专题1.3 解直角三角形（4大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.3 解直角三角形（4大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识储备】解直角三角形的常用关系 （1）三边之间的关系：； （2）锐角之间的关系：； （3）边角之间的关系：，，. 知识点与题型目录 【考点一】解直角三角形的相关计算 【题型1】解含特殊角的直角三角形..............................................1 【题型2】解直角三角形........................................................2 【考点二】解非直角三角形 【题型3】解含特殊角的非直角三角形............................................3 【题型4】解非直角三角形.............................................,........3 【考点三】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【题型5】构造直角三角形求含特殊角不规则图形的边长或面积...,..................4 【题型6】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积.............,................5 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型7】直通中考....................................,.......................6 【题型8】拓展延伸....................................................,.......6 【题型展示与方法点拨】 【考点一】解直角三角形的相关计算 【题型1】解含特殊角的直角三角形 【例1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图在中，，，的垂直平分线交于点，，于点E，求的长． 【变式1】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知，则两地之间的距离为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，中，，，，过点作于，过点作于，过点作于，这样继续作下去，线段（为正整数） ． 【题型2】解直角三角形 【例2】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【变式1】（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，那么 ． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，于点， ．若E，F分别为，的中点，则的长为（   ） A． B．2 C．3 D．2 【考点二】解非直角三角形 【题型3】解含特殊角的非直角三角形 【例3】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【变式1】（2024·四川资阳·中考真题）在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是 ． 【变式2】（2020·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点两点的距离为（）千米． A．4 B． C．2 D．6 【题型4】解非直角三角形 【例4】（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【变式1】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【变式2】（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 【考点三】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【题型5】构造直角三角形求含特殊角不规则图形的边长或面积 【例5】（22-23九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【变式1】（20-21九年级上·湖南株洲·期末）在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（    ） A． B．＋1 C． D．＋1 【变式2】如图，在一笔直的海岸线上有、两个观测站，，从测得船在北偏东的方向，从测得船在北偏东的方向，则船离海岸线的距离（即的长）为 ． 【题型6】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例6】（19-20九年级上·上海浦东新·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=   （1）试求的值； （2）试求△BCD的面积. 【变式1】（19-20九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【变式2】如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于 ． 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型7】直通中考 【例1】（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为 ． 【题型8】拓展延伸 【例1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（   ）    A．2 B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·湖南郴州·期中）如图，射线与函数图象相交于点，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点；再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线，交函数图象于点，连接，则△的面积是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 解直角三角形（4大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识储备】解直角三角形的常用关系 （1）三边之间的关系：； （2）锐角之间的关系：； （3）边角之间的关系：，，. 知识点与题型目录 【考点一】解直角三角形的相关计算 【题型1】解含特殊角的直角三角形..............................................1 【题型2】解直角三角形........................................................4 【考点二】解非直角三角形 【题型3】解含特殊角的非直角三角形............................................7 【题型4】解非直角三角形.............................................,........9 【考点三】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【题型5】构造直角三角形求含特殊角不规则图形的边长或面积................,....12 【题型6】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积.......................,.....15 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型7】直通中考....................................,......................18 【题型8】拓展延伸...................................................,.......21 【题型展示与方法点拨】 【考点一】解直角三角形的相关计算 【题型1】解含特殊角的直角三角形 【例1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图在中，，，的垂直平分线交于点，，于点E，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，解题关键是合理添加辅助线，利用垂直平分线的性质及特殊角三角函数值计算．如图，连接，根据垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质得，即可证得为等腰直角三角形，再利用特殊角的三角函数值计算，即可求出的值． 解：如图，连接， 的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【变式1】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知，则两地之间的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，直接解求出的长即可得到答案． 解：在中，， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，中，，，，过点作于，过点作于，过点作于，这样继续作下去，线段（为正整数） ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角形函数，数字类规律变化，解直角三角形分别求出即可找到变化规律，进而即可求解，通过计算找到变化规律是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【题型2】解直角三角形 【例2】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1)6； (2) 【分析】（1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值． 解：（1）∵，， 在，， 设，， 由勾股定理可得，即， 解得 （舍去）或， ∴，， ∵平分，，， ∴； （2）∵，，， 又∵， ∴， ∴， 设，在中，， 解得，即， ∴在中，． 【点拨】本题主要考查角平分线的性质定理、三角函数的定义、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．由矩形与折叠的性质，得到，，利用锐角三角函数，得出，，，再根据同角的余角相等，得到，再结合锐角三角函数即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：3． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，于点， ．若E，F分别为，的中点，则的长为（   ） A． B．2 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，三角形中位线定理，由求出，由求出，继而求出由三角形中位线定理求出． 解：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵E，F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 【考点二】解非直角三角形 【题型3】解含特殊角的非直角三角形 【例3】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 解：如图，作边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 【变式1】（2024·四川资阳·中考真题）在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线．作的高，，根据题意可得，，在中，根据三角函数可得，即，再根据，即可求解． 解：如图，作的高，， 是锐角三角形， ，在的内部， ，， 在中，，， ， ， 又， ， 故答案为：． 【变式2】（2020·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点两点的距离为（）千米． A．4 B． C．2 D．6 【答案】D 【分析】根据题意可知，，千米，则根据三角函数可求、，再根据，利用三角函数可求BC，则． 解：由题意可知，，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 故选：D． 【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义，正确标注方向角是解题的关键． 【题型4】解非直角三角形 【例4】（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)1； (2) 【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出； （2）利用勾股定理求出即可． 解：（1）过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，在中， ． 【点拨】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键． 【变式1】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】B 【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标． 解：如图，过点A作轴，垂足为B， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是（，）， 故选B． 【点拨】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长． 【变式2】（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可． 解：如图，延长、相交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键． 【考点三】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【题型5】构造直角三角形求含特殊角不规则图形的边长或面积 【例5】（22-23九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 解：（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点拨】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 【变式1】（20-21九年级上·湖南株洲·期末）在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（    ） A． B．＋1 C． D．＋1 【答案】C 【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积． 解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中，∠B＝45°， ∴BD＝AD． 在Rt△ACD中，∠C＝30°， ∴CD＝AD． ∵BD＋CD＝BC， ∴AD＋AD＝1＋． 即AD＝1． ∴S△ABC＝×BC×AD ＝（1＋）． 故选：C． 【点拨】本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决. 【变式2】如图，在一笔直的海岸线上有、两个观测站，，从测得船在北偏东的方向，从测得船在北偏东的方向，则船离海岸线的距离（即的长）为 ． 【答案】 【分析】根据题意在CD上取一点E，使BD=DE，进而得出EC=BE=2km，再利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案． 解：在CD上取一点E，使BD=DE， ∵CD⊥AB， ∴∠EBD=45°，AD=DC， ∵AB=AD-BD，CE=CD-DE， ∴CE=AB=2km， ∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向， ∴∠BCE=∠CBE=22.5°， ∴BE=EC=2km， ∴BD=ED=km， ∴CD=2+（km）． 故答案为（2+）km． 【点拨】此题考查了方向角问题．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 【题型6】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例6】（19-20九年级上·上海浦东新·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=   （1）试求的值； （2）试求△BCD的面积. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）作AH⊥BC，则△ABH中，根据勾股定理即可求得AH的长，即可求得sinB； （2）作DE⊥BC，则根据勾股定理可以求得BE的长，求得BC=BE+EC，即4k+6k=8，求得k的值即可求△BCD的面积． 解：   （1）作 ，垂足为 ， ∵ ， ∴ 在 中， ∴ （2）作,垂足为, 在中， ，令 , ， 则 ， 又在中，， 则 ， 于是 ，即 ， 解得 ， ∴. 【点拨】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键． 【变式1】（19-20九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】以为斜边向外作等腰直角三角形，得，当在同一直线上时，取得最小值. 在中，利用正弦函数即可求得答案. 解：如图，以为斜边向外作等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴当在同一直线上时， 取得最小值. 在中，，，， ∴ ∴. 故选：B 【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，构造辅助线得到是解题的关键. 【变式2】如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于 ． 【答案】16 【分析】如图作BM⊥AD于M，DE⊥AB于E，BF⊥CD于F．易知四边形BEDF是矩形，理由面积法求出DE，再利用等腰三角形的性质，求出DF即可解决问题． 解：连接BD，过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥DC于点N， ∵梯形ABCD是等距四边形，点B是等距点， ∴AB=BD=BC=10， ∵= ， ∴AM=，∴BM==3， ∵BM⊥AD，∴AD=2AM=2， ∵AB//CD， ∴S△ABD=， ∴BN=6， ∵BN⊥DC，∴DN==8， ∴CD=2DN=16， 故答案为16. 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型7】直通中考 【例1】（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答． 解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴， ∵， ∴，， ∴． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，即点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴C点的坐标为， ∴,， ∴， ∴, ∴ 故选：B． 【例2】（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，过点F作，垂足为H，利用勾股定理求出的长，利用角的余弦值求出的长，再利用勾股定理求出，从而得出，利用三角形面积求出即可． 解：如图，过点F作，垂足为H， 四边形为矩形， ，， ，， ， ，即， 解得：， ，即， 解得：， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 【题型8】拓展延伸 【例1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（   ）    A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，设正方形边长为，则，证明，四边形为矩形，得出，，求出，设，则，得出，求出，，即可得出答案． 解：过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，如图所示：    则，设正方形边长为， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握正方形的性质． 【例2】（24-25九年级上·湖南郴州·期中）如图，射线与函数图象相交于点，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点；再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线，交函数图象于点，连接，则△的面积是 ． 【答案】1 【分析】把点代入，求得，则，设点C的坐标为，过点C作轴于E，于F，过点A作轴于G，求出，再根据作图方法可知，是的平分线，得，解直角三角形求出，得到，再由角平分线的性质得出，即可由三角形的面积求解． 解：把点代入，得， ， ∴， 设点C的坐标为， 过点C作轴于E，于F，过点A作轴于G，如图， ∵ ∴，，， ， ， 由作图方法可知，是的平分线， ， ∴， ∵点C在第一象限， ∴ ∵是的平分线，轴于E，于F， ， 故答案为：1． 【点拨】本题考查尺规基本作图—作角平分线，用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象性质，角平分线的性质，解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图象性质，角平分线的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$