1.3.2基本不等式（第二课时） 教案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该教案聚焦基本不等式的最值应用，通过铁丝弯矩形的情境导入，承接上一课时基本不等式概念，搭建从理解到应用的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 资料特色在于以生活情境培养数学眼光，通过矩形面积与周长问题引导学生观察现实世界，结合例题证明与小组讨论发展数学思维，动物园围禽舍实例提升数学语言表达能力，多样教学方法与反思改进助力学生夯实基础，也为教师提供实用教学思路。

课题 1.3.2 基本不等式（第二课时） 学科 数学 教材 北师大版（2019）必修第一册 章节 第一章第三部分第二节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1.学生能够灵活运用基本不等式对函数求最值； 2.通过基本不等式最值的运算，提高学生的数学运算能力； 教学重、难点： 重点：基本不等式在求解函数最值问题中的应用； 难点：掌握“一正二定三相等”的原则，避免在求最值时出错 教材分析 本节课选自北师大版高中数学必修一第一章《预备知识》中的3.2节，它是在基本不等式进一步研究。第二课时是应用基本不等式求解最值问题。主要侧重于基本不等式的最值计算，通过解决简单的最值问题，加深学生对基本不等式的理解和应用。 核心素养 1.数学建模：培养学生将实际问题转化为数学不等式模型的能力，提升其解决实际问题的数学建模素养。 2.数学运算：训练学生运用基本不等式对最值进行简单的运算，提高其数学运算的准确性和速度。 3.数据分析：培养学生运用不等式对数据进行分析和处理的能力，提升其数据分析素养。 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 情境导入 创设问题情境：把一段长为16 cm的细铁丝弯成形状不同的矩形，试填写表1-3，并思考当矩形的长、宽分别为何值时，面积最大. 通过创设情境，建立知识间的联系，提高学生类比推理的能力。 探究新知 知识点：基本不等式的最值 例题典析 师生活动： （1） 教师引导学生设矩形的长为xcm,宽为ycm,则x+y=8，由基本不等式，得，即，所以xy； （2） 又因为当x=y=4时，xy=16(即不等式xy⩽16中的等号成立)，由此可知，边长为4cm的正方形的面积最大. 思考交流：类比上面的方法，说明：面积为16的所有不同形状的矩形中，边长为4cm的正方形的周长最小. 师生活动： 学生分析题意，类比上题的证明，设矩形的长为xcm,宽为ycm，则xy=16 此时，由基本不等式得，即，所以x+y 又因为x=y=4时，x+y=8(即不等式x+y8中的等号成立) 由此可知，边长为4cm的正方形的周长最小， 为2（x+y）=16 教师对学生的答案进行点评。 教师讲解： 当均为正数时，下面的命题均成立： (1) 若为定值)， 则当且仅当时，取得最大值; (2) 若为定值)， 则当且仅当时，取得最小值. 总结：和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值. 教师带领学生进行证明： 证明： (1)由基本不等式和,得. 所以. 当且仅当时，不等式中的等号成立，此时取得最大值. (2)同理可证.（课后完成） 例1、 如图1-16，动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（接头处不计） (1) 现有可围36m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？ (2) 若使每间禽舍面积为24,则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？ 【师生活动】 学生自主思考，根据基本不等式的最值结合题意进行分析，是否满足“一正，二定，三相等”，教师对学生的解题过程进行讲解并归纳。 【解析】 (1) 设每间禽舍的长为,宽为,则, 即  设.应用基本不等式，有,整理得 所以. 当且仅当时，不等式中的等号成立，此时解得 因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为4.5m和时，可使每间禽舍面积最大，最大面积为. （2）小组合作完成 通过对基本不等式的最值 的探究，得到对于两个正数，和有定值积有最大值，积为定值和有最小值，为后续的学习做铺垫 通过例题讲解，让学生理解怎样解决问题，提高学生解决问题的能力。 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的核心素养。 课堂总结 回顾本节课知识点，总结概括不等式的最值“和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值.” 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 1.3.2 基本不等式（第二课时） 当均为正数时，下面的命题均成立： (3) 若为定值)， 则当且仅当时，取得最大值; (4) 若为定值)， 则当且仅当时，取得最小值. 总结：和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值. 教学设计反思 不足之处 在教学过程中，对学生的主体地位发挥不够充分，有时过于强调教师的讲解，导致学生的参与度不高。在设计问题时，梯度不够明显，导致部分学生在解题过程中感到困难。 改进措施 在教学过程中，应更多地引导学生参与讨论和思考，鼓励学生提出自己的见解和疑问。可以设计一些小组合作学习的环节，让学生在小组内进行讨论和交流，提高学生的合作能力和自主学习能力。 在设计问题时，应注重问题的梯度性和层次性，从简单到复杂，逐步引导学生深入思考，可以设计一些具有挑战性的问题，激发学生的学习兴趣和求知欲。 在教学过程中，可以引入一些与实际生活相关的问题，让学生感受到基本不等式在现实生活中的应用价值。 可以组织学生进行实践活动，让学生运用基本不等式解决实际问题，提高学生的实践能力和应用能力。 学科网（北京）股份有限公司 $