精品解析：广东省揭阳市普宁市华侨中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

普宁华侨中学2024-2025学年度高二第一学期期中考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数等于（ ） A. 1 B. C. 3 D. 3. 已知直线与垂直，则（ ） A. 0 B. 0或 C. D. 0或 4. 在三棱柱中，分别是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 6. 为了研究我市甲、乙两个智能手机专卖店的销售状况，厂家统计了去年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图．根据两店的营业额折线图可知，下列说法错误的是（ ） A. 甲店月营业额的平均值在内 B. 乙店月营业额总体呈上升趋势 C. 7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少 D. 乙店的月营业额极差小于甲店的月营业额极差 7. 已知直线恒过点，圆，则“直线的斜率为”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在中，点是边上一点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题说法正确的有（ ） A. 已知直线：与直线：，若，则或 B. 点关于直线的对称点的坐标为 C. 直线过定点 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个单调递增区间为 C. 函数的图象关于点对称 D. 若函数在上没有零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与交于，两点，则的面积为___________. 13. 已知，则________. 14. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高四尺.问：积及委米几何?”其意思：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为4尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有__________斛. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 16. 已知直线和直线的交点为. （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）若直线 与直线垂直，且到 的距离为，求直线的方程. 17. 中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据： 甲班 8 13 28 32 39 乙班 12 25 26 28 31 如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”． （1）请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值； （2）从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率． 18. 如图，在四棱锥中，底面，平面，. （1）证明：平面. （2）若，，且直线与直线所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 19. 如图1，已知圆心在轴的圆经过点和.过原点且不与轴重合的直线与圆交于A、B两点（在轴上方）. （1）求圆的标准方程； （2）若的面积为，求直线l的方程； （3）将平面xOy沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面AOD)与y轴负半轴和轴所确定的半平面（平面BOD）互相垂直，如图2，求折叠后的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁华侨中学2024-2025学年度高二第一学期期中考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 已知复数满足，则复数等于（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求解，根据复数模的定义求解即可. 【详解】由题可知， 故. 故选：D. 3. 已知直线与垂直，则（ ） A. 0 B. 0或 C. D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直的条件，列出等式，即可求出结果. 【详解】因为，则有，解得或， 故选：B. 4. 在三棱柱中，分别是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】如图，因为分别是的中点，，又， 所以， 得到， 故选：A. 5. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】由直线平分圆求出，再判断两圆的位置关系即得. 【详解】由圆的面积被直线平分， 得圆的圆心在直线上，即，解得， 因此圆的圆心，半径， 而圆的圆心，半径， 显然，所以圆与圆外切. 故选：D 6. 为了研究我市甲、乙两个智能手机专卖店的销售状况，厂家统计了去年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图．根据两店的营业额折线图可知，下列说法错误的是（ ） A. 甲店月营业额的平均值在内 B. 乙店月营业额总体呈上升趋势 C. 7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少 D. 乙店的月营业额极差小于甲店的月营业额极差 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图对选项逐一分析即可知，甲店月营业额的平均值为，可判断A正确；由折线图可知乙店每月的营业额总体呈上升趋势，故B正确；易知甲店月份的总营业额为，乙店的总营业额为，所以C正确；根据折线图可知甲店的月营业额极差为，乙店的月营业额极差为，乙店的月营业额极差比甲店的大，所以D错误. 【详解】对于A，甲店月营业额的平均值为，，所以A正确； 对于B，根据乙店的营业额折线图可知乙店每月的营业额逐月变大，所以总体呈上升趋势，故B正确； 对于C，由营业额折线图可知，甲店的月份的总营业额为， 乙店的月份的总营业额为，，所以C正确. 对于D，根据甲､乙两店的营业额折线图可知甲店的月营业额极差为， 乙店的月营业额极差为，乙店的月营业额极差比甲店的大，所以D错误； 故选：D. 7. 已知直线恒过点，圆，则“直线的斜率为”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与圆相切分析可知：直线的斜率不存在或直线的斜率为，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 若直线与圆相切，则有： 当直线的斜率不存在，则直线，符合题意； 当直线的斜率存在，设直线，即， 则圆心到线的距离，解得； 综上所述：当且仅当直线的斜率不存在或直线的斜率为时，线与圆相切. 可知“直线的斜率为”可以推出“直线与圆相切”，即充分性成立； “直线与圆相切”不可以推出“直线的斜率为”，即必要性不成立； 所以“直线的斜率为”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 在中，点是边上一点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求得，，.，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】在中，点是边上一点，，则，，. ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题说法正确的有（ ） A. 已知直线：与直线：，若，则或 B. 点关于直线的对称点的坐标为 C. 直线过定点 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】取值验证判断A；利用对称验证判断B；求出直线过的定点判断C；求出符合条件的直线判断D. 【详解】对于A，当时，直线：与直线：重合，A错误； 对于B，以点与为端点的线段中点在直线上， 又过点与的直线斜率，则该直线垂直于直线， 因此点与关于直线对称，B正确； 对于C，直线化为：， 由，解得，因此直线过定点，C正确； 对于D，过点且在轴，轴上的截距相等的直线可以过原点，其方程为，D错误. 故选：BC 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标表示得出向量夹角判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量判断C；得出向量共面判断D. 【详解】对于A：设向量与向量的夹角为，则，又因为，所以，A选项正确； 对于B：因为,，所以，B选项正确； 对于C：向量在向量上的投影向量为，C选项错误； 对于D：因为向量，所以，得出向量与向量共面，D选项正确. 故选：ABD. 11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个单调递增区间为 C. 函数的图象关于点对称 D. 若函数在上没有零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：利用图象求出函数的周期，由此求出，再由，求出的值，然后根据求出的值，进而可以判断；：利用的范围求出的范围，然后利用正弦函数的单调性以及整体代换的性质即可判断；：判断与0的关系，由此即可判断；：利用图象变换的性质以及数形结合建立不等式关系，由此即可判断． 【详解】：由函数图象可得，则，所以， 又，则，则，结合其范围有， 由，解得，所以，故正确； ：当时，，则函数在不单调递增，故错误； ：当 时，，所以的图象关于点,对称，故正确； 的图象是由的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍得到的， 由题图知 在上没有零点，则 在上没有零点， 由题意得，所以，故正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与交于，两点，则的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用弦长公式求得，进而求得三角形的面积. 【详解】的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 面积为. 故答案为：. 13. 已知，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式，结合“齐次式”的运算，即可求解. 【详解】因为，则. 故答案为：3. 14. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高四尺.问：积及委米几何?”其意思：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为4尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有__________斛. 【答案】10 【解析】 【分析】求出圆锥的底面半径，得到圆锥的体积，根据体积计算即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为尺，则，解得， 所以圆锥的体积为立方尺， 所以堆放的米约有斛. 故答案为：10 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式即可求解； （2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以 即． 因为，所以， 所以，因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可知，则． 因为的面积为，所以，解得 由余弦定理得， 则． 故的周长为． 16. 已知直线和直线的交点为. （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）若直线 与直线垂直，且到 的距离为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)联立求出点坐标，再根据两直线平行斜率相等即可求解;(2)根据两直线垂直斜率之积等于以及点到直线距离公式即可求解. 【小问1详解】 由解得,所以， 设所求直线为, 因为直线过点，所以解得， 所以所求直线方程为. 【小问2详解】 直线 与直线垂直,所以可设为， 又因为到 的距离等于，解得或， 所以所求直线方程为或. 17. 中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据： 甲班 8 13 28 32 39 乙班 12 25 26 28 31 如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”． （1）请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值； （2）从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率． 【答案】（1）24.4小时 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均数计算公式直接计算可得； （2）列举出所有可能情况，然后由古典概型概率公式可得. 【小问1详解】 甲班样本数据的平均值为， 由此估计甲班学生每周平均熬夜时间24小时； 乙班样本数据的平均值为， 由此估计乙班学生每周平均熬夜时间24.4小时． 【小问2详解】 由题知，甲班“过度熬夜”的有3人，记为，乙班“过度熬夜”的有2人，记为， 从中任取2人，有，共10种可能， 其中都来自甲班的有，共3种可能， 所以所求概率． 18. 如图，在四棱锥中，底面，平面，. （1）证明：平面. （2）若，，且直线与直线所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为底面，底面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，又平面，平面平面， 所以，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理、判定定理以及线面平行的性质定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，即可求解二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以直线与直线所成的角为， 因为底面，底面，所以， 所以，即， 设为2个单位长度， 以为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为，则 取，则，，得， 易得平面的一个法向量为， 由图可知二面角为锐角， 则二面角的余弦值为. 19. 如图1，已知圆心在轴的圆经过点和.过原点且不与轴重合的直线与圆交于A、B两点（在轴上方）. （1）求圆的标准方程； （2）若的面积为，求直线l的方程； （3）将平面xOy沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面AOD)与y轴负半轴和轴所确定的半平面（平面BOD）互相垂直，如图2，求折叠后的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心，半径为，根据，列出方程求得的值，即可求得圆的方程； （2）当直线的斜率不存在时，求得的面积为，舍去；设直线的方程为，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得弦长，进而求得到直线的距离为，根据题意列出方程，求得的值，即可求解； （3）当直线的斜率不存在时，由为等腰直角三角形，求得；设直线的方程为，联立方程组，求得，过作轴过作轴，得到，化简得到，进而求得折叠后的范围. 【小问1详解】 解：由题意，设圆心，半径为 因为圆经过点和，可得， 即，解得，所以， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 解：当直线的斜率不存在时，此时的方程为，可得， 此时的面积为，不符合题意，舍去； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中，即， 可得圆心到直线的距离为， 由圆的弦长公式，可得， 又由，设到直线的距离为， 所以的面积为， 整理得，解得或（舍去）， 所以，所以直线的方程为. 综上可得，直线的方程为. 【小问3详解】 解：当直线的斜率不存在时，此时的方程为，可得， 此时为等腰直角三角形，可得； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 可得，且， 过作轴，垂足为，过作轴，垂足为， 则 ， 因为，所以，所以， 综上可得，折叠后的范围. 【点睛】方法策略：解答直线与圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆的性质或圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； 3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆或圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $