精品解析：山东省淄博第七中学2024-2025学年高一上学期11月学分认定检测数学试题

2024—2025学年第一学期高一数学学分认定检测 一、单选题（每题5分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题“，使得”，则命题的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中（例如图中所示的建筑）．黄金三角形有两种，一种是顶角为，底角为的等腰三角形，另一种是顶角为，底角为的等腰三角形，则“中有一个角是”是“为黄金三角形”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（　　） A. B. C. D. 5. 不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数，若对任意、（），都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分） 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的最大值为1，没有最小值 C. D. 在上是增函数 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则以下结论正确的有（ ） A. B. 时， C. 的对称中心是 D. 方程的所有根之和等于 三、填空题（每题5分） 12. 函数的定义域为_______. 13. 已知，则的最大值为___________. 14. 已知定义在上的函数，若对任意的恒有，则实数的最小值为______． 四、解答题（15题13分，16—17题每题15分，18—19题每题17分） 15. 已知不等式的解集为集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知幂函数的图象经过点. （1）求的解析式. （2）设函数. ①判断的奇偶性； ②判断在上的单调性，并用定义加以证明. 17. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数的定义域为，且．当时，． （1）求； （2）证明：函数在为增函数； （3）如果，解不等式． 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期高一数学学分认定检测 一、单选题（每题5分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合运算定义先求并集，再求补集即得． 【详解】因为全集，集合， 所以， 所以． 故选：C． 2. 已知命题“，使得”，则命题的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题， 则命题的否定是“，使得”. 故选：C. 3. 黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中（例如图中所示的建筑）．黄金三角形有两种，一种是顶角为，底角为的等腰三角形，另一种是顶角为，底角为的等腰三角形，则“中有一个角是”是“为黄金三角形”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由充分必要条件的概念判断． 【详解】若中有一个角是，则其他两个角不确定，故不能推出为黄金三角形， 若为黄金三角形，由题意知中至少有一个角是， 故“中有一个角是”是“为黄金三角形” 必要不充分条件， 故选：C 4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据奇偶性定义判定函数是偶函数，从而排除选项CD；再根据的值排除选项A即可作出判断选择B． 【详解】定义域为R， ， 则是偶函数，其图象关于y轴轴对称，排除选项CD； 又因为，则排除选项A，选B. 故选：B． 5. 不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解法以及根与系数的关系即可求得结果. 【详解】依题意可知和3是方程的两个实数根，且； 因此，解得； 所以不等式可化为，即， 解得或，即不等式的解集为 故选：A 6. 已知偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质及单调性求解不等式. 【详解】偶函数在上单调递增，且，由， 得，则，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 7. 函数，若对任意、（），都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出函数在上单调递减，再利用分段函数的单调性列不等式组即可得出结果. 【详解】由对任意、（），都有成立，可知在上单调递减， 所以，解得，即实数a的取值范围为. 故选：C. 8. 若对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知利用基本不等式求出，解不等式即可求解. 【详解】若对任意满足的正数，都有成立， 则， 当且仅当即时等号成立，所以， 所以，即，即，解得或， 所以实数的取值范围是， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由不等式恒成立转化为， 再由再利用基本不等式可以求出最值，变形很关键，最后解分式不等式需要先移项，注意分母不为，避免出错. 二、多选题（每题6分） 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】首先根据奇偶函数的定义判断奇偶性；然后再根据函数单调性的定义来判断函数在区间上的单调性即可. 【详解】对于A选项，函数，其定义域为R，， 所以是偶函数； 函数对称轴为，所以在区间上单调递增，故A正确； 对于B选项，函数，其定义域为，，， 所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数，其定义域为， 所以是奇函数，不是偶函数，故C错误； 对于D选项，函数，其定义域为，， 所以是偶函数， 当时，在区间上单调递增，故D正确. 故选：AD. 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的最大值为1，没有最小值 C. D. 在上是增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的定义，结合的解析式，作出函数图象，即可结合选项逐一进行判断即可． 【详解】因为， 画出的图象如下： A选项，可以看出此函数不是偶函数，不关于轴对称，A错误； B选项，无最大值，有最小值0，B错误； C选项，因为， 故， ， 因为， 所以，故，C正确； D选项，由图象可知在上不是增函数，D错误. 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则以下结论正确的有（ ） A. B. 时， C. 的对称中心是 D. 方程的所有根之和等于 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求解判断ABC；解方程求解判断D. 【详解】对于A，由为奇函数，得，即，A正确； 对于B，当时，，而当时，， 因此，B错误； 对于C，由，得的对称中心是，C正确； 对于D，当时，，即，解得， 当时，，解得，所以方程的所有根之和等于，D正确. 故选：ACD 三、填空题（每题5分） 12. 函数的定义域为_______. 【答案】 【解析】 【分析】函数的定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得且. 故答案为：. 13. 已知，则的最大值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】由知， 当且仅当，即时取得等号， 即的最大值为， 故答案为： 14. 已知定义在上的函数，若对任意的恒有，则实数的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】探讨函数的单调性，变形不等式并利用单调性脱去法则，借助恒成立求出的范围即可. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递减， 因此函数在R上单调递减，不等式 ，依题意，对任意的，恒成立， 则，解得，所以实数的最小值为1. 故答案为：1 四、解答题（15题13分，16—17题每题15分，18—19题每题17分） 15. 已知不等式的解集为集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）可得出时，可得出集合，然后进行并集的运算即可； （2）根据，并且即可得出或，从而可得出的取值范围． 【小问1详解】 时，解得， ，且， ∴； 【小问2详解】 由解得， ，，且， 或， 或， ∴实数的取值范围为或． 16. 已知幂函数的图象经过点. （1）求的解析式. （2）设函数. ①判断的奇偶性； ②判断在上的单调性，并用定义加以证明. 【答案】（1） （2）①为奇函数； ②在上单调递减，证明如下： 由（1）得，， 则其定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为奇函数； ②在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）利用幂函数的定义，结合待定系数法即可得解； （2）①由（1）得，利用函数奇偶性的定义即可判断；②利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证. 【小问1详解】 依题意，设幂函数， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 ①为奇函数，理由如下： 由（1）得，， 则其定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为奇函数； ②在上单调递减，证明略. 17. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【小问1详解】 当时，； 当时，， ． 【小问2详解】 若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 18. 已知函数的定义域为，且．当时，． （1）求； （2）证明：函数在为增函数； （3）如果，解不等式． 【答案】（1）0 （2）证明：由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）对抽象等式进行字母赋值计算即得； （2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明； （3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得. 【小问1详解】 ∵， 令，则， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用抽象函数等式探究函数性质以及解不等式上的应用，属于难题. 解题方法主要有： （1）赋值代入法；（将字母取值，计算函数值） （2）构造函数法：(如（2）题中，对于，构造，从而得用来证明函数单调性) （3）函数单调性应用：利用函数单调性，去掉函数符号，化抽象函数不等式为具体不等式求解. 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数满足，求的最小值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意把代入式中可求值； （2）将代入方程可求解； （3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 原方程可化为： 即： ，即，解得：． 【小问3详解】 ，当且仅当，即时，等号成立， 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $