1.3.2 基本不等式-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“基本不等式”核心内容，涵盖重要不等式与基本不等式的概念、成立条件及算术与几何平均值关系，通过情境问题导入，衔接前后知识，构建从概念理解到应用的学习支架。 其亮点在于以情境导学和分层训练贯穿教学，结合数学运算与建模素养，如通过运输成本优化等实例培养应用能力，帮助学生深化概念理解与解题技巧，助力教师高效开展教学。

第一章　预备知识 §3　不等式 3.2　基本不等式 学习任务 核心素养 1．掌握基本不等式(a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时等号成立)．(重点、易错点) 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．(难点) 1．通过利用基本不等式求最值，提升数学运算素养． 2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养． 3.2　基本不等式 1．基本不等式的内容是什么？ 2．算术平均值和几何平均值的概念是什么？ 3．基本不等式成立的条件是什么？ 4．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？ 必备知识·情境导学探新知 3.2　基本不等式 知识点1　重要不等式与基本不等式 1．重要不等式 对任意实数x和y，有≥xy，当且仅当_____时，等号成立． 2．基本不等式 设a≥0，b≥0，有，当且仅当_____时，等号成立． 其中，称为a，b的___________，称为a，b的几何平均值． 基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的_____平均值大于或等于它们的_____平均值． x＝y　 a＝b　 算术平均值　 算术　 几何 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 思考1．(1)不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件相同吗？ (2)基本不等式成立的条件“a≥0，b≥0”能省略吗？请举例说明． [提示]　(1)不相同．不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，不等式成立的条件是a≥0，b≥0． (2)不能，如是不成立的． 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 √ 体验1．(多选)下列结论正确的是(　　) A．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立 B．若a，b同号，则≥2 C．若a>0，b<0，则ab≤恒成立 D．若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2 √ 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 体验2．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为________． x>2y　[因为不等式成立的前提条件是各项均为正实数，所以x－2y>0，即x>2y．] x>2y　 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 知识点2　基本不等式与最值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值_____； (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值_____． 思考2．x＋的最小值是2吗？ [提示]　当x>0时，x＋的最小值是2． 当x<0时，x＋没有最小值． 　 2 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 体验3．如果a>0，那么a＋＋2的最小值是________． 4　[因为a>0，所以a＋＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝1时，等号成立．] 4 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 体验4．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为_____，此时x＝_____． 　　[因为0<x<1，所以1－x>0， 所以x(1－x)≤， 当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值．] 　 　 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 关键能力·合作探究释疑难 类型1　利用基本不等式判断或证明不等式 【例1】　【链接教材P27例4】 (1)(多选)若a＞0，b＞0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a C．(a＋b)≥4 D．≥4 (2)已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1．求证：≥8． √ √ √ 3.2　基本不等式 (1)ACD　[对于A选项，a2＋1－a＝＞0，故A选项中的不等式恒成立； 对于B选项，a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，故B选项中的不等式不恒成立； 对于C选项，(a＋b)＝4，当且仅当，即a＝b时取等号，故C选项中的不等式恒成立； 对于D选项，因为a＋≥2，所以≥4，当且仅当a＝，即a＝b＝1时取等号，故D选项中的不等式恒成立．故选ACD．] 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 (2)[证明]　因为a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， 所以， 同理． 上述三个不等式两边均为正，由不等式同向同正可乘性，分别相乘， 得＝8． 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 [母题探究] (变设问)在本例(2)条件下，求证：≥9． [证明]　因为a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， 所以＝ ＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9． 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 【教材原题·P27例4】 例4　已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：a＋b＋c≥． 证明　因为a＞0，b＞0，c＞0，所以由基本不等式，得 a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立， b＋c≥2，当且仅当b＝c时，等号成立， a＋c≥2，当且仅当a＝c时，等号成立． 上面三式相加，得2a＋2b＋2c≥2，即 a＋b＋c≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 反思领悟　利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次运用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意运用； ③对不能直接运用基本不等式证明的，可重新组合，构成基本不等式模型再运用． 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 [跟进训练] 1．已知a，b，c均为正实数，求证：≥3． [证明]　∵a，b，c均为正实数， ∴≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)， ≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)， ≥2(当且仅当2b＝3c时等号成立)， 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 将上述三式相加得≥6(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)， ∴≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)， 即≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)． 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 类型2　利用基本不等式求最值 【例2】　(1)已知x>2，则x＋的最小值为_____． (2)若0<x<，则x(1－2x)的最大值是______． (3)若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则的最小值为_____． 6　 　 9　 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 (1)6　(2)　(3)9　[(1)因为x>2，所以x－2>0， 所以x＋＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所以x＋的最小值为6． (2)因为0<x<，所以1－2x>0， 所以x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤， 当且仅当2x＝1－2x，即当x＝时，等号成立， 所以x(1－2x)的最大值为． 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 (3)因为x>0，y>0，x＋4y＝1， 所以＝9， 当且仅当，即x＝时，等号成立， 所以的最小值为9．] 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 反思领悟　利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配． (1)拆——裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 (2)并——分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值． (3)配——配式配系数 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值． 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 [跟进训练] 2．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16 　 B．25 C．9 　 D．36 √ B　[因为x>0，y>0，且x＋y＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋＝9＋42＝25，当且仅当x＝y＝4时等号成立，所以(1＋x)(1＋y)的最大值为25．] 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 类型3　利用基本不等式解应用题 【例3】　某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时． (1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数； (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 [解]　(1)由题意，每小时的燃料费用为0.5x2元，从甲地到乙地所用的时间为小时， 则y＝0.5x2·＝150(0<x≤50)． (2)由(1)得y＝150＝12 000， 当且仅当x＝，即x＝40时取等号． 故当货轮的航行速度为40海里/时时，能使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少． 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 反思领悟　利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点： (1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型； (2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值； (4)回到实际问题中，检验并写出正确答案． 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 [跟进训练] 3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 5　8　[每台机器运转x年的年平均利润为，且x>0，故＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．] 5 8　 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 阅读材料·拓展数学大视野 基本不等式的拓广应用 阅读下列材料： 二元基本不等式：设a，b为正数，则，当且仅当a＝b时等式成立． 证明：因为(a＋b)2－4ab＝(a－b)2≥0，所以(a＋b)2≥4ab，从而得，当且仅当a＝b时等式成立． 3.2　基本不等式 证明：设d为正数，由二元基本不等式， 得，当且仅当a＝b＝c＝d时，等式成立． 令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥， 由此推出d 3≥abc，因此，当且仅当a＝b＝c时等式成立． 三元基本不等式：设a，b，c为正数，则，当且仅当a＝b＝c时等式成立． 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 问题探究 当满足什么条件时，可以利用三元基本不等式求的最小值？ [提示]　当a，b，c均为正数，且a，b，c能取到相等的值时，可以利用三元基本不等式求的最小值． 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 学习效果·课堂评估夯基础 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1 　 B．a＝1 C．a＝－1 　 D．a＝0 √ B　[由a2＋1＝2a，得a＝1，即a＝1时，等号成立．] 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 2．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是(　　) A．ab≤ 　 B．ab≤ C． 　 D． √ D　[由基本不等式知A，C正确，由重要不等式知B正确，由 ≥，得ab≤，∴，故选D．] 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 3．下列各不等式：①a2＋1>2a；②≥2；≤2；④x2＋≥1，其中正确的个数是(　　) A．3 　 B．2 C．1 　 D．0 √ B　[仅②④正确．] 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 4．(教材P31习题1—3A组T7改编)已知a>0，b>0，a＋2b＝2，则ab的最大值是__________． 　[因为a＋2b≥2， 所以2≤2， 所以ab≤，当且仅当a＝2b＝1时取等号．] 　 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 5．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． x≤　[用两种方法求出第三年的产量分别为 A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2， 则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)． ∴1＋x＝， ∴x≤．当且仅当a＝b时等号成立．] x≤　 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(九)　基本不等式 一、选择题 1．若x＋(𝑥>2)在x＝a时取最小值，则a等于(　　) A．1＋ 　 B．1＋ C．3 　 D．4 3.2　基本不等式 37 C　[当x>2时，x－2＋＋2＝4，当且仅当x－2＝ (𝑥>2)，即x＝3时取等号，所以x＝3，即a＝3．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．设x，y为正数，则的最小值为(　　) A．6 　 B．9 C．12 　 D．15 √ B　[ ] 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 39 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3．已知x＋y＝1，x，y∈R＋，则t＝的最小值是(　　) A．6 　 B．7 C．8 　 D．9 √ D　[∵x＋y＝1，x＞0，y＞0， ∴xy≤，当x＝y＝时取等号． ∴＋1＝9．故选D．] 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 40 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 (　　) A．80元 　 B．120元 C．160元 　 D．240元 √ 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[设底面相邻两边的边长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4⇒xy＝4． T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y时取等号)． 故该容器的最低总造价是160元．] 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．(教材P28练习T3改编)当x＞3时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] 　 B．(－∞，5] C．[0，＋∞) 　 D．[2，5] √ 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[∵x＋≥a恒成立， ∴a必须小于或等于x＋的最小值． ∵x＞3，∴x－3＞0． ∴x＋＝(x－3)＋＋3≥5， 当且仅当x＝4时取最小值5． 故选B．] 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．(－6≤a≤3)的最大值为_____． 　[因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，，当且仅当a＝－时等号成立．] 　 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________． 　[因为x>0，所以x＋≥2．当且仅当x＝1时取等号， 所以， 即的最大值为，故a≥．] 　 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．设x，y，z均为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为___． 3　[由已知，得y＝， 所以＝3． 当且仅当x＝y＝3z时， 取得最小值3．] 3　 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．(源自苏教版教材)设y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，求y的最小值． [解]　因为x>－2，所以x＋2>0． 由基本不等式，得x＋＝(x＋2)＋－2＝6， 当且仅当x＋2＝，即x＝2时，等号成立． 因此，当x＝2时，y的最小值为6． 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款 5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数．试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用) 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 49 [解]　设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得 y＝2x－ ＝118－ ＝130－ ≤130－2 ＝130－112＝18(千元)， 当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号． 所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．制作一个面积为2 m2，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济(够用，又耗材最少)的是(　　) A．6.2 m 　 B．6.8 m C．7 m 　 D．7.2 m C　[设两直角边的长度分别为a，b，a＞0，b＞0，则ab＝4，铁支架框的周长l＝a＋b＋≈6.828，当且仅当a＝b＝2时取等号．故选C．] 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．2 　 B．4 C．6 　 D．8 √ B　[不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y) 2≥9，≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4．] 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab． (1)ab的最小值为________； (2)a＋2b的最小值为________． (1)8　(2)9　[因为2a＋b＝ab，所以＝1． (1)因为a>0，b>0，所以1＝， 当且仅当，即a＝2，b＝4时取等号， 所以ab≥8，即ab的最小值为8； 8　 9　 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2)a＋2b＝(a＋2b)＝9， 当且仅当，即a＝b＝3时取等号， 所以a＋2b的最小值为9．] 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．设a＞b＞c，n∈N＋，则使不等式成立的n的最大值为________． 4　[∵a－c＞0，要使原不等式成立， 只需≥n成立．即≥n成立． 也就是2＋≥n成立．又≥2， ∴n≤4，∴n有最大值为4．] 4　 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0． 求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值． [解]　(1)∵x>0，y>0， ∴xy＝2x＋8y≥2，即xy≥8， ∴≥8，即xy≥64． 当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，“＝”成立． ∴xy的最小值为64． 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 56 (2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， ∴2x＋8y＝xy，即＝1． ∴x＋y＝(x＋y)·＝18， 当且仅当，即x＝2y＝12时“＝”成立． ∴x＋y的最小值为18． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 阅读材料 关键能力 必备知识 学习效果 3.2　基本不等式 $