精品解析：重庆市求精中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

重庆市求精中学2024-2025学年上高2023级半期考试 数学试题 考试说明：1.考试时间120分钟 2.试题总分150分 3.试卷页数4页 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆的左右焦点分别为、，过左焦点，作直线交椭圆于、两点，则三角形的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 3. 在空间中，若向量，，共面，则（ ） A. B. C. D. 6 4. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 2. D. 5. 已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 在三棱锥中，为的重心，，，，其中，，若交平面于点，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（ ） A. B. C. D. 4 8. 在中，，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分或3分） 9. 下列说法正确的为（ ） A. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为 B. 方程表示焦点在轴的椭圆，则 C. 向量，向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为 D. 圆与圆的公切线有2条 10. 已知圆，直线.则下列结论正确的是（ ） A. 点，为圆上两点，，关于直线对称，则 B. 当时，圆上恰有个点到直线的距离等于 C. 若动点在圆上，点，则线段中点的轨迹方程为 D. 直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是 11. 正方体的棱长为2，点为正方形内的一个动点（含边界），为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 当与重合时，平面 B. 当时，的最大值为 C. 当时，的轨迹长度为 D. 若，则与平面所成角正弦值的最小值为 三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为___________ 13. 在三棱锥中，，，，则该三棱锥的体积为________ 14. 已知在曲线上，为坐标原点，则的取值范围为______ 四、解答题（本大题共5题，共77分，15题13分，16、17题15分，18、19即17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）若直线和直线平行，求的值及到的距离. （2）已知直线经过点，，求点关于直线对称点的坐标. 16. 已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上. （1）求圆的方程. （2）斜率为2的直线与圆交于，两点，，求直线的方程. 17. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，，点在上，为椭圆的一个动点. （1）求的方程. （2）当时，求的面积. （3）求的取值范围. 18. 如图，四棱锥，底面为菱形，，且均为锐角，， （1）求证: （2）当四棱锥体积为时， （i）时，求二面角的余弦值. （ii）是否存在的值，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知，，动点满足，点的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）曲线，曲线与曲线的交点为，.以为直径的圆与轴，轴正半轴交点分别为，. （i）点Q在直线上移动，过Q作圆的切线，切点为C，，试问直线是否过定点?若是.求出这个定点；若否，请说明理由. （ii）为圆上异于，的一点，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市求精中学2024-2025学年上高2023级半期考试 数学试题 考试说明：1.考试时间120分钟 2.试题总分150分 3.试卷页数4页 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算结合复数的共轭求解即可. 【详解】因为复数，所以.\ 故选:A. 2. 已知椭圆的左右焦点分别为、，过左焦点，作直线交椭圆于、两点，则三角形的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆的定义得，， 则的周长为. 故选：A. 3. 在空间中，若向量，，共面，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共面则存在唯一的使得，列出等式计算可得结果. 【详解】若向量，，共面，则 ， 即，解得：. 故选：C 4. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 2. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算向量，以及向量的单位方向向量，利用空间向量点到直线的距离公式计算即可. 【详解】因为，，，所以， 所以直线的一个单位方向向量为， 又， 所以点到直线的距离为. 故选：D 5. 已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离,再利用弦长公式求解即可. 【详解】圆心,半径, 圆心到直线的距离为, 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：C. 6. 在三棱锥中，为的重心，，，，其中，，若交平面于点，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用四点共面定理可知，若四点共面，则可用表示，且系数和为1，通过条件表示向量，可得的关系，代入计算可得结果. 【详解】连结并延长交于，因为为重心，则为中点， ， ， 四点共面，则，即， 因为，所以，解得：， ，，， 即， 故选：A 【点睛】知识点点睛：若四点共面，且面外一点，则可用表示且系数和为1. 7. 圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】的最小值满足四边形的面积最小，可转化为当最小时满足条件，根据点到直线的距离公式计算，求出，可计算结果. 【详解】圆的圆心，半径为， 如图所示： ， 当最小时四边形面积最小，因为，所以当四边形面积最小时最小， ， 所以只需直线上的动点到的距离最小即可，其最小值为圆心到直线的距离， 此时， . 故选：B 8. 在中，，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，利用余弦定理与正弦定理可得、、，再借助向量线性运算及模长与数量积的关系可用、表示出，再利用三角形内角和与三角恒等变换公式可将表示为正弦型函数，再结合的范围计算即可得解. 【详解】由，，则，， 在中，有， 即，即， 有， 故，， ， 则 ， 其中，， 则当，即时，有最大值， 由，则，由，则， 故可取，故有最大值. 故选：D 【点睛】思路点睛：求三角形有关代数式最值是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分或3分） 9. 下列说法正确的为（ ） A. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为 B. 方程表示焦点在轴的椭圆，则 C. 向量，向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为 D. 圆与圆的公切线有2条 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：由关于平面对称的点的坐标关系计算即可得；对B：由焦点在轴的椭圆定义计算即可得；对C：结合空间向量的投影向量定义计算即可得；对D：计算出两圆的位置关系即可得公切线条数. 【详解】对A：点关于平面的对称点为，故A错误； 对B：若方程表示焦点在轴的椭圆，则有， 解得，即，故B正确； 对C：， 则向量在向量上的投影向量的坐标为，故C正确； 对D：圆与圆的圆心分别为、，半径分别为、， 则有，，， 则，故圆与圆相交， 故圆与圆的公切线有2条，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知圆，直线.则下列结论正确的是（ ） A. 点，为圆上两点，，关于直线对称，则 B. 当时，圆上恰有个点到直线的距离等于 C. 若动点在圆上，点，则线段中点的轨迹方程为 D. 直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A， 根据题意，由圆心在直线上求解判断；对于B，由圆心到直线的距离判断； 对于C.，设，，由题意得，解得，代入圆的方程求解判断； 对于D，利用数形结合法求解判断. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 对于A ，因为点，为圆上两点，且，关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得，故A正确； 对于B，当时，直线，圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相交，且， 则圆上恰有个点到直线的距离等于，故B错误； 对于C，设，，由题意得， 解得，因为点圆上， 代入化简得，故C错误； 对于D，曲线曲线方程可化为，， 该曲线表示以为圆心，半径为的圆在轴的上半部分， 如图所示： 令圆心到直线的距离为，解得， 又直线过定点，点，则，即， 所以若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是，故D正确； 故选：AD 11. 正方体的棱长为2，点为正方形内的一个动点（含边界），为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 当与重合时，平面 B. 当时，的最大值为 C. 当时，的轨迹长度为 D. 若，则与平面所成角正弦值的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，通过证明线面垂直得到，，进而证明平面；对B，建立空间直角坐标系，设，根据，可得，利用向量模的公式求解判断；对C，取的中点，则平面，由条件可得点在以点为圆心，1为半径的圆上，求解判断；对D，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解. 【详解】对于A，当与重合时，如图，连接， 因为平面，平面， 所以， 又，平面，， 所以平面，平面，则， 同理，，且是平面内两条相交直线， 所以平面，即平面，故A正确； 对于B，以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设，，， ，，当时， 所以，即， 所以， ，，故的最大值为，故B错误； 对于C，因为，所以在以为球心，为半径的球上， 又为侧面上的点，所以在球被平面截得的交线上， 取的中点，则平面，，， 所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，如图所示，的轨迹长度为. 故C正确； 对于D，如图，，，， 因为，设，，则， 由选项A，同理可证平面，且， 设与平面所成角为， 则 ，， ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为___________ 【答案】 【解析】 【分析】计算出斜率后，结合斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】由可得直线的斜率为，则直线的倾斜角为. 故答案为：. 13. 在三棱锥中，，，，则该三棱锥的体积为________ 【答案】## 【解析】 【分析】求出平面的一个法向量，利用向量法求出点到平面的距离，的面积，运算得解. 【详解】设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以， 所以点到平面的距离为， 又 ， 所以该三棱锥的体积为. 故答案为：. 14. 已知在曲线上，为坐标原点，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，得到不同情况时曲线所表示的轨迹及轨迹方程，数形结合即可求解的范围. 【详解】因为, ①当时，曲线的方程为: 即,即,此时,所以 即,解得,所以曲线是右半椭圆; ②当时,曲线的方程为:， 即,即 此时,由得; 由，即,得,得; 由，解得或; 综上所述：， 曲线是以为圆心,2为半径的圆在轴左侧的部分，如图所示： 表示点和点的距离及点和点的距离的和； 当点位于椭圆部分时,由椭圆的定义可知； 当点位于圆部分时,因为圆心,半径，所以， 当点与点重合时，， 当点与点或点重合时，, 此时, 终上所述：当在曲线上时，, 故答案为： 四、解答题（本大题共5题，共77分，15题13分，16、17题15分，18、19即17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）若直线和直线平行，求的值及到的距离. （2）已知直线经过点，，求点关于直线对称点的坐标. 【答案】（1），，（2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行的充要条件求出，再利用两平行线间距离公式求解； （2）求出方程，设出根据对称性列式运算得解. 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以，， 所以与的距离为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，则，解得， 所以点的坐标为. 16. 已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上. （1）求圆的方程. （2）斜率为2的直线与圆交于，两点，，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径，即得圆的方程. （2）根据题意可得圆心到直线的距离为1，设出直线的方程运算得解. 【小问1详解】 由题意，中点为，直线的斜率为， 则线段的垂直平分线方程为， 圆心在线段的垂直平分线上，由，解得， 所以圆心的坐标为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 因为，可得圆心到直线的距离， 设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为或. 17. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，，点在上，为椭圆的一个动点. （1）求的方程. （2）当时，求的面积. （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，点，知的值，再由得，即可得到椭圆方程； （2）在中，结合椭圆的定义及余弦定理可得，进而求得的面积. （3）设，表示的坐标，根据椭圆的有界性即可求出的取值范围. 【小问1详解】 由题设得到，且，即，∴, 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 ∵为椭圆上的一点， ∴，平方得 ①， 在中，由余弦定理，得， 即 ②， 由，得，即， 所以的面积. 【小问3详解】 设，则，所以，. 因为， ， . ∵，∴. 所以的取值范围是. 18. 如图，四棱锥，底面为菱形，，且均为锐角，， （1）求证: （2）当四棱锥体积为时， （i）时，求二面角的余弦值. （ii）是否存在的值，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：过点作平面于，过分别作于两点，连结， 因为平面，则，又，平面， 所以平面，平面，则， 同理， ，且为公共边， ，， 在以及中，为公共边，， 即点在角平分线上，即，所以平面， 因为平面，平面，所以， 又底面为菱形，所以，平面， 平面，平面， . （2）（i）； （ii）存在， 【解析】 【分析】（1）过点作平面于，证明点在线段上，即可知平面，结合线面垂直的性质即可得出结果. （2）（i）过作交于点，过作于点，连结，则为所求，根据计算，的长，可求出二面角的正切值，从而求出余弦值. （ii）建立空间直角坐标系，用向量求线面角的方法计算可求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）， 所以，， 过作交于点，则平面， 过作于点，连结， 因为平面， 所以，又，平面， 则平面，所以为二面角的平面角， ， ，且，所以， 则， 设二面角的平面角为，则， 所以. （ii）设，在菱形中，， 以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，， ， ，则， 设平面的法向量，，， 则，令得：， 直线与平面所成角的正弦值为 ， 解得：或（舍）， 所以. 19. 已知，，动点满足，点的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）曲线，曲线与曲线的交点为，.以为直径的圆与轴，轴正半轴交点分别为，. （i）点Q在直线上移动，过Q作圆的切线，切点为C，，试问直线是否过定点?若是.求出这个定点；若否，请说明理由. （ii）为圆上异于，的一点，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值. 【答案】（1） （2）（i）过定点为； （ii)证明：设 则有, 所以得到 所以 所以 因为 不妨设 所以有 继续化简得 所以为定值4. 【解析】 【分析】（1）先设点,然后利用化简求解即可. （2）先计算交点坐标，然后求出圆的方程，求出点，的坐标；再分别计算每一个小问， （i）利用切线与半径垂直，然后建立等式求出直线方程，计算定点即可； （ii）先分别计算出两个直线，然后计算两个焦点，表示出然后化简求解即可. 【小问1详解】 设 因为 所以有 经整理得 【小问2详解】 方程与方程联立 求解得或 所以圆的方程为 所以有 （i）设 易知圆的圆心为原点 所以有 由向量数量积的几何意义可知 所以有 故两点均满足直线 所以直线的方程为 过定点 （ii）略 【点睛】关键点点睛：当两个数的平方和为定值时，我们可以三角换元，这样就只有一个变量了，然后求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $