精品解析：重庆市长寿中学校2024-2025学年高一上学期11月期中测试数学试题

重庆市长寿中学校2024-2025学年上学期高一半期测试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 给出下列关系，其中正确的个数为（ ） ①；②；③；④， A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】常见集合的元素特征，判断元素与集合的关系. 【详解】：全体实数，①正确；：整数，②正确；：正整数，③错误；：有理数，④错误. 故选：B. 2. 已知集合，，则下列结论中正确的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由得，故，选项为C. 考点：集合间的关系. 3. 已知全集，集合，，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合，再根据集合的基本运算即可求解. 【详解】解：，， ， 或， 故选：C. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出绝对值不等式，根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为，所以或， 易得“”是“或”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 设命题，使得，则为（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 【答案】A 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，即可求解. 【详解】为，都有． 故选：A． 6. 已知，则以下错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可. 【详解】因为，所以， 对于A，，,, 综上可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误； 故选：D. 7. 如图，在一个圆心为，半径为的半圆形钢板上截取一块矩形材料，使矩形的一边落在半圆的直径上，则这个矩形的面积最大时，的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设且为锐角，用所设参数表示出矩形面积，结合倍角正弦公式及正弦型函数性质求最大面积. 【详解】设且为锐角，面积最大的矩形必内接于半圆， 且两边长分别为，． 这个矩形面积为． 所以当（为锐角），即时矩形的面积取得最大值． 故选：B 8. 若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解. 【详解】由题意，对于都有成立， ∴，解得：， 即实数的取值范围是. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知或，则或 C. 如果，那么 D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意根据的定义可知，可先求出，再求出其以为全集的补集，结合具体选项中集合的关系逐项判断，即可得出结论. 【详解】根据差集定义即为且， 由，可得，所以A错误； 由定义可得即为且， 由或，可知或，即B正确； 若，那么对于任意，都满足，所以且，因此，所以C正确； 易知且在图中表示的区域可表示为，也即，可得，所以D正确. 故选：BCD 10. 下列函数中，最小值是4的有（ ）. A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值判断ACD，取，可判断B. 【详解】对于A选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，满足题意； 对于B选项，当时，，则，不满足题意； 对于C选项，， 当且仅当时，即时，等号成立，又，所以等号不成立， 即的最小值不是，不满足题意； 对于D选项，， 当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值是4，满足题意. 故选：AD. 11. 定义在内的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意整理函数解析式，根据其单调性求得值域，利用分情况讨论的思想，结合两个函数的值域之间的包含关系，建立不等式以及研究端点值，可得答案. 【详解】由，即，则， 由，则， 当时，，易知在上单调递减， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 由，则在上单调递增， 由，， 当时，，当时，， 则当时，， 当时，在上单调递增， 则，，即， 由题意可得，则，解得； 当时，在上单调递减， 则，，即， 由题意可得，则，解得； 综上所述，，显然. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数的解析式求出，所以. 【详解】因为函数，则，所以， 故答案为：. 13. 设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：__________________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得 ，所以 ，分类讨论当 和 时情况，即可得出结果. 【详解】由题意，得 ，所以 . 由于 中有 9 ，因此 A 中有 3 ，此时集合有共同元素1， 若 ，则 ，于是 ； 此时且 ，无正整数解； 若，集合有共同元素1和9，则， 所以 ，且，而， 所以， 当 时， ； 当 时， ； 因此满足条件的共有2个，分别为. 故答案为: 或 14. 已知，，则的最小值是______.当取最小值时，恒成立，则的取值范围是_______. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】由可得，然后利用基本不等式可得的最小值及此时的关系，然后可解出的取值范围. 【详解】因为 所以， 当且仅当即时等号成立， 当时，，所以当时取得最大值4 所以由恒成立可得，解得 故答案为：1； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用集合交集的运算，即可求出结果； （2）先求出全集，利用集合并集的运算，得到，再利用集合补集的运算，即可求解； （3）用集合补集的运算得到，再利用集合交集的运算，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 因为，又， 所以. 【小问3详解】 因为，， 所以，又，得到. 16. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【答案】（1）米 （2）平方米 【解析】 【分析】（1）设草坪的宽为米，长为米，得到，列出不等式，求得的范围，进而求得宽的最大值； （2）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：设草坪的宽为米，长为米，由面积均为400平方米，可得， 因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以， 可得，解得， 又因为，所以，所以宽的最大值为米. 【小问2详解】 解：记整个的绿化面积为平方米， 由题意可得 （平方米） 当且仅当时，即米时，等号成立， 所以整个绿化面积的最小值为平方米. 17. 已知，． （1）求证：函数在区间上是增函数； （2）求函数在区间上的值域. 【答案】（1）证明：令，则 ， 又，，，即， 所以函数在区间上是增函数. （2） 【解析】 【分析】（1）用单调性的定义证明即可. （2）由在区间上的单调性易得值域. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知函数在区间上是增函数，又， 所以函数在区间上的值域为. 18. 已知函数，. （1）当时，对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）当，时，解关于的不等式； （3）当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明：由，得， 即， 由点，均为函数与函数图象的公共点， 得， ， 两式相减得， 由，得， 则， 令，则， 整理得，解得， 所以. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用不等式恒成立分离参数，再利用单调性求出函数最值即可. （2）把代入，借助一元二次不等式分段求解即得. （3）由建立方程，作差变形，结合基本不等式及一元二次不等式求解证得. 【小问1详解】 当时，，， 对任意，关于的不等式恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 即当时，的最大值为0，则，所以实数的取值范围 【小问2详解】 当时，不等式，即， 当时，成立，则， 当时，得，即解，解得； 当且时，得，解得， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 略 19. 对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 【答案】（1）不动点为和； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，解该一元二次方程即可得解； （2）根据题意，转化为有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系，得到，且，化简，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 令，可得， 可得，解得， 所以二次函数的不动点为和. 【小问2详解】 二次函数有两个不相等的不动点，且， 则方程有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，且， 因为，即，解得，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市长寿中学校2024-2025学年上学期高一半期测试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 给出下列关系，其中正确的个数为（ ） ①；②；③；④， A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知集合，，则下列结论中正确的是 A. B. C. D. 3. 已知全集，集合，，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设命题，使得，则为（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 6. 已知，则以下错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在一个圆心为，半径为的半圆形钢板上截取一块矩形材料，使矩形的一边落在半圆的直径上，则这个矩形的面积最大时，的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知或，则或 C. 如果，那么 D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则 10. 下列函数中，最小值是4的有（ ）. A. B. C. D. 11. 定义在内的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则__________． 13. 设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：__________________. 14. 已知，，则的最小值是______.当取最小值时，恒成立，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，求： （1）； （2）； （3）. 16. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 17. 已知，． （1）求证：函数在区间上是增函数； （2）求函数在区间上的值域. 18. 已知函数，. （1）当时，对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）当，时，解关于的不等式； （3）当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：. 19. 对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $