精品解析：甘肃省2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024～2025学年度第一学期期中考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：湘教版必修第一册第一章～第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件重题 3. 已知函数，则的值是（ ） A. －2022 B. 0 C. 1 D. 2022 4. 设全集，集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 5. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知函数，则函数的解析式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ） A. 奇数都不能被2整除 B. 有的实数是无限不循环小数 C. 角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 D. 对任意实数x，方程都有解 10. 如果，，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 对于定义在R上的函数，下列判断正确的是（ ）． A. 若是偶函数，则 B. 若，则不是偶函数 C. 若，则函数是R上的增函数 D. 若，则函数在R上不是减函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合用列举法表示为______. 13. 函数的定义域是__________． 14. 已知，，，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知全集，，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围. 16. 若关于x的不等式的解集是 （1）求a的值； （2）求不等式的解集． 17. 设函数． （1）将函数写成分段函数的形式并画出其图象； （2）写出函数的单调区间和值域． 18. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 19. 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明； （3）若，求不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期中考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：湘教版必修第一册第一章～第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交运算即可求解. 【详解】，， ， 故选：B. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件重题 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求解，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】由， 则“”不能推出“”，反之成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 3. 已知函数，则的值是（ ） A. －2022 B. 0 C. 1 D. 2022 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为奇函数可求的值. 【详解】的定义域为，定义域关于原点对称. ，故为奇函数， 则． 故选：B. 4. 设全集，集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合并集与补集的运算，求得，进而得到其子集的个数. 【详解】由题意，全集， 因为，可得， 所以，所以的子集个数为个. 故选：B. 5. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由“，”为假命题，可得“”， ，为真命题，可知A，B，D不正确，即可得出答案. 【详解】若“，”为假命题，所以“”， ，为真命题， 所以A，B，D不正确 ，排除A，B，D． 故选：C． 6. 函数的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】换元再配方可得答案. 【详解】令，则， 所以. 故选：D. 7. 已知函数，则函数的解析式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用配凑法求解析式即可. 【详解】，且，所以，. 故选：B. 8. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性即可求解. 【详解】由于为偶函数，故，， 由于时，是增函数，， 故， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ） A. 奇数都不能被2整除 B. 有的实数是无限不循环小数 C. 角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 D. 对任意实数x，方程都有解 【答案】AC 【解析】 【分析】根据全称量词的定义求解即可. 【详解】选项A与C既是全称量词命题又是真命题，B项是存在量词命题，D项是假命题． 故选：AC 10. 如果，，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式性质可判断AC正确，取特殊值可知B错误；利用作差法可知D正确. 【详解】由题知，，所以，故A正确﹔ 取，，则，，故B不正确﹔ 因为，，所以，故C正确； 因为，故，故D正确， 故选：ACD. 11. 对于定义在R上的函数，下列判断正确的是（ ）． A. 若是偶函数，则 B. 若，则不是偶函数 C. 若，则函数是R上的增函数 D. 若，则函数在R上不是减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用偶函数定义判断选项AB，举反例否定选项C；利用减函数定义判断选项D. 【详解】选项A：若是定义在R上的偶函数，则恒成立， 则有成立，判断正确； 选项B：定义在R上的函数，若，则不恒成立， 则不是偶函数，判断正确； 选项C：定义在R上的函数，满足， 但函数不是R上的增函数.判断错误； 选项D：定义在R上的函数，若， 则对任意时，不恒成立， 则函数在R上不是减函数. 判断正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合用列举法表示为______. 【答案】## 【解析】 【分析】解方程，求出. 【详解】. 故答案为： 13. 函数的定义域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义，可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，解得. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 14. 已知，，，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，结合基本不等式求的最小值，再求的最小值. 【详解】因为，， 所以，又，， 所以，当且仅当时取等号． 所以，当且仅当时取等号． 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知全集，，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集交集的概念运算即可； （2）先判断集合间的包含关系，再列出不等式即可. 【小问1详解】 ， 若，， 所以； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分条件，所以， 所以 即实数m的取值范围是. 16. 若关于x的不等式的解集是 （1）求a的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）﹣2；（2）{x|﹣＜x＜1}． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由题意可知，1，是方程ax2+3x﹣1=0的两根，通过韦达定理可求出a的值；（2）将（1）中的a代入不等式ax2﹣3x+a2+1＞0，解这个一元二次不等式即可；（注意二次项系数小于0要变形求解） 试题解析： （1）依题意，可知方程ax2+3x﹣1=0的两个实数根为和1， ∴+1=﹣且×1=，解得a=﹣2， ∴a的值为﹣2； （2）由（1）可知，不等式为﹣2x2﹣3x+5＞，即2x2+3x﹣5＜0， ∵方程2x2+3x﹣5=0的两根为x1=1，x2=﹣， ∴不等式ax2﹣3x+a2+1＞0的解集为{x|﹣＜x＜1}． 考点：1.一元二次方程中韦达定理应用；2.一元二次不等式求解集． 17. 设函数． （1）将函数写成分段函数的形式并画出其图象； （2）写出函数的单调区间和值域． 【答案】（1），图象： （2）单调递增区间为，单调递减区间为，值域为 【解析】 【分析】（1）去掉绝对值符号将函数写成分段函数，再画出函数图象； （2）结合函数图象得到函数的单调区间与最小值，即可求出函数的值域. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以的图象如下所示： 【小问2详解】 由（1）中函数图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，所以的值域为. 18. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 【答案】（1）， （2）当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为. 【解析】 【分析】（1）由题意，把，代入，可求的值. （2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值. 【小问1详解】 由题意，， 因为时，，所以， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，为. 19. 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明； （3）若，求不等式的解集． 【答案】（1），令，则，又，所以． 证明：当时，，所以， 又，所以，所以； （2）在上单调递减． 证明：设，则 ， 又，所以，所以， 又当时，，当时，， 所以，即， 所以在上单调递减； （3）. 【解析】 【分析】（1）令，可得，令，结合已知即可得证； （2）设，令，结合的范围即可判断，得证； （3）利用赋值法求出，然后根据单调性去掉函数符号，解一元二次不等式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以， 所以，即， 又在上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $