四川省遂宁市大英中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

大英中学创新部高2023级十月素质测评数学试卷 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数，则z的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．数列满足，若，，则（ ） A． B． C．1 D．2 3．以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 5．已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知椭圆的两个焦点为，为椭圆上一点，.若的内切圆面积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 二、二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是3”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与独立 10．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下面结论正确的是：（    ） A．直线与曲线一定有交点 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线围成的图形的面积是 D．曲线上的任意两点间的距离不超过2 11．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（    ） A．当为中点时，为锐角 B．存在点，使得平面 C．的最小值 D．顶点到平面的最大距离为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，则C的离心率为 . 13．已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为 . 14．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 四、解答题本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知等差数列中，，前项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，. (1)求与； (2)定义新数列满足，，求前项的和. 16．（15分）在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，的外接圆直径为，求的周长. 17．（15分）如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦. (1)当时，求的长; (2)当时，写出所在的直线的方程. 18．（17分）已知平面边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面. (1)证明：平面； (2)若是线段上一点，且平面，①求三棱锥的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值. 19．（17分）已知点在椭圆上，椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程； (2)若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且，①求证直线AB经过定点；②求面积的取值范围（为坐标原点）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 大英中学创新部高2023级十月素质测评数学试卷参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B B C A A ACD AC 题号 11 答案 ABD 6．【详解】根据勾股定理得到：，即； 的内切圆面积为，故. 根据等面积法得到：，故. 故，即，解得或（舍去）.故选： 7．【详解】解法一：直线整理可得，， 即直线恒过，同理可得恒过， 又，直线和互相垂直， 两条直线的交点在以，为直径的圆上， 即的轨迹方程为，（去掉， （这是因为不能表示直线，不能表示直线，） 设该圆心为，则，则， 由于垂直于直线，故M到的距离即为，而， 即，而当时，点的坐标为，不符合题意。 故的取值范围是，故选：A． 解法二：联立两条直线的方程， 解得交点的坐标为， ∴， 由，故得的取值范围是,故选：A． 8．【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知 ，当且仅当（或）时，取等号. 点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以 . 10．AC【详解】曲线可化为， 当变换为，变换为时，方程不变， 故曲线的对称轴为轴，轴，对称中心为原点. 当时，即为， 它表示一段半圆及原点，其中半圆的圆心为，半径为， 故曲线如下图实线所示： 对于A：可化为， 令可得，故直线过定点，且在曲线内部，故动直线与曲线一定有交点，故A正确. 对于B：如图，曲线由4段相同的半圆及原点构成， 故曲线的弧长为，故B错误. 对于C：曲线围成的区域由个半圆及一个正方形构成，故其面积，故C正确. 对于D，取点，则均为上的点，而，故D错误. 故选：AC 11．【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设，则， 则，故，则， ，对于A，当为中点时， 则，，则，， 所以，所以为锐角，故A正确； 当平面，因为平面，所以， 则，解得，故存在点，使得平面，故B正确； 对于C，当时，取得最小值，由B得，此时， 则，，所以， 即的最小值为，故C错误； 对于D，，设平面的法向量， 则有，可取， 则点到平面的距离为， 当时，点到平面的距离为0， 当时， ，当且仅当时，取等号， 所以点到平面的最大距离为，故D正确.故选：ABD. 14．【详解】由题意知，焦点， 设存在定点，使得点在圆上运动时，均有， 设，则，由，知， 联立两式，消去可得，令，则，满足上式， 所以，所以， 当且仅当，三点共线时，等号成立，设，则， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以， 即的最小值为． 故答案为：． 15．（1）设数列的公差为，数列的公比为， 则由可得，，解得：故 （2）由（1）得，，， 则 16．（1）由，得， 整理得，所以由余弦定理，得， 因为，所以； （2）由（1）根据正弦定理，得，解得， 由余弦定理，得， 解得，所以的周长为. 17．【详解】（1）当时，直线的斜率为，又直线过， 所以直线的方程为，整理有；根据圆的方程为，得圆心，半径，设圆心到直线距离为，则， 所以. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，此时直线方程为， 整理有，圆心到直线的距离， 因为，所以有，整理有， 即，解得，所以直线的方程为， 即； 综上所述当时，写出所在的直线的方程为或. 18．【详解】（1）因，，故, 又，且，故 在直角梯形中，， 由可得； 因平面平面，，平面平面， 则平面，又平面， 则，又，因平面， 故平面. （2）    ①如图，连接,设，连接, 因平面，且平面,平面平面， 则，故， 在四边形中，由,可得, 故，即，即点是线段上靠近点的三等分点， 故 ②   如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则, 所以，,, 设平面的法向量为， 则，可取， 因， 故,, 设平面的法向量为，则由， 可取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为. 19．(1) (2) 【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为. （2）联立，消元整理得， 时 设，，则，， 由 得 所以 所以 化简得，即，所以或 当时过点，不合题意，舍去，所以，即， 此时，所以，设到直线的距离为， 则， 当且仅当时，当时 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$