四川省眉山第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

眉山一中2025届第五期10月质量检测试卷（数学） 命题人：王雅倩 审题人：罗海曦 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知点是角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 3．的展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 4．在等差数列中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．某零售行业为了解宣传对销售额的影响，在本市内随机抽取了5个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下： x（万元） 3 4 5 6 7 y（万元） 45 50 60 65 70 由统计数据知y与x满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额y的估计值为（    ） A．89.5 B．90.5 C．92.5 D．94.5 6．命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（    ） A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55 8．已知函数的定义域均为，为的导函数，且，若为偶函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于下列命题中，说法正确的是（    ） A．已知，若，则 B．数据的分位数为77 C．已知，若，则 D．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现按年级分层，用分层随机抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．是偶函数 D．将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象 11．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，由19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，则．在平面直角坐标系中，我们把到两定点的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“新椭圆”．设“新椭圆”上任意一点设为，则（    ）    A．已知点，则 B．“新椭圆”关于轴，轴，原点对称 C．的最大值为 D．“新椭圆”围成的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则复数 ． 13．杭州亚运会秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．某路段的传递活动由A，B，C，D，E，F共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从A，B中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且A，C两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为 ． 14．设函数，若有三个零点，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（13分）．在锐角△ABC中，内角所对的边为，其中 (1)求角的大小； (2)若，求△ABC面积的最大值. 16（15分）．如图，四棱台的底面为菱形，，点为中点，． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 17（15分）．素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义．为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的． (1)声乐班的学生全部进行测试．若声乐班每名学生通过测试的概率都为（），设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为，求的极大值点． (2)器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试．若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为，求的分布列及数学期望． 18（17分）．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的极值； (3)当时，判断零点个数，并说明理由． 19（17分）．若有穷数列（是正整数），满足，，…，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”． (1)已知数列是项数为8的对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出的每一项． (2)已知是项数为（其中，且）的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？ (3)对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前项和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届10月质量检测（数学）参考答案： 1．C【详解】或，，故． 2．B【详解】点是角终边上一点，则,所以. 3．D【详解】展开式中含的项为，所以的系数为， 4．D【详解】因为，令的公差为d，则， 5．B【详解】由表中数据可知，， 所以，解得，所以当宣传费用时，销售额y的估计值为. 6．A【详解】要在上单调递减，则，解得， 在为增函数，则，解得， 因为是的真子集，故命题是命题的充分不必要条件. 7．C【详解】根据题意由可得，两式相除可得，即可得， 两边同时取对数可得，即可得； 即. 8．C【详解】依题意，因为为偶函数，所以，所以， 所以为奇函数且，因为， 令，则有，解得， 因为，所以，又 所以由， 得，所以是以4为周期的周期函数，所以， 由，得，又，所以， 所以所以是以4为周期的周期函数， 所以，所以. 9．CD【详解】对于，，，解得，故A错误； 对于，将数据从小到大排序为，， 分位数为第5个数，即78，故B错误； 对于，，故C正确； 对于D，抽样比为，高二应抽取人，则高三应抽取人，故D正确. 10．ABD【详解】A．由图可得，，，解得，又函数图象经过点，所以，即，因为，所以，解得，故，故A正确；B．当时，，此时函数取得最小值，的图象关于直线对称，故B正确；C．是奇函数，故C错误； D．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，故D正确， 11．BC【详解】对于A中，因为，可得，所以A不正确； 对于B中，设“新椭圆”上任意一点为，根据“新椭圆”的定义，可得，即，当时，可得；当时，可得； 当时，可得；当时，可得；当时，可得；当时，可得，当时，可得；当时，可得；当时，可得，作出“新椭圆”的图象，如图所示，可得“新椭圆”关于轴，轴，原点对称，所以B正确； 对于C中，由“新椭圆”的图象，可得的最大值为，所以C正确； 对于D中，设“新椭圆”的图象，围成的六边形为，    联立方程组，解得，所以，则， 根据“新椭圆”的对称性，可得：“新椭圆”围成的面积为 ，所以D错误. 12．【详解】由，得. 13．114【详解】当A完成第一棒时，有种不同的传递方案；当B完成第一棒时，有种不同的传递方案．故共有种不同的传递方案． 14．【详解】因为，所以    且,零满足点，即，故目标式，令且， 则上式，令，则，，故 在内单调递增，则. 15．【详解】（1） 因为，所以，因此由， 因为，且三角形为锐角三角形，所以； （2）由余弦定理可知：， 由基本不等式可知：，当且仅当时取等号， 面积为，即， 当且仅当该三角形为正三角形时取等号. 16．【详解】（1）连接、，因为四边形为菱形，所以是边长为的正三角形， 因为为中点，所以，， 又因为，平面，所以平面，又平面， 所以，又，，，所以，所以， 又因为平面，所以平面.    （2）因为直线两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则， 所以设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，所以， 由题意知，是平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为， 则，所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．【详解】（1）24名学生中恰有3名通过测试的概率， 则，， 令，得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减，故的极大值点． （2）利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名， 则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名， 所以的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 则随机变量的分布列为 0 1 2 3 ． 18．【详解】（1）当时，则，， 所以，所以曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，且， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递减， 即在上单调递减，又，所以当时，当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. （3）令，即，因为，所以， 令，所以判断的零点个数，即判断的零点个数， 又，， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，令，， 则，因为，所以， 所以在上单调递减，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当时有一个零点，即有一个零点，当时无零点，即无零点， 综上可得当时有一个零点，当时无零点. 19．【详解】（1）因为，，，成等差数列，，，设前项的公差为， 所以，所以，，又数列是项数为的对称数列， 所以，，，， 所以的项依次为，，，，，，，. （2）因为构成首项为，公差为的等差数列， 所以，又，，，， 所以， 所以当时取得最大值，且. （3）因为，，，，成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为， 所以这样的对称数列有： ①，，，，，，，，，，； ②，，，，，，，，，，； 因为， 对于①，当时； 当时 ， 所以； 对于②，当时； 当时 ， 所以； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$