精品解析：吉林省延边第二中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段检测数学试卷

延边第二中学2024—2025学年度第一学期第一次阶段检测 高二年级数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确） 1. 方程表示椭圆的充要条件是（ ）. A. B. 或 C. D. 2. 已知圆过点，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的焦距为6，直线与双曲线的一条渐近线平行，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 已知点，，直线：与线段有交点，则的值不可能是（    ） A. 6 B. 2 C. 1 D. 5. 若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3 8. 已知椭圆的右焦点为，，在椭圆上但不在坐标轴上，若，，且，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知直线，，则（   ） A. 过定点 B. 当时， C. 若，则 D. 当时，的斜率为0 10. 已知圆，圆，则下列说法错误的是（    ） A. 若过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围是 B. 若，则圆，公共弦长为 C. 圆上的点到直线的最短距离为 D. 过点作圆的切线，则的方程是 11. 已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，直线：与双曲线的右支相交于A，两点（点A在第一象限），若，则（    ） A. 双曲线的离心率为 B. C. D. 面积为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，请将答案写在答题纸上） 12. 已知直线与直线间的距离为，则_____ 13. 若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是______． 14. 已知双曲线的右顶点、右焦点为A、F，过点A的直线与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，，且，则双曲线的离心率为___________. 四、解答题（共5小题，共77分，请写出必要的解答过程） 15. 已知直线，圆． （1）求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； （2）若圆与关于直线对称，求的标准方程． 16. （1）在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离是到直线的距离的倍．求点的轨迹方程； （2）若动圆与圆､圆都外切.求动圆圆心的轨迹方程. 17. 已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点，点，分别是椭圆的左、右焦点，且的周长为． （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，且，求的值. 18. 已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）设是双曲线与圆在第一象限的交点，且为双曲线的焦点，求的面积. （3）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 19. 已知椭圆C：经过点，且焦距与长半轴相等， （1）求椭圆C的标准方程 （2）点（）与上的点之间的距离的最大值为6．过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为． ①证明：直线过定点； ②已知为坐标原点，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2024—2025学年度第一学期第一次阶段检测 高二年级数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确） 1. 方程表示椭圆的充要条件是（ ）. A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助椭圆的标准方程与充要条件的定义计算即可. 【详解】若表示椭圆， 则，解得或. 故选：. 2. 已知圆过点，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得圆心，半径，即可得圆的标准方程. 【详解】由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径， 故方程为. 故选：A. 3. 已知双曲线的焦距为6，直线与双曲线的一条渐近线平行，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合已知列式计算即得. 【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，， 由双曲线焦距为6，得，所以. 故选：A 4. 已知点，，直线：与线段有交点，则的值不可能是（    ） A. 6 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线恒过的定点的坐标，再求出的斜率，的斜率不存在，可得直线的斜率的范围，进而求出的范围． 【详解】直线整理可得， 联立，解得，， 即直线恒过定点， 可得，因为，的横坐标相同，所以斜率不存在， 所以直线与线段有交点，则直线的斜率， 而直线的斜率，解得． 故选：D． 5. 若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设出直线方程，将圆心代入直线，求解即可. 【详解】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心， 直线方程为，或，将点代入上式，解得 直线的方程为或. 故选：C. 6. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆的标准方程为，由椭圆的面积公式，离心率得到与的关系，解出、即可. 【详解】设椭圆的标准方程为，则椭圆的面积为，又， 联立解得．所以椭圆的标准方程为． 故选：D. 7. 若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】令且，利用两点距离公式求动点轨迹，结合轨迹圆的性质求三角形面积的最大值. 【详解】令且，则，整理得， 所以的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 要使△PAB面积最大，只需到直线的距离最大，故最大值为. 故选：D 8. 已知椭圆的右焦点为，，在椭圆上但不在坐标轴上，若，，且，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的对称性可知，可转化为焦点三角形顶角为，根据顶角的取值范围可知离心率的最值. 【详解】 设椭圆的左焦点为，上顶点为， 由，， 可知四边形为平行四边形，且为中点， 又，， 则，分别为，中点， 所以，， 由， 可知， 则四边形为矩形， 即， 即在椭圆上存在点使得， 所以，即， 即，即， 所以， 所以，即， 则， 又椭圆离心率， 则， 故选：A. 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知直线，，则（   ） A. 过定点 B. 当时， C. 若，则 D. 当时，的斜率为0 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，将直线变形求出定点判断；对B，代回直线方程验证判断；对C，根据两直线平行的充要条件列式计算；对D，将代回直线方程验证判断. 【详解】对于A，由得，令，得， 所以直线过定点，故A正确； 对于B，当时，直线，，所以，故B正确； 对于C，由，则，解得，故C错误； 对于D，当时，，此时的斜率不存在，故D错误. 故选：AB. 10. 已知圆，圆，则下列说法错误的是（    ） A. 若过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围是 B. 若，则圆，公共弦长为 C. 圆上的点到直线的最短距离为 D. 过点作圆的切线，则的方程是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项：根据圆的一般式，可得，再由于过点可作两条切线，则在圆外，可得参数范围；B选项：联立两圆，可得公共弦方程，再根据垂径定理可得弦长；C选项：根据圆心到直线的距离可得最短距离；D选项：设切线方程，结合圆心到直线的距离，解方程即可得解. 【详解】A选项：，即， 则，即， 又过点可作两条切线，则点在圆外， 即，解得或， 综上所述或，即，A选项错误； B选项：时，， 由，即，圆心，半径， 则公共弦方程为，即， 圆心到直线的距离，则弦长为，B选项错误； C选项：到直线的距离， 则圆上的点到直线距离的最小值为，C选项正确； D选项：由点在圆外，所以过点作的切线有条， 当直线斜率存在时，设直线，即， 则圆心到直线的距离，解得， 即直线方程为； 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时满足与圆相切； 综上所述，直线的方程为或，D选项错误； 故选：ABD. 11. 已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，直线：与双曲线的右支相交于A，两点（点A在第一象限），若，则（    ） A. 双曲线的离心率为 B. C. D. 面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】设，根据题意结合双曲线的定义可得，，，利用余弦定理可得，，进而依次判断求解各个选项. 【详解】由题意，可得，由于， 可知直线过右焦点，斜率， 设直线的倾斜角为，则，解得， 设，由，可得，，， 对于A，在中，可知，， 由余弦定理得，， 即，解得或（舍去）， 所以双曲线的离心率为，故A正确； 对于B，因为，所以， 在中，， 所以，故B错误； 对于C，在中，， 所以， 即，解得，即，故C正确； 对于D，由，可得， 所以的面积为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，请将答案写在答题纸上） 12. 已知直线与直线间的距离为，则_____ 【答案】或 【解析】 【分析】根据平行线间距离公式可得方程，解方程即可. 【详解】直线与直线之间的距离， 解得或， 故答案为：或. 13. 若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程分别写出离心率，由题意建立不等式，可得答案. 【详解】由椭圆可得其离心率， 由椭圆可得其离心率为， 由于比椭圆更扁， 故的离心率满足，即，解得， 故长轴长为. 故答案为：． 14. 已知双曲线的右顶点、右焦点为A、F，过点A的直线与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，，且，则双曲线的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】写出点A，F坐标，双曲线C的渐近线方程，利用给定的向量关系，求出点B坐标，代入双曲线方程即可得解. 【详解】双曲线中，A(a，0)，渐近线，设右焦点为F， 由,即，直线l：x=a， 由双曲线对称性知，不妨令Q(a，b)，设，则，， 因，则，解得， 即点，又点B在双曲线C上，则有， 解得，因e>1，则. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常见有两种方法：(1)求出a，c，代入公式；(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2=c2-a2转化为a，c的齐次式，然后将等式两边分别除以a或a2转化为关于e的方程，解方程即可得e． 四、解答题（共5小题，共77分，请写出必要的解答过程） 15. 已知直线，圆． （1）求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； （2）若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解. （2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解. 【小问1详解】 将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为， 将代入，解得， 故的一般式方程为． 【小问2详解】 设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得 所以的标准方程为． 16. （1）在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离是到直线的距离的倍．求点的轨迹方程； （2）若动圆与圆､圆都外切.求动圆圆心的轨迹方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）设点，分别表示两点间距离及点到直线的距离，化简可得解； （2）由外切可知，，即，根据双曲线的定义可轨迹方程. 【详解】（1）设点，由题意得：， 化简得： 所以点的轨迹方程是； （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为， 由题意可得， 所以， 即圆心满足到定点、的距离之差为定值， 所以，圆心的轨迹是以点、分别为左右焦点的双曲线的右支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此，圆心的轨迹方程为. 17. 已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点，点，分别是椭圆的左、右焦点，且的周长为． （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义表示焦点三角形周长，再结合离心率可得椭圆方程； （2）由椭圆定义可知，结合，可得，，根据余弦定理可知，进而可得. 【小问1详解】 由已知椭圆离心率，则， 又的周长为， 解得，， 所以， 即椭圆的方程为； 【小问2详解】 由已知点在椭圆上，则， 又，解得，， 又， 则， 所以. 18. 已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）设是双曲线与圆在第一象限的交点，且为双曲线的焦点，求的面积. （3）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知，再将点代入双曲线方程可得解； （2）联立双曲线与圆可得点坐标，进而可得三角形面积； （3）由已知可得直线方程，联立直线与双曲线，结合韦达定理与弦长公式可得解. 【小问1详解】 由已知双曲线的实轴长为，即得， 所以双曲线方程为， 又双曲线过点，则， 解得， 则双曲线方程； 【小问2详解】 联立双曲线与圆的方程， 即，解得， 由点在第一象限，则， 又， 所以； 【小问3详解】 由已知直线，即， 联立直线与双曲线，即， 得，， 且，， 则弦长. 19. 已知椭圆C：经过点，且焦距与长半轴相等， （1）求椭圆C的标准方程 （2）点（）与上的点之间的距离的最大值为6．过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为． ①证明：直线过定点； ②已知为坐标原点，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） ①设是椭圆上一点，则，所以， 所以（）， 因为，所以当时，， ，解得或（舍去），所以 由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为（）， ，，，联立直线和的方程， 得消去并化简，得， 所以， 解得，且． 又点在点的右侧，则，且，， 所以直线的方程为， 所以， 因为 ， 所以，所以直线过定点． ② 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入，结合，，即可求解， （2）①根据两点距离公式，结合二次函数的性质可得，即可联立直线与椭圆方程得韦达定理，根据点斜式求解直线的方程为，代入化简即可求解，②根据点到直线距离公式以及弦长公式表达出面积，，利用换元法，以及对勾函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，且，， 解得， 故椭圆方程为： 【小问2详解】 ①略 ②由①知直线的方程为，设，则， ，将，代入， 可得，由，且，得的取值范围为． 由消去并化简得，则，，． ， 原点到直线的距离为，所以， 令，由的取值范围为，得的取值范围为． 又函数在上单调递增，所以，的值域为． 所以的取值范围是，所以面积的取值范围为． 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $