精品解析：安徽省芜湖市镜湖区安徽师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

安徽师范大学附属中学2024-2025学年第一学期期中考查 高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 空间直角坐标系中，已知点，点，则（ ） A. 点和点关于轴对称 B. 点和点关于轴对称 C. 点和点关于轴对称 D. 点和点关于原点中心对称 4. 已知直线的斜率的范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. 或 B. C. D. 或 5. 已知点、、，则外接圆的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（ ） A B. C. D. 8. 已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线始终过定点 B. 若，则或 C 若，则或 D. 当时，不过第四象限 10. 点在圆上，点在上，则（ ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上 C. 的取值范围为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的余弦值的取值范围为 B. 点到平面的距离为 C. 点到所在直线的距离为2 D. 若线段的中点为，则一定平行于平面 12. 双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布•伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知曲线为一条双纽线，曲线上的点到定点的距离之积为4，点是曲线上一点，则下列说法中正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 面积最大值为1 C. 点在椭圆上，若，则点也在曲线上 D. 的最大值为 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______． 14. 已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 15. 加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是______. 16. 阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程不同时为可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程不同时为可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 四､解答题：本题共6小题，共66分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知的顶点边上的中线所在直线方程边上的高所在直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的斜率. 18. 已知圆的方程为. （1）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （2）过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为的正三角形，，平面平面. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 20. 已知直线与椭圆交于两点，线段的中点坐标为. （1）求直线的方程； （2）求的面积. 21. 如图，已知多面体底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面是的中点. （1）证明：平面； （2）在棱（不包括端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 22. 知椭圆分别为椭圆的左顶点和上顶点，为右焦点.过的直线与椭圆交于的最小值为，且椭圆上的点到的最小距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知椭圆的右顶点为是椭圆上的动点（不与顶点重合）.若直线与直线交于点，直线与轴交于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽师范大学附属中学2024-2025学年第一学期期中考查 高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加减法的坐标表示计算可得结果. 【详解】由可得. 故选：B 2. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果. 【详解】∵点为中点， ∴， ∴. 故选：B 3. 在空间直角坐标系中，已知点，点，则（ ） A. 点和点关于轴对称 B. 点和点关于轴对称 C. 点和点关于轴对称 D. 点和点关于原点中心对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系点的对称规律解题. 【详解】由于,坐标不变，其他互为相反数.则两点关于轴对称. 故选：B. 4. 已知直线的斜率的范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】由题意可知， 由正切函数的单调性可知：或. 故选：D 5. 已知点、、，则外接圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设外接圆的方程为，将三个顶点代入圆的方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设外接圆的方程为， 由题意可得，解得， 因此，外接圆的方程是. 故选：B. 6. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件求得所求椭圆的、值，即可得到其标准方程. 【详解】椭圆可化为， 可知椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标为， 故可设所求椭圆方程， 则，又，即，所以， 所以所求椭圆标准方程为． 故选：B． 7. 已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用椭圆定义和焦距性质可解. 【详解】根据题意，焦距，.根据椭圆定义，周长为，解得. 则离心率为. 故选：C 8. 已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设知，.设为的中点，所以.求出点的轨迹方程.设点到直线的距离分别为，求出，得到.求出点到直线的距离，得出的范围即可解决. 【详解】由题设知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以. 设为的中点，所以.所以点的轨迹方程为. 其轨迹是以为圆心，半径为的圆. 设点到直线的距离分别为， 所以， 所以. 因为点到直线的距离为， 所以，即， 所以.所以的取值范围为. 故选：A. 二､多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线始终过定点 B. 若，则或 C. 若，则或 D. 当时，不过第四象限 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件，直接求出直线的定点，即可判断A，再结合直线平行、垂直的性质判断B、C，将直线方程化为斜截式，即可判断D 【详解】对于A：直线，即，令，解得， 故直线过定点，故A正确； 对于B：若，则，解得或， 当时，，，则与重合，故舍去， 当时，易得，所以，故B错误； 对于C：若，则，解得或，故C正确； 对于D：当时，直线始终过点，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D错误． 故选：AC． 10. 点在圆上，点在上，则（ ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上 C. 的取值范围为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出两圆圆心坐标和半径确定两圆位置判断AD；求出两圆公共的对称轴判断B；利用圆上点最值关系判断C正确.. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，由，得圆外离，这两个圆有4条公切线，A错误； 对于B，直线的方程为上，因此直线为两圆的公共对称轴，B正确； 对于C，，，则的取值范围为， C正确； 对于D，由圆外离，得圆不存公共弦，D错误. 故选：BC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的余弦值的取值范围为 B. 点到平面的距离为 C. 点到所在直线的距离为2 D. 若线段的中点为，则一定平行于平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】建系，求平面的法向量.对于A：利用空间向量求线面夹角；对于B：利用空间向量求点到面的距离；对于C：利用空间向量求点到直线的距离；对于D：利用空间向量证明线面平行. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，设， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 对于选项A：设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的余弦值的取值范围为，故A错误； 对于选项B：点到平面的距离为，故B正确； 对于选项C：因为，则， 且， 则点到所在直线的距离为，故C正确； 对于选项D：由题意可知：，则， 可得，可知， 且平面，所以一定平行于平面，故D正确； 故选：BCD 12. 双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布•伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知曲线为一条双纽线，曲线上的点到定点的距离之积为4，点是曲线上一点，则下列说法中正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 面积的最大值为1 C. 点在椭圆上，若，则点也在曲线上 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：根据双纽线定义，求得其轨迹方程，将点坐标代入即可检验；对B：根据三角形面积公式，结合勾股定理，即可容易求得面积最大值；对C：根据题意，求得，即可验证是否满足双纽线定义；对D：根据，结合余弦定理，即可求得的最大值. 【详解】对A：设动点，由题可得的轨迹方程； 把点代入上式，上式显然成立，故点在曲线上，A正确； 对B：， 当时，即当时， 即当或时，，， 此时，的面积取得最大值，故B错误； 对C：椭圆上的焦点坐标恰好为与，则， 又，所以，故， 所以点也在曲线上，C正确； 对D：因为， 所以 由余弦定理得， 于是有， 因此， 所以，则， 当且仅当，也即时，根据A中所求，结合对称性可知， 也即，等号成立；故的最大值为，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟练掌握椭圆、双曲线中焦点三角形面积的处理方法，从而在双纽线中借鉴类似的处理手段；二是，紧扣双纽线定义和轨迹方程，从而处理问题. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用分类讨论，结合点斜式方程与截距式方程，可得答案. 【详解】当直线过原点时，斜率为，则方程为； 当直线不过原点时，由题意方程可设，代入，可得，解得，则方程为. 故答案为：或. 14. 已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得两圆的圆心与半径，然后根据两圆的位置关系列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为圆的圆心，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则圆心距为，且两圆相交，则，解得. 故答案为： 15. 加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先通过椭圆的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解. 【详解】由椭圆方程可知蒙日圆半径为， 所以蒙日圆方程为， ∵点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上， ∴直线和蒙日圆有公共点. ∴圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以， 所以椭圆离心率，所以. 故答案为：. 16. 阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程不同时为可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程不同时为可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用题意先得出平面的方程及其一个法向量，再计算两平面与的法向量，设交线的方向向量结合线面夹角的向量法计算即可. 【详解】平面的方程为，所以平面的法向量可取， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 设两平面的交线的方向向量为， 由， 取，可得， 所以为直线的一个方向向量. 设直线与平面所成角的大小为， 则. 故答案为：. 四､解答题：本题共6小题，共66分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知的顶点边上的中线所在直线方程边上的高所在直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两条直线互相垂直斜率互为相反数，得出AC所在直线方程，再跟CM所在直线方程联立方程即可. （2）设点的坐标把M的坐标表示出来，利用点B在直线BH上，点M在直线CM上，列式联立方程即可. 【小问1详解】 边上的高所在直线方程为，其斜率为，故直线的斜率为， 则直线的方程为：，即， 联立方程与中线所在直线方程，可得， 故点的坐标为. 【小问2详解】 设点的坐标为，由点在直线上可得； 的中点的坐标为，点的坐标满足直线方程， 即； 故可得，即点坐标为. 则直线的斜率为. 18. 已知圆的方程为. （1）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （2）过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 【答案】（1）或 （2）6 【解析】 【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，再由弦长公式求得结果； （2）由切线长公式可知当最小，计算可得的最小值. 【小问1详解】 圆的标准方程为. ①当斜率不存在时，直线的方程为， 直线截圆所得弦长为，符合题意； ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线的距离为 根据垂径定理可得，即，解得. 即直线的方程为或 【小问2详解】 圆心. 因为与圆相切，所以. 当最小，所以. 可得 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为的正三角形，，平面平面. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据条件得到，，由线面垂直的判定理得平面，再由线面垂直的性质定理，即可证明结果； （2）根据条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，利用线面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接， 因为是边长为的正三角形，所以， 在菱形中，，则为等边三角形，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 如图，以点为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系. 因，则. 设平面的法向量为，则有， 令，则，所以， 因为，记直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为. 20. 已知直线与椭圆交于两点，线段的中点坐标为. （1）求直线的方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设代入到椭圆，两式相减可求出直线斜率，根据点斜式可求解； （2）根据（1）中求出的直线方程和椭圆联立，根据韦达定理，可求出长，根据点到直线距离公式可求出点到直线的距离，即可求解. 【小问1详解】 设， 由是椭圆上两点得，， 两式相减得，即， 因为线段的中点坐标为，所以， 所以，即，所以直线的方程为， 即. 小问2详解】 由得，，则， 所以， 点到直线的距离， 所以. 21. 如图，已知多面体的底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面是的中点. （1）证明：平面； （2）在棱（不包括端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）取中点，取中点，通过证明平面，从而建立空间坐标系，求出平面的法向量，说明即可； （2）求出平面法向量和平面的法向量，利用平面与平面的夹角为建立等式，求解即可. 【小问1详解】 如图，取中点，取中点，连接，, 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面， 又平面，平面平面， 所以平面， 又底面为矩形，则. 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴 建立空间直角坐标系， 由题意可得，，， 已知是的中点.则， 可知，， 由四边形为平行四边形， 得， 设平面的法向量， 则，取，得， 则平面的一个法向量, 故， 则.且平面，则平面. 【小问2详解】 设.设.因为， 所以.于是有. 所以. 又.设平面法向量， 则即, 所以平面一个法向量为. 平面的一个法向量为. 则， 化简得.所以无实数解，不存在这样的点. 22. 知椭圆分别为椭圆的左顶点和上顶点，为右焦点.过的直线与椭圆交于的最小值为，且椭圆上的点到的最小距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知椭圆的右顶点为是椭圆上的动点（不与顶点重合）.若直线与直线交于点，直线与轴交于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）分别得到直线与直线的方程，联立可得点坐标，然后联立直线与椭圆方程，即可得到点坐标，得到直线斜率，从而表示出直线方程，再令，即可得到点坐标，表示出直线斜率，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意得，又，解得， 椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为.所以直线的方程为， 直线的方程为. 由，解得，所以. 由，得， 由， 则，所以，则， ， 因为不重合，所以，即，又， 所以， 直线的方程为， 令得. ， ， 当时，取得最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $