2024年第七届“刘徽杯”数学竞赛第一天试题

第七届 “刘徽杯” 数学竞赛 第一天 (2024 年 11 月 9 日) 第 1 题 在凸五边形 ABCDE 中, 对角线 BD 交 CE 于 A′, CE 交 DA 于 B′, DA交 EB 于 C ′, EB 交 AC 于 D′, AC 交 BD于 E ′. 若 AA′ ⊥ CD, BB′ ⊥ DE, CC ′ ⊥ EA, DD′ ⊥ AB, 证明: EE ′ ⊥ BC. 第 2 题 设 G = (V,E) 为简单无向图. 若存在单射 f : V → {0, 1, 2, . . . , |E|}, 使 得对于 G的所有边 (u, v) ∈ E, ∣∣f(u)−f(v)∣∣各不相同,则称 G为一个好图. 已知 G 是由它的 l 个 n 阶完全子图 Kn 组成的图, 且这些 n 阶完全子图具有公共的 t 阶完全子图 Kt, 其中 t, l, n 是给定的正整数, 满足 n > t. 证明: 当 n ≥ 6t+4 时, G 必不是好图. 第 3 题 设 S = ∏ 1≤k≤35 4 ( cos2 2kπ 5 + cos2 2kπ 7 ) . 证明 S 是正整数, 并求 S 的所有素因数之和.