专题1.3 解直角三角形（4大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.3 解直角三角形（4大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识储备】解直角三角形的常用关系 （1）三边之间的关系：； （2）锐角之间的关系：； （3）边角之间的关系：，，. 知识点与题型目录 【考点一】解直角三角形的相关计算 【题型1】解含特殊角的直角三角形..............................................1 【题型2】解直角三角形........................................................2 【考点二】解非直角三角形 【题型3】解含特殊角的非直角三角形............................................3 【题型4】解非直角三角形.............................................,........3 【考点三】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【题型5】构造直角三角形求含特殊角不规则图形的边长或面积...,..................4 【题型6】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积.............,................5 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型7】直通中考....................................,.......................6 【题型8】拓展延伸....................................................,.......6 【题型展示与方法点拨】 【考点一】解直角三角形的相关计算 【题型1】解含特殊角的直角三角形 【例1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图在中，，，的垂直平分线交于点，，于点E，求的长． 【变式1】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知，则两地之间的距离为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级下·广东深圳·自主招生）如图，已知中，，，求时，的长度为 ． 【题型2】解直角三角形 【例2】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【变式1】（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，那么 ． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，于点， ．若E，F分别为，的中点，则的长为（   ） A． B．2 C．3 D．2 【考点二】解非直角三角形 【题型3】解含特殊角的非直角三角形 【例3】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【变式1】（2022·陕西西安·三模）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 【变式2】（21-22九年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是 .（参考数据：，） 【题型4】解非直角三角形 【例4】（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【变式1】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 【考点三】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【题型5】构造直角三角形求含特殊角不规则图形的边长或面积 【例5】（22-23九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【变式1】（2022·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·天津河北·二模）如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．    【题型6】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例6】（19-20九年级上·上海浦东新·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=   （1）试求的值； （2）试求△BCD的面积. 【变式1】（2020·上海·一模）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（　　）    A．2sinα B．2cosα C． D． 【变式2】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型7】直通中考 【例1】（2024·海南·中考真题）如图，在中，，以点D为圆心作弧，交于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，若，则四边形的周长是（    ）    A．22 B．21 C．20 D．18 【例2】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 【题型8】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知在中，，，点是延长线上任意一点，作于点，于点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点为的对角线上一点，连接并延长至点，使得，连接，若，，，，则的面积为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 解直角三角形（4大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识储备】解直角三角形的常用关系 （1）三边之间的关系：； （2）锐角之间的关系：； （3）边角之间的关系：，，. 知识点与题型目录 【考点一】解直角三角形的相关计算 【题型1】解含特殊角的直角三角形..............................................1 【题型2】解直角三角形........................................................3 【考点二】解非直角三角形 【题型3】解含特殊角的非直角三角形............................................6 【题型4】解非直角三角形.............................................,........9 【考点三】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【题型5】构造直角三角形求含特殊角不规则图形的边长或面积................,....12 【题型6】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积.......................,.....15 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型7】直通中考....................................,......................18 【题型8】拓展延伸...................................................,.......21 【题型展示与方法点拨】 【考点一】解直角三角形的相关计算 【题型1】解含特殊角的直角三角形 【例1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图在中，，，的垂直平分线交于点，，于点E，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，解题关键是合理添加辅助线，利用垂直平分线的性质及特殊角三角函数值计算．如图，连接，根据垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质得，即可证得为等腰直角三角形，再利用特殊角的三角函数值计算，即可求出的值． 解：如图，连接， 的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【变式1】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知，则两地之间的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，直接解求出的长即可得到答案． 解：在中，， ∴， 故选：A． 【变式2】（22-23九年级下·广东深圳·自主招生）如图，已知中，，，求时，的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键． 根据角正切值可求得，，结合，列方程求解即可得出答案． 解：， 在中，，即， ， 在中，，即， 故， ． 故答案为：． 【题型2】解直角三角形 【例2】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1)6； (2) 【分析】（1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值． 解：（1）∵，， 在，， 设，， 由勾股定理可得，即， 解得 （舍去）或， ∴，， ∵平分，，， ∴； （2）∵，，， 又∵， ∴， ∴， 设，在中，， 解得，即， ∴在中，． 【点拨】本题主要考查角平分线的性质定理、三角函数的定义、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．由矩形与折叠的性质，得到，，利用锐角三角函数，得出，，，再根据同角的余角相等，得到，再结合锐角三角函数即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：3． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，于点， ．若E，F分别为，的中点，则的长为（   ） A． B．2 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，三角形中位线定理，由求出，由求出，继而求出由三角形中位线定理求出． 解：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵E，F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 【考点二】解非直角三角形 【题型3】解含特殊角的非直角三角形 【例3】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 解：如图，作边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 【变式1】（2022·陕西西安·三模）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 【答案】B 【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果． 解：如图， 作于，作于， 在Rt中，， 在Rt中，，， ， 在Rt中，设， 在Rt中，， ， 由得， ， ， ， 故答案为：B． 【点拨】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 【变式2】（21-22九年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是 .（参考数据：，） 【答案】30 【分析】本题考查了特殊角的函数值，熟练掌握解斜三角形是解题的关键．过点A作于点D，利用三角函数计算，后计算速度即可． 解：如图，过点A作于点D， 根据题意，得，，， ∴，， 解得， ∵汽车从处行驶到处所用的时间为， ∴， 故答案为：30． 【题型4】解非直角三角形 【例4】（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)1； (2) 【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出； （2）利用勾股定理求出即可． 解：（1）过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，在中， ． 【点拨】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键． 【变式1】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【变式2】（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 【考点三】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【题型5】构造直角三角形求含特殊角不规则图形的边长或面积 【例5】（22-23九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 解：（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点拨】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 【变式1】（2022·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 解：如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点拨】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 【变式2】（2023·天津河北·二模）如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．    【答案】/ 【分析】过点D作，由平分可得是等腰直角三角形，再根据矩形性质和勾股定理易求对角线长，进而解三角形求出、即可解答． 解：过点D作，如图：    ∵平分， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了矩形性质和解三角形，解题关键是过点D作构造是等腰直角三角形，再解三角形． 【题型6】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例6】（19-20九年级上·上海浦东新·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=   （1）试求的值； （2）试求△BCD的面积. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）作AH⊥BC，则△ABH中，根据勾股定理即可求得AH的长，即可求得sinB； （2）作DE⊥BC，则根据勾股定理可以求得BE的长，求得BC=BE+EC，即4k+6k=8，求得k的值即可求△BCD的面积． 解：   （1）作 ，垂足为 ， ∵ ， ∴ 在 中， ∴ （2）作,垂足为, 在中， ，令 , ， 则 ， 又在中，， 则 ， 于是 ，即 ， 解得 ， ∴. 【点拨】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键． 【变式1】（2020·上海·一模）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（　　）    A．2sinα B．2cosα C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案． 解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α， 过A作AE⊥BC于E，则AE＝1， 设BE＝x， ∵∠ABE＝α， ∴AB＝， ∴BC＝AB＝， ∴重叠部分的面积是：×1＝． 故选：C．    【点拨】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键． 【变式2】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点拨】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型7】直通中考 【例1】（2024·海南·中考真题）如图，在中，，以点D为圆心作弧，交于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，若，则四边形的周长是（    ）    A．22 B．21 C．20 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．利用勾股定理求得的长，再证明，作于点，求得，利用，求得，再利用勾股定理求得，据此求解即可． 解：∵，， ∴， 由作图知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点，    则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形的周长是， 故选：A． 【例2】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出，的值即可得到答案． 解：作，交y轴于点F， 由题可得：， 是等边三角形，， ∴是的角平分线， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型8】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知在中，，，点是延长线上任意一点，作于点，于点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，用函数思想确定的表达式是解题的关键．设，则，则，在中，，则，由，即可求解． 解：过点作于点，设交于点，过点作于点， ，，， ，，， 则， 设，则， 则， 在中，， 则， 则， 故的最小值为， 故选：A 【例2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点为的对角线上一点，连接并延长至点，使得，连接，若，，，，则的面积为 ． 【答案】72 【分析】连接交于点O，过点作于点H，过点C作于点T，设交点为G，由平行四边形的性质结合，推出是的中位线，根据三角形中位线的性质求出，进而求出，推出，进而推出，易证，即可求出，，解直角三角形求出，再利用勾股定理求出，进而求出，最后根据，求出，即可解答． 解：连接交于点O，过点作于点H，过点C作于点T，设交点为G， ∵四边形是平行四边形， ∴，点是的中点， ∵， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，股股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$