精品解析：北京市房山区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

房山区2024-2025学年度第一学期学业水平调研（一） 九年级数学 本试卷共6页，满分100分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 如果，那么下列比例式中成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 函数最小值是3 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 对称轴为直线 5. 已知点（1，y1），（2，y2）都在函数y＝﹣x2的图象上，则（　　） A. y1＜y2 B. y1＞y2 C. y1＝y2 D. y1，y2大小不确定 6. 如图，点是的黄金分割点，即点满足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 0.618 7. 如图，在中，于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 若，则______． 10. 如图，是的边上的一点，连接，要使，还需要添加一个条件是______（写出一个即可） 11. 如图，相交于点，若，则______． 12. 请写出一个二次函数的表达式，满足条件：①开口向上；②与x轴无交点．______．（写出一个即可） 13. 已知两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的面积之比为___________． 14. 如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是________m． 15. 二次函数的图象如图所示，则______0，______0（填或）． 16. 如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本题共11道小题，17-25题每题6分，26-27题每题7分，共68分） 17. 如图是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上，在该网格中画出（顶点均在格点上），使（相似比），并求出相似比． 18. 已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … （1）在坐标系中画出该抛物线的图象； （2）该抛物线的对称轴是______． 19. 如图，在中，，．求的长． 20. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）画出这个二次函数的图象； （3）根据图象回答：当时，的取值范围是______． 21. 如图，在中，D，E分别是边，连接，且． （1）求证：； （2）如果E是的中点，，求 22. 如图，在正方形中，点在上，于点于点．若，求的面积． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的表达式； （2）求该二次函数的图象的顶点坐标； （3）当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值，直接写出的取值范围． 24. 已知：中，为上的中线，点在上，且，射线交于点．求的值． 25. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧） （1）求A，B两点的坐标； （2）若点P在该抛物线上，且的面积为6，求点P的坐标． 26. 学完了《相似形》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量位于良乡的昊天塔的高度（如图1），测量方法如下：如图2，从塔的底部B出发，作一条射线，在上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为．从标杆处沿后退到D处，从D处观察A点，发现A，F，D三点成一线；从标杆处沿后退到C处，从C处观察A点，发现A，H，C三点也成一线请根据以上测量数据，帮助实践小组求出昊天塔的高度． 27. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； （2）若该抛物线与轴交于点，且，求的取值范围； （3）当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 房山区2024-2025学年度第一学期学业水平调研（一） 九年级数学 本试卷共6页，满分100分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 如果，那么下列比例式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键． 根据比例的性质，可得答案． 【详解】解：A、由比例的性质，得与一致，故A符合题意； B、由比例的性质，得与不一致，故B不符合题意； C、由比例的性质，得与不一致，故C不符合题意； D、由比例的性质，得与不一致，故D不符合题意． 故选：A． 2. 将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数平移规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为， 故选：C． 3. 如图，两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】解：∵两条直线被三条平行线所截， ∴， 解得：x＝4， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式是解决问题的关键． 4. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 函数最小值是3 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 对称轴为直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由抛物线可得出抛物线开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为：，进而可得出函数的最大值为3，且当时，y随x的增大而减小，即可判断． 【详解】解：∵抛物线，， ∴抛物线开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为：， ∴函数的最大值为3，且当时，y随x的增大而减小， 故选：D． 5. 已知点（1，y1），（2，y2）都在函数y＝﹣x2的图象上，则（　　） A. y1＜y2 B. y1＞y2 C. y1＝y2 D. y1，y2大小不确定 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出和的值即可得到答案． 【详解】解：∵点（1，y1），（2，y2）都在函数y＝﹣x2的图象上， ∴，， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，正确求出和是解题的关键． 6. 如图，点是的黄金分割点，即点满足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 0.618 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算．根据黄金比的值为求解即可． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，即点满足， ∴为较长线段， 由，得， 故选：A． 7. 如图，在中，于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，先根据勾股定理求出，然后证明，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 8. 已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质及分类讨论思想是解题的关键． 由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为y轴，与y轴的交点坐标为，再利用分类讨论的数学思想即可解答． 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为y轴， 当时，， 所以抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，抛物线有最大值为0，则抛物线与线段没有交点； 当时， ∵抛物线与线段只有一个公共点， ∴当时，； 当时，，解得， ∴， 综上所述：． 故选：D． 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入约分即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 故答案为：． 10. 如图，是的边上的一点，连接，要使，还需要添加一个条件是______（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，根据相似三角形的判定进行添加条件即可． 【详解】解：由题意知， 添加，则， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 如图，相交于点，若，则______． 【答案】32 【解析】 【分析】本题了相似三角形的判定与性质，证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：32． 12. 请写出一个二次函数的表达式，满足条件：①开口向上；②与x轴无交点．______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】对于二次函数，开口向上，即，与x轴无交点，即，按照以上条件写出一个二次函数的表达式即可 【详解】根据题意： 对于二次函数，开口向上， ∴， 对于二次函数，与x轴无交点， ∴， 而，满足，， 故满足题设的条件， 但是满足题设的二次函数表达式不唯一， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向以及抛物线与坐标轴的交点特征是解题的关键 13. 已知两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的面积之比为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：根据面积比等于相似比的平方，得：这两个三角形的面积之比为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形中面积比等于相似比的平方是解题的关键． 14. 如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是________m． 【答案】8 【解析】 【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高． 【详解】如图： ∵∠ABC=∠DBE，∠ACB=∠DEB=90°， ∴△ABC∽△DBE， ∴BC：BE=AC：DE， 即1：5=1.6：DE， ∴DE=8m， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 15. 二次函数的图象如图所示，则______0，______0（填或）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，根据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，代入即可判断的正负． 【详解】解：由图象知：抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：；． 16. 如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】画出图象，根据图象即可判断． 【详解】解：如图所示， ①图形关于y轴成轴对称，故正确； ②由图象可知，图形有最小值，且最小值为0；，故正确； ③当时，图形与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误； ④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 三、解答题（本题共11道小题，17-25题每题6分，26-27题每题7分，共68分） 17. 如图是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上，在该网格中画出（顶点均在格点上），使（相似比），并求出相似比． 【答案】 如图，即为所求， 相似比为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定与性质等知识，利用相似三角形的判定画出图形，然后求出对应边的比即可． 【详解】解：由网格知：，，，，，， ∴，，， ∴， ∴即， 相似比为 18. 已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … （1）在坐标系中画出该抛物线的图象； （2）该抛物线的对称轴是______． 【答案】（1） 解：描点连线如图所示， （2）轴 【解析】 【分析】本题考查了画函数图象，二次函数的性质； （1）根据描点法画出函数图象； （2）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 20. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）画出这个二次函数的图象； （3）根据图象回答：当时，的取值范围是______． 【答案】（1） （2） 二次函数的图象如下： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了把化成顶点式，画的图象，从函数的图象获取信息等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用配方法将二次函数化成顶点式即可； （2）列表、描点、连线即可画出函数图象； （3）根据函数图象，利用数形结合思想即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 二次函数化成的形式为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 描点、连线，二次函数的图象略； 【小问3详解】 解：由函数图象可以看出： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：． 21. 如图，在中，D，E分别是边，连接，且． （1）求证：； （2）如果E是的中点，，求 【答案】（1） 证明：在和中，， ． （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用相似三角形的判定即可得证； （2）先求出，再根据相似三角形的性质即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的中点， ， 由（1）已证：， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 22. 如图，在正方形中，点在上，于点于点．若，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，得，，得到，结合，得到，，，求得，，的长，解答即可． 本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 【详解】解：根据正方形的性质，得，， ∴， ∵， ∴， ∵，即 ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴的面积为． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的表达式； （2）求该二次函数的图象的顶点坐标； （3）当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配方成顶点式求解即可； （3）根据题意可知当时，恒成立，因此只需要满足n不大于，当时，的值即可． 【小问1详解】 解：把点，代入中得： ， 解得， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴该二次函数的图象的顶点坐标为； 【小问3详解】 解：当时，则， 令， ∵函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，S随x增大而增大， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值， ∴当时，恒成立， 当时，， ∴． 24. 已知：中，为上的中线，点在上，且，射线交于点．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作 交于证明可得：从而可得答案. 【详解】解：如图，过作 交于 为的中点， 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“利用相似三角形的对应边成比例建立比例式”是解本题的关键. 25. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧） （1）求A，B两点的坐标； （2）若点P在该抛物线上，且的面积为6，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）点P的坐标为， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数与面积问题，解题的关键是： （1）令，则，解方程即可求解； （2）根据三角形面积公式求出点P的纵坐标，然后把点P的纵坐标代入函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， 当时，， 解得，， ∴点P的坐标为，； 当时，，即， ∴， ∴方程无解， ∴不存在， 综上，点P的坐标为，． 26. 学完了《相似形》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量位于良乡的昊天塔的高度（如图1），测量方法如下：如图2，从塔的底部B出发，作一条射线，在上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为．从标杆处沿后退到D处，从D处观察A点，发现A，F，D三点成一线；从标杆处沿后退到C处，从C处观察A点，发现A，H，C三点也成一线请根据以上测量数据，帮助实践小组求出昊天塔的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意是解答的关键．分别证明和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ∵，， ∴， ∴，即, 由得， ∴，解得， 答：昊天塔的高度为． 27. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； （2）若该抛物线与轴交于点，且，求的取值范围； （3）当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1）直线 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数关系、不等式性质、二次函数的最值问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质． （1）根据二次函数的对称轴为直线求解即可； （2）根据题意，结合一元二次方程的根与系数关系得到，结合，进行求解即可； （3）根据题意得到抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下情况①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解即可． 【小问1详解】 解：由抛物线得对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵该抛物线与轴交于点， ∴方程的两个根为，， ∴， ∵， ，即， ； 【小问3详解】 解：抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，当时，， 根据题意，分以下情况： ①当在取得最大值，在取得最小值时，则，即， ∵最大值与最小值的差为， ∴，解得（舍去）； ②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，则，即， ∵最大值与最小值的差为 ∴，则，解得（舍去）或， ③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，则，即， ∵最大值与最小值的差为， ∴，则，解得（舍去）或； 综上所述，b的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $