝12时，等号成立，x＋2y的最小值为18. [变式探究]　(变条件，变结论)若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值． 解：因为x>0，y>0，所以＋＝(x＋2y)＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当即时取等号， 所以当x＝，y＝时，＋取到最小值18. 利用基本不等式的变形求最值的策略 1．应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式以及使等号成立的条件． 2．特别注意“1”的代换．　　 对点练1.已知正实数a，b满足a＋b＝3ab，则a＋4b的最小值为(　　) A．9 B．8 C．3 D． 答案：C 解析：由条件知＋＝3，a＋4b＝(a＋4b)＝≥＝3，当且仅当a＝2b＝1时取等号．故选C． 应用一　基本不等式在实际问题中的应用 (链教材P29例5)已知某园林部门计划对公园内一块如图所示的空地进行绿化，用栅栏围4个面积相同的小矩形花池，一面可利用公园内原有绿化带，四个花池内种植不同颜色的花，呈现“爱我中华”字样． (1)若用48米长的栅栏围成小矩形花池(不考虑用料损耗)，则每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大？ (2)若每个小矩形的面积为平方米，则当每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小？ 解：(1)设每个小矩形花池的长、宽分别为x米、y米，则每个花池的面积为xy平方米．由题意可知4x＋6y＝48，所以2x＋3y＝24， 则2≤24，所以xy≤24， 当且仅当2x＝3y，即x＝6，y＝4时取得等号． 故当每个小矩形花池的长为6米、宽为4米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大． (2)由题意知xy＝，则y＝， 所以4x＋6y＝4x＋6×＝4≥4×2＝56， 当且仅当x＝，即x＝7，y＝时取得等号， 故每个小矩形花池的长为7米、宽为米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小． 实际问题中求最值的一般思路 1．先读懂题意，理清思路，设出变量，列出函数的关系式． 2．把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．　　 学生用书↓第33页 3．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． 4．用基本不等式求函数的最大值或最小值． 对点练2.第19届亚运会于2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之前，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备x万台(x>20)且全部售完．每万台的年销售收入t(万元)与年产量x(万台)满足关系式：t＝70＋－，年利润为y(万元)，求年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大．并求最大利润． 解：因为t＝70＋－，且y＝xt－80x－50，x>20， 则y＝－10x－＋1 950 ＝－10＋1 960 ≤－10×2＋1 960 ＝1 360， 当且仅当x＋1＝，即x＝29时，等号成立， 所以当x＝29时，ymax＝1 360. 即年产量为29万台时，该公司获得的年利润最大，最大利润为1 360万元． 应用二　利用基本不等式求参数范围 当x>1时，不等式x＋≥a＋1恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意，只需在x>1时≥a＋1即可，又x>1，则x－1>0，故x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝⇒x＝2时等号成立，故＝3，所以a＋1≤3⇒a≤2，即实数a的取值范围是.故选A． 1．恒成立问题常采用分离参数的方法：若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax，从而将问题转化为求y的最值问题． 2．在利用基本不等式求最值时，要注意能否取到等号．　　 对点练3.已知不等式2x＋m＋>0对任意的x>1恒成立，则实数m的取值范围为____________． 答案：{m|m>－10} 解析：因为2x＋m＋>0对任意的x>1恒成立，所以m>－2x－＝－2＝－2，因为x>1，所以x－1>0，所以(x－1)＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立，所以－2≤－2×5＝－10.所以m>－10，所以实数m的取值范围为{m|m>－10}． 知识 1.利用基本不等式的变形求最值.2.利用常数代换求最值.3.利用基本不等式解决实际问题 方法 配凑法、常数代换法以及转化的思想方法 易错误区 利用基本不等式时，忽略等号成立的条件 1．已知x>0，y>0，且xy＝9，则x＋y的最小值是(　　) A．10 B．9 C．12 D．6 答案：D 解析：根据题意利用基本不等式可得x＋y≥2＝6，当且仅当x＝y＝3时，等号成立．故选D． 2．(2024·河北邯郸高一质量检测)已知正实数x，y满足2x＋y＝2，则＋的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案：C 解析：由2x＋y＝2，得＝1，所以＋＝·＝≥＝9，当且仅当＝，即y＝，x＝时，等号成立，所以＋的最小值为9.故选C． 3．一种在恒温大棚里种植的蔬菜的株高y(单位：cm)与温度x(单位：℃，0<x≤30)满足关系式y＝111.54－，市场中一吨这种蔬菜的利润z(单位：百元)与x，y的关系为z＝10y－x，则z的最大值为(　　) A．1 095.4 B．995.4 C．990.4 D．895.4 答案：A 解析：z＝10y－x＝1 115.4－≤1 115.4－2＝1 095.4，当且仅当＝x⇒x＝10时，等号成立．故选A． 4．已知a>0，b>0，若不等式≤＋恒成立，则m的最大值为________． 答案：16 解析：由不等式≤＋恒成立，得m≤(3a＋b)(a>0，b>0)，又(3a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，故m的最大值为16. 课时测评11　基本不等式的应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知x>0，y>0，且满足x＋6y＝6，则xy有(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 答案：A 解析：xy＝≤2＝×9＝，当且仅当即时等号成立．故选A． 2．设a>0，b>0，且a＋b＝3，则的最小值为(　　) A．2 B．2＋ C．1＋ D．2＋2 答案：C 解析：＝＋＝(a＋b)＝＝1＋＋≥1＋2＝1＋，当且仅当＝，a＋b＝3，即a＝3－3，b＝6－3时等号成立．故选C． 3．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s(单位：万元)与生产线运转时间t(单位：年，t∈N＋)满足二次函数关系：s＝－2t2＋30t－98，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：C 解析：依题意，年平均利润为y＝＝＝－2t－＋30，t∈N＋，由于t>0，2t＋≥2＝28，当且仅当2t＝，即t＝7时取等号，此时y≤－28＋30＝2，所以当每条生产线运行的时间t＝7时，年平均利润最大．故选C． 4．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m有解，则实数m的取值范围是(　　) A．m<4 B．m>4 C．m<2 D．m>2 答案：B 解析：因为正实数x，y满足＋＝1，所以x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即当x＝2，y＝8时，取等号，因此要想x＋<m有解，只需m>4.故选B． 5．[多选题]已知x，y为正数，且xy＝1，m＝x＋y，n＝＋，下列选项中正确的有(　　) A．m的最小值为2 B．n的最小值为10 C．mn的最小值为16 D．m＋n的最小值为4 答案：ACD 解析：对于A，m＝x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，故A正确；对于B，n＝＋≥2＝6，当且仅当＝，即x＝，y＝3时等号成立，故B错误；对于C，mn＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，故C正确；对于D，因为xy＝1，则y＝，所以m＋n＝(x＋y)＋＝＋＝10x＋≥2＝4，当且仅当10x＝，即x＝，y＝时等号成立，故D正确．故选ACD． 6．若当x＞－1时，x＋(t＞0)的最小值为3，则实数t的值为________． 答案：4 解析：当x＞－1时，x＋1＞0，则x＋＝(x＋1)＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当x＋1＝时，等号成立，则x＋的最小值为2－1，则有2－1＝3，解得t＝4. 7．已知2a＋b＝3(a>0，b>0)，则＋的最小值为________． 答案： 解析：因为2a＋b＝3，所以＋＝1，又因为a>0，b>0，所以＋＝×＝＋＋1≥2＋1＝，当且仅当＝，2a＋b＝3，即b＝6－3，a＝时，取等号． 8．已知不等式x＋>m对任意x∈(2，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围为________． 答案：m<6 解析：x∈(2，＋∞)，所以x－2∈(0，＋∞)，x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时等号成立，又不等式x＋>m对任意x∈(2，＋∞)恒成立，所以min>m，即m<6. 9．(10分)货车以x千米/时的速度匀速行驶300千米，按交通法规则限制50≤x≤100(单位：千米/时)，假设汽油价格是每升8元，汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时50元． (1)求这次行车总费用y(元)关于x(千米/时)的表达式；(4分) (2)当x为何值时，这次行车的总费用y最低？求出最低费用的值．(所有结果精确到1)(6分) 解：(1)由题意汽车行驶的时间t＝小时， 则y＝8××＋50×＝＋(50≤x≤100)． (2)由(1)得y＝＋≥2≈750(50≤x≤100)， 当且仅当＝，即x≈66时取等号， 所以当x为66 km/h时，这次行车的总费用y最低，最低费用约为750元． (10—12每小题5分，共15分) 10．(新定义)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则＋≥，当且仅当＝时等号成立．根据权方和不等式，函数y＝＋的最小值为(　　) A．1 B．4 C．9 D．16 答案：D 解析：由0<x<，得1－4x>0，由权方和不等式可得y＝＋＝＋≥＝16，当且仅当＝，即x＝时取等号．故选D． 11．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 答案：C 解析：由已知，可得6＝1，所以2a＋b＝6×(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝，＋＝，即a＝b＝18时等号成立，所以9m≤54，即m≤6.故选C． 12．[多选题]已知x>0，y>0，t>0，且＋＝1，则下列结论正确的是(　　) A．当t＝2时，当且仅当时，x＋2y有最小值 B．当t＝8时，当且仅当时，x＋2y的最小值为25 C．若x＋2y的最小值为9，则t的值为2 D．若x＋2y的最小值为25，则t的值为6 答案：BC 解析：对于A，当t＝2时，＋＝1，x＋2y＝(x＋2y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即x＝y＝3时等号成立，所以x＝y＝3时，x＋2y有最小值，故A错误；对于B，当t＝8时，＋＝1，x＋2y＝(x＋2y)＝17＋＋≥17＋2＝25，当且仅当即时等号成立，所以时，x＋2y有最小值25，故B正确；对于C，x＋2y＝(x＋2y)·＝1＋2t＋＋≥1＋2t＋2＝1＋2t＋2，令1＋2t＋2＝9，即(－)(＋2)＝0，可得 ＝，即t＝2，当且仅当即x＝y＝3时等号成立，所以t＝2，故C正确；对于D，x＋2y＝(x＋2y)＝1＋2t＋＋≥1＋2t＋2＝1＋2t＋2，令1＋2t＋2＝25，即(＋3)(－2)＝0，可得＝2，即t＝8，当且仅当即时等号成立，所以t＝8，故D不正确．故选BC． 13．(15分)某厂家拟在2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝4－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(此处每件产品年平均成本按元来计算)． (1)将2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(5分) (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？(10分) 解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝2(万件)， 则2＝4－k，解得k＝2，所以x＝4－， 所以每件产品的销售价格为1.5×(元)， 所以2024年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝36－－m(m≥0)． (2)因为当m≥0时，m＋1>0， 所以＋m＋1≥2＝8， 当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立． 所以y≤－8＋37＝29， 即m＝3万元时，ymax＝29(万元)， 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元． 14．(5分)已知x>y>z，若＋≥恒成立，则n的最大值为(　　) A．3 B．4 C．9 D．16 答案：C 解析：因为x>y>z，所以x－y>0，x－z>0，y－z>0，原不等式变为n≤(x－z)，而(x－z)＝(x－y＋y－z)＝5＋＋≥9，当且仅当＝，即2x－3y＋z＝0时等号成立．所以(x－z)的最小值是9，从而n的最大值是9.故选C． 15．(15分)(新设问)问题：正实数a，b满足a＋b＝1，求＋的最小值．其中一种解法是：＋＝(a＋b)＝1＋＋＋2≥3＋2，当且仅当＝且a＋b＝1，即a＝－1，且b＝2－时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足x＋y＝1，求＋的最小值；(5分) (2)若实数a，b，x，y满足－＝1，求证：a2－b2≤(x－y)2.(10分) 解：(1)因为x>0，y>0，x＋y＝1， 所以＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝5＋2，当且仅当＝，x＋y＝1，即x＝－2，y＝3－时取等号， 所以＋的最小值是5＋2. (2)证明：a2－b2＝(a2－b2)×1＝(a2－b2)＝x2＋y2－， 又＋≥2＝2|xy|，当且仅当＝时等号成立， 所以x2＋y2－≤x2＋y2－2|xy|≤x2＋y2－2xy＝(x－y)2， 所以a2－b2≤(x－y)2，当且仅当＝，且x，y同号时等号成立． 学生用书↓第34页 学科网（北京）股份有限公司 $$