精品解析：河南省郑州市实验外国语中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期 八年级期中考试数学试卷 考试时间：90分钟 分值：100分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A. 9 B. 12 C. 18 D. 25 3. 如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（ ） A. B. C. D. 4. 点，点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 在平面直角坐标系中，，点Q在x轴下方，轴，若，则点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（ ） 姓名：×××得分：______ 填空（每小题4分，共20分） ①的倒数是；②的绝对值是； ③；④． ⑤平方根与立方根相等的数是0和1； A. 16分 B. 12分 C. 8分 D. 4分 7. 已知整数n满足：，参考下表数据，判断n的值为（ ） m 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A. 43 B. 44 C. 45 D. 46 8. 正比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ） A. 4.55尺 B. 5.45尺 C. 4.2尺 D. 5.8尺 10. 如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点的坐标是______． 12. 甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值随自变量增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的一次函数，其表达式可以是______． 13. 如图，一个直三棱柱盒子底面三边长分别为，，，盒子高为，在三棱柱的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈彩带，则这圈彩带的长度至少为______cm． 14. 如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是 _________________． 15. 在中，，，，以为一边作等腰直角三角形，使，连接，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图， 中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作垂足为D，若，，，． （1）试说明为直角； （2）记 的面积为，的面积为，则的值为 ． 18. 在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线．点关于轴的对称点称为的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题： （1）点的一次反射点的坐标为______，二次反射点的坐标为______． （2）当点在第三象限时，点，，中可以是点的二次反射点的是______．（填写“”、“”或“Q”） （3）点在第二象限，射线与y轴正半轴所夹锐角的度数为，点分别是点的一次、二次反射点，则______． 19. 已知的算术平方根是3，是的立方根，是的整数部分． （1）求 的值； （2）求的平方根， 20. 综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题解决】 （1）请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； （2）根据以上判断，求关于的函数关系式； （3）一个人一天大约饮用1600毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 21. 阅读与思考： 下面是小涵同学的数学错题本笔记，请仔细阅读他的解题思路并完成相应的任务． 题目：如图，在中，，，，求的面积． 方法1：如果的三边长分别为，设为周长的一半，那么利用海伦公式，就可求出的面积． 方法2：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出的面积． （1）任务一：按“方法1”求的面积． （2）任务二：写出“方法2”的解答过程． 22. 甲骑电动车，乙骑自行车从西流湖公园门口出发沿同一路线匀速行驶，甲、乙两人距出发地的距离与乙的行驶时间的函数图象如图①所示；甲、乙两人之间的距离与乙的行驶时间的函数图象如图②所示．请结合图象信息解决以下问题： （1）对比图①、图②可知：______，______． （2）求出图①中交点M的坐标，并指出它的实际意义． （3）请直接写出乙出发多长时间，甲、乙两人之间的距离为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期 八年级期中考试数学试卷 考试时间：90分钟 分值：100分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数“无限不循环小数是无理数”、立方根，熟记无理数的定义是解题关键．根据立方根、无理数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是有理数，则此项不符合题意； B、，是有理数，则此项不符合题意； C、是无理数，则此项符合题意； D、是有理数，则此项不符合题意； 故选：C． 2. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A. 9 B. 12 C. 18 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在几何图形中的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 【详解】解：在，，， 则， ∵四边形为正方形， ∴， 在中，， ∴阴影部分面积是9， 故选：A． 3. 如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题时要注意找出所有符合条件的点．在正方形网格中，根据直角三角形的判定进行判定即可． 【详解】解： ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 不是直角三角形， 所以是直角三角形，但不是直角三角形， 故选：D． 4. 点，点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记一次函数的性质是解题的关键． 利用一次函数的性质可得出函数值随着的增大而减小，比较自变量大小即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数的比例系数为， ∴函数值随着的增大而减小， ， ， 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，，点Q在x轴下方，轴，若，则点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据轴可知P、Q两点横坐标相同，再由可得出Q点的坐标． 【详解】解：∵，轴， ∴Q的横坐标为1， ∵点Q在x轴下方，， ∴点Q的坐标为． 故选：C 【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键． 6. 下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（ ） 姓名：×××得分：______ 填空（每小题4分，共20分） ①的倒数是；②的绝对值是； ③；④． ⑤平方根与立方根相等的数是0和1； A. 16分 B. 12分 C. 8分 D. 4分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数，绝对值，算术平方根，平方根，立方根．根据倒数，绝对值，算术平方根，平方根，立方根进行计算即可得． 【详解】解：①的倒数是，做错了； ②的绝对值是：，做对了； ③，做错了； ④，做对了； ⑤平方根与立方根相等的数是0，做错了； 综上，这位同学做对了2道题， ∴得分为：（分）， 故选：C． 7. 已知整数n满足：，参考下表数据，判断n的值为（ ） m 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A. 43 B. 44 C. 45 D. 46 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，利用夹逼法比较是关键． 根据得到即可比较． 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足：， ∴， 故选：B． 8. 正比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据一次函数图象所经过的象限确定k的符号，确定正比例函数的图象判定选项是否正确． 【详解】解：∵正比例函数经过原点，故C错误； A、一次函数经过第一、二、三象限．故，，则，则正比例函数图象经过第一、三象限，故本选项图象不合题意； B、一次函数经过第一、二、四象限．故，，则，则正比例函数图象经过第二、四象限，故本选项图象不合题意； D、一次函数经过第一、三、四象限．故，，则，则正比例函数图象经过第二、四象限，故本选项图象符合题意； 故选D． 9. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ） A. 4.55尺 B. 5.45尺 C. 4.2尺 D. 5.8尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为4.2尺， 故选：C． 10. 如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、全等三角形的判定与性质，熟练光的反射定律是解题的关键． 延长，交与x轴于点D，根据光的反射定律，可证明，从而求得延长线与x轴的交点坐标，将它代入函数的函数关系式即可． 【详解】解：延长交x轴于点D， 根据光的反射可得， 又 ， ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在光线：上， ， 解得：， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据点的特征，求参数的值．根据轴上的点的纵坐标为0，求出的值，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故答案为：． 12. 甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值随自变量增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的一次函数，其表达式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据甲、乙两位同学给出的函数特征可判断出该函数为一次函数，再利用一次函数的性质，可得出，，取即可得出结论． 【详解】解：∵函数值随自变量增大而增大，且该函数图象经过点， ∴该函数为一次函数， 设一次函数的表达式为，则，． 取，此时一次函数的表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，一个直三棱柱盒子底面三边长分别为，，，盒子高为，在三棱柱的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈彩带，则这圈彩带的长度至少为______cm． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理．将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可． 【详解】解：如图，右侧为三棱柱的侧面展开图， ，，， ∴， 故答案为：15． 14. 如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是 _________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴上的点是一一对应关系进行求解是解决本题的关键．根据勾股定理可得的长，由题意可得，即，因为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点E表示的实数是． 故答案为：． 15. 在中，，，，以为一边作等腰直角三角形，使，连接，则线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质．分①点、在的两侧，设与边相交于点，根据等腰直角三角形的性质求出，再求出并得到，然后求出，在中，利用勾股定理列式计算即可得解；②点、在的同侧，根据等腰直角三角形的性质可得，过点作交的反向延长线于，判定是等腰直角三角形，然后求出，再求出，然后在中，利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：①如图1，点、在的两侧， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， 在中，； ②如图2，点、在的同侧， 是等腰直角三角形， ， 过点作交的反向延长线于，则是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， 综上所述，线段的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、二次根式的性质，乘法公式，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解答的关键． （1）先利用二次根式的性质化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先利用乘法公式计算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图， 中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作垂足为D，若，，，． （1）试说明为直角； （2）记 的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】（1） 解： ， ， ，， ∴， ，，， ， 是直角三角形，且为直角； （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的面积． （1）根据勾股定理求出，进而推出，据此即可得解； （2）根据题意推出，根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ，， ， ，， ， 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线．点关于轴的对称点称为的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题： （1）点的一次反射点的坐标为______，二次反射点的坐标为______． （2）当点在第三象限时，点，，中可以是点的二次反射点的是______．（填写“”、“”或“Q”） （3）点在第二象限，射线与y轴正半轴所夹锐角的度数为，点分别是点的一次、二次反射点，则______． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—对称， （1）根据一次反射点，二次反射点的定义求解； （2）根据一次反射点，二次反射点的定义判断的位置即可； （3）根据点在第二象限，可知点在第一象限，进而可知也在第一象限，由，可得，据此求解可得结论． 【小问1详解】 解：点的一次反射点为，二次反射点为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵点在第三象限时， ∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限， ∴点，，中可以是点A的二次反射点的是； 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 已知的算术平方根是3，是的立方根，是的整数部分． （1）求 的值； （2）求的平方根， 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，立方根，算术平方根的概念，无理数的估算： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此可求出a、b的值；再根据无理数的估算方法得到，即可求出c的值； （2）根据（1）所求计算出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵的算术平方根是3，是的立方根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的整数部分是3，即； 【小问2详解】 解：由（1）得，，， ∴， ∵16的平方根为， ∴的平方根为． 20. 综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题解决】 （1）请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； （2）根据以上判断，求关于的函数关系式； （3）一个人一天大约饮用1600毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 【答案】（1） 关于的函数图象如图所示： 一次 （2）； （3）这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用约81天． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求出一次函数解析式是关键． （1）根据表格数据，画出函数图象，从图象观察符合一次函数图象特征即可； （2）待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）先计算出一天的漏水量，再计算出一月的漏水量，最后与1600作除法运算即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：设一次函数解析式为，将点，代入解析式得： ，解得， 一次函数解析式为； 【小问3详解】 解：一天， 一天的盛水量， 一月的盛水量， 可供一人饮用（天， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用约81天． 21. 阅读与思考： 下面是小涵同学的数学错题本笔记，请仔细阅读他的解题思路并完成相应的任务． 题目：如图，在中，，，，求的面积． 方法1：如果的三边长分别为，设为周长的一半，那么利用海伦公式，就可求出的面积． 方法2：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出的面积． （1）任务一：按“方法1”求的面积． （2）任务二：写出“方法2”的解答过程． 【答案】（1） （2） 解：过点作于点， 设，则， ， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，根据勾股定理列出关于的方程． （1）按照“方法1”的思路，先求出的值，然后再代入数据求出的面积即可； （2）按照“方法2”的思路，先求出的长，再利用三角形面积公式求出的面积即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ， ； 【小问2详解】 略 22. 甲骑电动车，乙骑自行车从西流湖公园门口出发沿同一路线匀速行驶，甲、乙两人距出发地的距离与乙的行驶时间的函数图象如图①所示；甲、乙两人之间的距离与乙的行驶时间的函数图象如图②所示．请结合图象信息解决以下问题： （1）对比图①、图②可知：______，______． （2）求出图①中交点M的坐标，并指出它的实际意义． （3）请直接写出乙出发多长时间，甲、乙两人之间的距离为？ 【答案】（1）10，1.5 （2）交点M的坐标为，交点M的实际意义是乙出发后甲追上乙； （3）乙出发或或时，甲、乙两人之间的距离为． 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度，再分别得到、的值； （2）交点M的实际意义是甲追上乙，根据题意和图象中的数据即可求解； （3）由图象可知甲乙相距有三种情况，然后分别计算三种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【小问1详解】 解：由图可得， 甲的速度为：， 乙的速度为：， ∴， ， 故答案为：10，1.5； 【小问2详解】 解：设乙出发后甲追上乙， 由题意得， 解得， ， ∴交点M的坐标为， 交点M的实际意义是乙出发后甲追上乙； 【小问3详解】 解：由题意可得， 时，乙行驶的路程为：； 此时甲、乙两人之间的距离为； 设乙出发时， 当时， ， 解得，（舍去）； 当时， ， 解得，， 当时， ， 解得，， 即乙出发或或时，甲、乙两人之间的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $