双曲线专题训练-2025年届高三数学一轮复习

双曲线专题训练-2025年高考数学一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024•昆明一模）双曲线﹣＝1的渐近线方程是（　　） A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 2．（2024•山西模拟）设直线x﹣3y+m＝0（m≠0）与双曲线相交于A，B两点，若线段AB中点的坐标是（x0，y0），且x0：y0＝4：3，则＝（　　） A． B． C． D．2 3．（2024•辽宁模拟）已知定点P（m，0），动点Q在圆O：x2+y2＝16上，PQ的垂直平分线交直线OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2024•渭南二模）已知双曲线C：，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，抛物线E与双曲线C的一条渐近线的交点为P，且P在第一象限，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D．2 5．（2024•泰安模拟）已知F是双曲线C：x2﹣＝1的右焦点，P是C左支上一点，，当△APF周长最小时，该三角形的面积为（　　） A． B． C． D． 6．（2024•如皋市模拟）M是双曲线上一点，点F1，F2分别是双曲线左右焦点，若|MF1|＝5，则|MF2|＝（　　） A．9或1 B．1 C．9 D．9或2 7．（2024•岳麓区校级模拟）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 8．（2024•西藏模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线C右支上一点，直线F1M交双曲线C的左支于N点．若|F1N|＝2，|F2M|＝3，|MN|＝4，且△MF1F2的外接圆交双曲线C的一条渐近线于点P（x0，y0），则|y0|的值为（　　） A． B． C． D．3 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•佛山校级模拟）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，且C的两条渐近线的夹角为θ，若|F1F2|＝2e（e为C的离心率），则（　　） A．a＝1 B． C． D．C的一条渐近线的斜率为 （多选）10．（2024•博爱县校级一模）已知曲线，点P（x，y）为曲线C上一动点，则下列叙述正确的是（　　） A．若m＝10，则曲线C的离心率为 B．若m＝1，则曲线C的渐近线方程为 C．若曲线C是双曲线，则曲线C的焦点一定在y轴上 D．若曲线C是圆，则x﹣y的最大值为4 （多选）11．（2024•灌云县校级模拟）双曲线具有如下光学性质：如图F1，F2是双曲线的左、右焦点，从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F1．若双曲线C的方程为，则（　　） A．双曲线的焦点F2到渐近线的距离为 B．若m⊥n，则|PF1||PF2|＝42 C．当n过点Q（3，6）时，光线由F2→P→Q所经过的路程为8 D．反射光线n所在直线的斜率为k，则 三．填空题（共3小题） 12．（2024•永寿县校级模拟）若双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝2x，则C的离心率为　 　． 13．（2024•闵行区二模）双曲线的左右焦点分别为F1、F2，过坐标原点的直线与Γ相交于A、B两点，若|F1B|＝2|F1A|，则＝　 　． 14．（2024•昌乐县校级模拟）已知双曲线C：的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线C上在第一象限内的点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则tanα•tanβ＝　 　；当2tanα+tanβ取最小值时，△PAB的面积为 　 　． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•盐湖区一模）已知F1、F2是双曲线的左、右焦点，直线l经过双曲线的左焦点F1，与双曲线左、右两支分别相交于A、B两点． （1）求直线l斜率的取值范围； （2）若，求△AOB的面积． 16．（2024•江西模拟）已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为． （1）求C的方程； （2）若直线l：y＝kx+2交C于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，求k的值． 17．（2024•浦东新区三模）已知双曲线C：x2﹣＝1，点F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，A（x1，y1）、B（x2，y2）为双曲线上的点． （1）求右焦点F2到双曲线的渐近线的距离； （2）若，求直线AB的方程； （3）若AF1∥BF2，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形AF1F2B的面积的取值范围． 18．（2024•甘井子区校级模拟）已知双曲线的离心率，P1，P2分别为其两条渐近线上的点，若满足的点P在双曲线上，且△OP1P2的面积为8，其中O为坐标原点． （1）求双曲线C的方程； （2）过双曲线C的右焦点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点，在x轴上是否存在定点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2024•阜阳模拟）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A（﹣1，0），B（1，0），动直线l过点M（2，0），当直线l与双曲线C有且仅有一个公共点时，点B到直线l的距离为． （1）求双曲线C的标准方程． （2）当直线l与双曲线C交于异于A，B的两点P，Q时，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2.是否存在实数λ，使得k2＝λk1成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 双曲线专题训练-2025年高考数学一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•昆明一模）双曲线﹣＝1的渐近线方程是（　　） A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 【解答】解：双曲线﹣＝1的渐近线方程是：y＝±x． 故选：A． 2．（2024•山西模拟）设直线x﹣3y+m＝0（m≠0）与双曲线相交于A，B两点，若线段AB中点的坐标是（x0，y0），且x0：y0＝4：3，则＝（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：将（x0，y0）代入直线x﹣3y+m＝0（m≠0）中，得x0﹣3y0+m＝0， 联立x0：y0＝4：3，解得，， 设A（x1，y1）B（x2，y2）， 联立x﹣3y+m＝0和双曲线b2x2﹣a2y2＝a2b2， 消去x得（9b2﹣a2）y2﹣6b2my+b2（m2﹣a2）＝0， 则Δ＝36b4m2﹣4b2（9b2﹣a2）（m2﹣a2）＝4a2b2（9b2+m2﹣a2）＞0， 因此， 整理得a2＝4b2，则a＝2b， 所以． 故选：D． 3．（2024•辽宁模拟）已知定点P（m，0），动点Q在圆O：x2+y2＝16上，PQ的垂直平分线交直线OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：当P在圆内，设PQ与圆的另一交点为N，设点H为弦NQ的中点， 则OH⊥PQ，线段PQ的中点E在线段HQ内， 则线段PQ的中垂线交线段OQ于点M，如图1， 连接MP，则|QM|＝|MP|， 所以|MP|+|MO|＝|MQ|+|MO|＝|OQ|＝4， 则|MP|+|MO|＝4＞|OP|＝|m|， 此时M的轨迹是以O，P为焦点的椭圆， 当点P在圆上时，线段PQ的中垂线交线段OQ于圆心O， 当点P在圆外时，设PQ与圆的另一交点为N， 设点H为弦NQ的中点，则OH⊥PQ，线段PQ的中点E在线段HP内， 则线段PQ的中垂线交线段QO的延长线于点M，如图2， 连接MP，则|QM|＝|MP|， 所以|MP|﹣|MO|＝|MQ|﹣|MO|＝|OQ|＝4， 则|MP|﹣|MO|＝4＜|OP|＝|m|， 此时点M的轨迹是以O，P为焦点的双曲线的一支， 同理当Q在圆上运动时，还会得到|MO|﹣|MP|＝4＜|OP|＝|m|， 所以动点M的轨迹是双曲线，则点P在圆外，所以|m|＞r＝4． 综上可得，|m|＞4． 故选：D． 4．（2024•渭南二模）已知双曲线C：，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，抛物线E与双曲线C的一条渐近线的交点为P，且P在第一象限，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：抛物线E：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线为l：x＝﹣1，令l交x于点T，即有|FT|＝2， 由PQ⊥l，直线QF的倾斜角为120°，得∠PQF＝∠QFT＝60°，则， 又|PF|＝|PQ|，则△PQF为正三角形，|PQ|＝4，因此点， 双曲线C：过点P的渐近线为，于是，解得， 所以双曲线C的离心率． 故选：B． 5．（2024•泰安模拟）已知F是双曲线C：x2﹣＝1的右焦点，P是C左支上一点，，当△APF周长最小时，该三角形的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：易知a＝1，c＝3， 所以F（3，0），|AF|＝15， 不妨设F1是双曲线的左焦点， 此时|PF|﹣|PF1|＝2， 所以|PA|+|PF|＝|PA|+|PF1|+2≥|AF1|+2＝17， 则当点P是线段AF1与双曲线的交点时，|PA|+|PF|＝|PA|+|PF1|+2取得最小值， 此时△APF的周长最小， 此时，cos∠PAF＝， 解得， 由余弦定理得|PF|2＝|PA|2+|AF|2﹣2|PA||AF|cos∠PAF， 即（17﹣|PA|）2＝， 解得|PA|＝10， 所以＝． 故选：D． 6．（2024•如皋市模拟）M是双曲线上一点，点F1，F2分别是双曲线左右焦点，若|MF1|＝5，则|MF2|＝（　　） A．9或1 B．1 C．9 D．9或2 【解答】解：M是双曲线上一点，点F1，F2分别是双曲线左右焦点，|MF1|＝5， 所以， 由双曲线定义可知||MF1|﹣|MF2||＝2a＝4， 所以|MF2|＝1或者9，又|MF2|≥c﹣a＝2， 所以|MF2|＝9． 故选：C． 7．（2024•岳麓区校级模拟）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2， 则根据椭圆及双曲线的定义得：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2， ∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2， 设， 则在△PF1F2中，由余弦定理得：， 化简得， 即， 则 ＝， 当且仅当， 即时等号成立， 故选：A． 8．（2024•西藏模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线C右支上一点，直线F1M交双曲线C的左支于N点．若|F1N|＝2，|F2M|＝3，|MN|＝4，且△MF1F2的外接圆交双曲线C的一条渐近线于点P（x0，y0），则|y0|的值为（　　） A． B． C． D．3 【解答】解：因为点M，N分别在双曲线C的右支和左支上， 所以|MF1|﹣|MF2|＝|NF2|﹣|NF1|＝2a． 又|F1N|＝2，|F2M|＝3，|MN|＝4， 即有|MF1|﹣|MF2|＝4+2﹣3＝3， 所以，|NF2|＝|NF1|+2a＝5， 所以， 由勾股定理的逆定理可得∠NMF2是直角． 在Rt△MF1F2中，， 所以（2c）2＝62+32，所以，即b＝3． 又△MF1F2的外接圆交双曲线C的一条渐近线于点P（x0，y0）， 所以|OP|＝c，所以点P（x0，y0）的坐标满足， 解得，所以，即|y0|＝3． 故选：D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•佛山校级模拟）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，且C的两条渐近线的夹角为θ，若|F1F2|＝2e（e为C的离心率），则（　　） A．a＝1 B． C． D．C的一条渐近线的斜率为 【解答】解：双曲线的F1（﹣2a，0），F2（2a，0），e＝＝2， 由|F1F2|＝2e，可得4a＝4，解得a＝1，故A正确，C错误； 由双曲线的渐近线方程y＝±x，可得θ＝，故B、D正确． 故选：ABD． （多选）10．（2024•博爱县校级一模）已知曲线，点P（x，y）为曲线C上一动点，则下列叙述正确的是（　　） A．若m＝10，则曲线C的离心率为 B．若m＝1，则曲线C的渐近线方程为 C．若曲线C是双曲线，则曲线C的焦点一定在y轴上 D．若曲线C是圆，则x﹣y的最大值为4 【解答】解：对于选项A，m＝10时，曲线C为，曲线为焦点在x轴上的椭圆，且，故， 则曲线C的离心率为，故A选项正确； 对于选项B，m＝1时，曲线C为，可知曲线为双曲线，且焦点在y轴上，， 则曲线C的渐近线方程为，故B选项错误； 对于选项C，若曲线C是双曲线，则m（2m﹣4）＜0，解得：0＜m＜2，因2m﹣4＜0， 则曲线C的焦点一定在y轴上，故C选项正确； 对于选项D，若曲线C是圆，则m＝2m﹣4，即m＝4， ∴x2+y2＝4，设 x﹣y＝c，则得y＝x﹣c， 如图，要求x﹣y的最大值，即求直线y＝x﹣c的纵截距的最小值， 又因P（x，y）为曲线C上一动点， 故可考虑直线与圆相切时的情况，由圆心O（0，0）到直线x﹣y﹣c＝0的距离为，解得， 结合图象知，即x﹣y的最大值为，故D选项错误． 故选：AC． （多选）11．（2024•灌云县校级模拟）双曲线具有如下光学性质：如图F1，F2是双曲线的左、右焦点，从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F1．若双曲线C的方程为，则（　　） A．双曲线的焦点F2到渐近线的距离为 B．若m⊥n，则|PF1||PF2|＝42 C．当n过点Q（3，6）时，光线由F2→P→Q所经过的路程为8 D．反射光线n所在直线的斜率为k，则 【解答】解：对于A，由双曲线C的方程为知双曲线的渐近线方程为：， 焦点F2（5，0）到直线的距离为：，故A正确； 对于B，若m⊥n， 则∠F1PF2＝90°， 因为P在双曲线右支上， 所以|F1P|﹣|F2P|＝4，由勾股定理得：， 二者联立解得：，故B正确； 对于C，光由F2→P→Q所经过的路程为，故C不正确； 对于D，双曲线的渐进线方程为， 设左、右顶点分别为A、B，如图所示： 当与同向共线时，的方向为，此时k＝0，最小， 因为P在双曲线右支上， 所以n所在直线的斜率为．即，故D正确． 故选：ABD． 三．填空题（共3小题） 12．（2024•永寿县校级模拟）若双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝2x，则C的离心率为　　． 【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y＝±，一条渐近线的方程为y＝2x， ∴＝2，设a＝t，b＝2t 则c＝＝t ∴离心率e＝＝ 故答案为： 13．（2024•闵行区二模）双曲线的左右焦点分别为F1、F2，过坐标原点的直线与Γ相交于A、B两点，若|F1B|＝2|F1A|，则＝　4　． 【解答】解：双曲线的a＝1，b＝，c＝， 设B在第一象限，A在第四象限，设|AF1|＝m，|F1B|＝n， 由题意可得n＝2m， 由|OA|＝|OB|，|OF1|＝|OF2|，可得四边形BF1AF2是平行四边形， 则||F1A|＝|F2B|＝m， 由双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|＝2a＝2，即n﹣m＝2，即有m＝2，n＝4， 在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1BF2＝＝﹣， 即有cos∠AF2B＝， 则＝|F1B|•|F2B|•cos∠AF2B＝4×2×＝4． 故答案为：4． 14．（2024•昌乐县校级模拟）已知双曲线C：的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线C上在第一象限内的点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则tanα•tanβ＝　3　；当2tanα+tanβ取最小值时，△PAB的面积为 　　． 【解答】解：设P（m，n），根据对称性，不妨设P在第一象限， 则，∴n2＝3（m2﹣1），又A（﹣1，0），B（1，0）， ∴tanα•tanβ＝kAP•kBP＝＝＝3； 又tanα与tanβ都大于零， ∴2tanα+tanβ≥＝， 当且仅当2tanα＝tanβ时，等号成立， ∴，∴解得m＝3， ∴n2＝3（m2﹣1）＝24，∴n＝， ∴△PAB的面积为＝＝． 故答案为：3；． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•盐湖区一模）已知F1、F2是双曲线的左、右焦点，直线l经过双曲线的左焦点F1，与双曲线左、右两支分别相交于A、B两点． （1）求直线l斜率的取值范围； （2）若，求△AOB的面积． 【解答】解：（1）在双曲线中，a＝1，，则， 该双曲线的左焦点为F1（﹣2，0），若直线l的斜率不存在，则直线l与双曲线交于左支上的两点，不合乎题意， 设直线l的方程为y＝k（x+2），设点A（x1，y1）、B（x2，y2）， 联立可得（k2﹣3）x2+4k2x+（4k2+3）＝0， 因为直线l与双曲线左、右两支分别相交于A、B两点， 所以，，解得， 因此，直线l的斜率的取值范围是． （2）因为，， 由可得，则y2＝5y1， 当直线l与x轴重合时，则点A（﹣1，0）、B（1，0），，， 此时，，不合乎题意， 设直线l的方程为x＝my﹣2（m≠0），联立可得（3m2﹣1）y2﹣12my+9＝0， 由（1）可得，则或， 由韦达定理可得，则， ，即，解得，则， 所以，． 16．（2024•江西模拟）已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为． （1）求C的方程； （2）若直线l：y＝kx+2交C于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，求k的值． 【解答】解：（1）记双曲线C的半焦距为c， 因为双曲线C的离心率为2， 所以，① 不妨设C的顶点为（a，0），渐近线方程为bx﹣ay＝0， 因为双曲线C的顶点到渐近线的距离为， 所以，② 又a2+b2＝c2，③ 联立①②③， 解得，，， 则C的方程为； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（3﹣k2）x2﹣4kx﹣10＝0， 此时3﹣k2≠0且Δ＞0， 解得解得且， 由韦达定理得，， 所以， 又点O到直线l的距离， 所以△AOB 的面积， 解得k＝±1或k＝±2， 此时满足且． 故k＝±1或k＝±2． 17．（2024•浦东新区三模）已知双曲线C：x2﹣＝1，点F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，A（x1，y1）、B（x2，y2）为双曲线上的点． （1）求右焦点F2到双曲线的渐近线的距离； （2）若，求直线AB的方程； （3）若AF1∥BF2，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形AF1F2B的面积的取值范围． 【解答】解：（1）由题，右焦点F2（2，0）， 渐近线方程为， 因此焦点F2到渐近线的距离为； （2）显然，直线AB不与x轴重合，设直线AB方程为x＝my+2， 由，得y1＝﹣3y2， 联立方程，得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0， 其中，Δ＝36m2+36＞0恒成立，，， 代入y1＝﹣3y2，消元得，， 即，解得， 所以，直线AB的方程为； （3）延长AF1交双曲线于点P，延长BF2交双曲线于点Q．则由对称性得，四边形APQB为平行四边形，且面积为四边形AF1F2B面积的2倍， 由题，设Q（x3，y3），直线AP程为x＝my﹣2，直线BQ方程x＝my+2， 由第（2）问，易得， 因为y2y3＜0，得3m2﹣1＜0，即0≤，因而， 平行线AP与BQ之间的距离为， 因此，， 令，则1， 故， 得在上是严格增函数， 故（等号当且仅当t＝1时成立） 所以，四边形AF1F2B面积的取值范围为[12，+∞）． 18．（2024•甘井子区校级模拟）已知双曲线的离心率，P1，P2分别为其两条渐近线上的点，若满足的点P在双曲线上，且△OP1P2的面积为8，其中O为坐标原点． （1）求双曲线C的方程； （2）过双曲线C的右焦点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点，在x轴上是否存在定点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由双曲线的离心率e＝＝＝，可得a＝b， 因为，P为P1P2的中点，由双曲线的对称性及渐近线的对称性，可得P为双曲线的顶点， 所以P1（a，b），P2（a，﹣b）， 所以＝a•2b＝ab＝8，所以可得a2＝b2＝8， 所以双曲线的方程为：﹣＝1； （2）当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为：x＝my+4，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，整理可得：（m2﹣1）y2+8my+8＝0，可得m2≠1，Δ＝64m2﹣32（m2﹣1）＞0，即m2＞1， 且y1+y2＝，y1y2＝， 假设存在M（x0，0）满足条件， 则•＝（x1﹣x0，y1）（x2﹣x0，y2）＝（x1﹣x0）（x2﹣x0）+y1y2＝（my1+4﹣x0）（my2+4﹣x0）+y1y2＝（1+m2）y1y2+（4﹣x0）m（y1+y2）+（4﹣x0）2＝+m（4﹣x0）•）+（4﹣x0）2 ＝＝， 要使•为定值，则＝，解得x0＝2， 即M（2，0）满足条件使得•＝﹣8＝﹣4为常数； 当直线AB的斜率为0时，则直线AB的方程为y＝0，则A（﹣2，0），B（2，0），M（2，0）， 可得•＝（2+2，0）（2﹣2，0）＝（2+2）（2﹣2）＝22﹣（2）2＝﹣4，也成立， 综上所述：M（2，0）满足•为常数﹣4． 19．（2024•阜阳模拟）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A（﹣1，0），B（1，0），动直线l过点M（2，0），当直线l与双曲线C有且仅有一个公共点时，点B到直线l的距离为． （1）求双曲线C的标准方程． （2）当直线l与双曲线C交于异于A，B的两点P，Q时，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2.是否存在实数λ，使得k2＝λk1成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵a＝1， ∴， 故当直线l过（2，0）与双曲线C有且仅有一个公共点时，l应与C的渐近线平行， 设直线l：y＝±b（x﹣2），即bx±y﹣2b＝0，则点B到直线l的距离为，解得b＝1， ∴双曲线C的标准方程为x2﹣y2＝1； （2）由题可知，直线l的斜率不等于±1， 设直线l：x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由得：（m2﹣1）y2+4my+3＝0（m2﹣1≠0）， Δ＝4m2+12＞0成立， ， ∴， ∵， ∴＝＝＝， ∴存在实数λ＝﹣3，使得k2＝λk1成立． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$