四川省乐山第一中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A A C C B ACD BC 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角. 【详解】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为. 故选:A 2．C 【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，所以 ， 从而，即的长为． 故选：C. 3．A 【分析】根据投影向量的概念进行运算即可求得． 【详解】由题意，，， 则向量在向量上的投影向量为． 故选：A． 4．A 【分析】设，根据空间向量基本定理即可建立关于，，的方程，解方程即得，，． 【详解】 设； 由题意可知， ，解得； 在基底下的坐标为． 故选：A． 5．【答案】A 【分析】根据题意，可看成是两点连线的斜率，数形结合求解. 【详解】可以看成是线段上的点与点连线的斜率， 如图，易求得，， 所以得取值范围为. 故选：A. 6．C 【分析】根据已知条件用，，表示，即可得答案. 【详解】由题设， 结合，得， 故选：C 7．C 【分析】根据空间向量的基本定理结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】因为向量，，是不共面的三个向量， 对于A，，则向量，，共面， 即向量，，不能构成空间的一个基底，因此A错误； 对于B，，则向量，，共面， 即向量，，不能构成空间的一个基底，因此B错误； 对于C，假定向量，，共面，则存在不全为的实数，，使得，整理得， 而向量，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面， 即向量，，能构成空间的一个基底，因此C正确； 对于D，，则向量，，共面， 即向量，，不能构成空间的一个基底，因此D错误； 故选：C． 8．B 【分析】由平面向量共面定理可知：点在平面内，则的最小值即为点到平面的距离，求出三棱锥为正四面体，过点作平面，求解即可得出答案. 【详解】因为， 则， 即， 由平面向量共面定理可知：点在平面内， 则的最小值即为点到平面的距离， 连接因为平行六面体各棱长为1， 所以， 所以三棱锥为正四棱锥， 过点作平面，因为平面， 所以，如图，所以， 所以， 所以的最小值为. 故选：B. 9．ACD 【分析】根据点斜式方程可以表示斜率存在的所有直线判断A；根据倾斜角为的直线方程表示方法判断B；根据截距式不能表示的直线判断C；根据截距的定义判断D． 【详解】对于A，方程不能表示倾斜角为且过的直线，故A错误； 对于B，直线过点，倾斜角为，则其方程为，故B正确； 对于C，当直线在坐标轴上截距相等且为0时，不能用表示，故C错误； 对于D，令得，所以直线在轴上截距为，故D错误； 故选：ACD． 10．BC 【分析】根据法向量的定义，以及空间向量基本定理，以及推论，即可判断选项. 【详解】A.时，，不是平面的法向量，故A错误； B. 若，且不共线，则共面，即直线平面或平面，故B正确； C.由题意可知，向量不共面，则不共面，也即向量不共面，于是是空间的一个基底，故C正确； D. 若，其中，则四点不共面，故D错误. 故选：BC 11．ABD 【分析】利用题设建系，对于A，通过空间向量证明平面即得；对于B，利用直棱柱体积公式计算即得；对于C，先利用线面平行的性质作出截面，再计算其面积即可排除C；对于D，设点，利用空间向量的夹角公式计算得出关于的函数式，通过求函数的最大值得到所成角正切值的最大值. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，则. 对于A，， 因， ， 可得， 因，且两直线在平面内，则有平面， 又为棱上的动点，故，即A正确； 对于B，由题意，该三棱柱的体积为，故B正确； 对于C，如图，设经过，，三点的截面交于点，连接， 因，平面，平面，则平面， 又平面，故得，即截面为梯形. 因，， 设梯形的高为，则，解得. 则故C错误； 对于D，如图，因平面，平面，则， 又，，且两直线在平面内，故得平面， 故可取平面的法向量为， 又为棱上的动点，可设，则， 设直线与平面所成角为，则， 因，故当且仅当时，取得最小值为5，此时取得最大值为， 因，而正弦函数和正切函数在上均为增函数， 故此时取得最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，属于难题. 解题思路在于，化“动”为“静”，将线线垂直的判断转化成线面垂直的证明；利用线面平行的性质作出截面求解；通过建系，将线面所成角的问题进行量化，借助于函数的最值求解. 12． 【分析】根据题意，结合向量的坐标表示以及向量垂直的坐标运算，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为，可得， 即，解得. 故答案为： 13． 【分析】据题意，建立空间直角坐标系，然后根据题意写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据，即可求解. 【详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故，， 设，则，， 因为，所以， 即，解得， 所以. 故答案为：. 14．①②④ 【分析】对于①，利用直线之间的距离即可求解；对于②，以为顶点，为底面即可求解；对于③，利用直线的垂直关系即可判断；对于④，利用空间坐标即可求解. 【详解】对于①，由于在上运动，在上运动，所以的最小值就是两条直线之间距离，而，所以的最小值为； 对于②，，而，所以四面体的体积为； 对于③，由题意可知，当与重合，与重合时， ，又根据正方体性质可知，，所以当为中点，与重合时，此时，故与垂直的不唯一，③错误； 对于④，当为等边三角形时，，则此时.所以只需要与的夹角能等于即可. 以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图， 设，则由题意可得，，，则可得，，则，整理可得，该方程看成关于的二次函数，，所以存在使得为等边三角形. 故答案为：①②④ 15．(1) (2) 【分析】（1）由直线的斜率公式可得，再由点斜式方程代入计算，即可求解. （2）由题意可得AB边上的高所在的直线斜率，再由点斜式方程代入计算，即可求解. 【详解】（1）因为，由直线的点斜式方程可得， 化简可得. （2）由（1）可知，，则AB边上的高所在的直线斜率为， 由直线的点斜式方程可得， 化简可得. 16．【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）①当直线l经过原点时，直线l的方程为；②当直线l经不过原点时，设直线l的方程为，代点求得a的值，得出直线方程． （2）设直线l方程为，由l与两坐标轴围成的三角形的面积为1，可得，解得k的值，得出直线方程． 【详解】（1）①当直线l经过原点时，在x轴、y轴上的截距之和等于0， 此时直线l的方程为，即； ②当直线l经不过原点时，设直线l的方程为， 在直线l上， ，，即. 综上，直线l的方程为或. （2）由题意，斜率k存在，设直线方程为， 令得，令，得， 又由l与两坐标轴围成的三角形的面积为1， 可得，解得或， 直线l的方程为或， 综上所述，直线l的方程为或. 17．(1)； (2). 【分析】（1）（2）根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，利用线线角、线面角、面面角的向量求法分别求解即得. 【详解】（1）在正方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则， 于是， 则， 所以与所成角的余弦值是.    （2）由（1）知，，， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18．(1)略 (2) 【分析】（1）根据题意，由空间向量数量积计算，即可得到结果. （2）根据题意，点M到直线BD距离的最小值即异面直线与BD间的距离。 【详解】（1）选取作为空间中的一组基底，由题意可得：。 （2）点M到直线BD距离的最小值即异面直线与BD间的距离。 由第一问可得，，令平面且， 令是平面的法向量，所以,可得： ， 令，得。异面直线与BD间的距离即投影向量的模长。由此可得： 。 所以点M到直线BD距离的最小值为。 19．(1)①；②证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）①由向量叉乘的定义直接求解即可；②设，,根据叉乘的运算表示和即可证明； （2）首先表示向量，夹角的正弦值，然后得到，要证，只需证，然后根据（1）的运算证明即可； （3）由（2），通过变形可得，即可证明. 【详解】（1）① 因为，， 则； ② 设，，则 ， 将与互换，与互换，与互换， 可得， 故； （2）因为 ， 故， 故要证， 只需证， 即证， 由（1），，， 故， 又， ，， 则成立， 故； （3）由（2）， ， 故， 故的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍. 【点睛】方法点睛：利用向量的叉乘定义逐项分析，利用向量数量积的定义，结合三角形的面积公式，利用分析法证明. 答案第2页，共13页 答案第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 乐山一中2026届高二（上）10月月考数学测试卷 命题人：冯珏翔 李乾午 审题人：冯珏翔 李乾午 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 3．向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知实数x，y满足，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（   ） A． B． C． D． 7．已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．如图，平行六面体各棱长为1，且，动点P在该几何体内部，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题不正确的是（    ） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．直线过点，倾斜角为，则其方程为 C．在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示 D．直线在轴上截距为2 10．以下命题中正确的是（    ） A．若是直线的方向向量，，则是平面的法向量 B．若，且不共线，则直线平面或平面 C．若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底 D．若三点不共线，平面外一点，若，则四点共面 11．在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（   ） A． B．该三棱柱的体积为4 C．过，，三点截三棱柱的截面面积为 D．直线与平面所成角的正切值的最大值为 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面向量，若， . 13．在四棱锥中，底面为的中点，为上一点，当时， . 14．如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上． 给出下列四个结论：     ①的最小值为； ②四面体的体积为； ③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是 ． 四、解答题：本题5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知三角形ABC的顶点坐标为． (1)求过点C且与边AB平行的直线； (2)求AB边上的高所在的直线方程． 16．（15分）根据下列条件分别求直线l的方程： (1)直线过点，直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0； (2)直线l经过点，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 17．（15分）如图所示，在正方体中，已知M是BD的中点． (1)求与所成角的余弦值; (2)求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分）如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线BD； (2)求异面直线和BD间的距离. 19．（17分）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：若，则称为空间向量与的叉乘，其中，， 为单位正交基底. 以 为坐标原点、分别以，，的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知，是空间直角坐标系中异于 的不同两点 (1)①若，，求； ②证明. (2)记的面积为 ，证明：. (3)证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍. 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$