北京市清华大学附属中学上地学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

第 1页（共 6页） 2024 年清华附中上地分校高一第一学期期中试卷 数 学 （清华附中上地学校高 24） 2024.11 一．选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．已知集合 }13|{  xxM ， }41|{  xxN ，则 NM  ＝（ ） A． }13|{  xx B． }3|{ xx C． }11|{  xx D． }4|{ xx 2. 设命题 52,N: 2  nnnp ，则 p的否定是（ ） A． 52,N 2  nnn B． 52,N 2  nnn C． 52,N 2  nnn D． 52,N 2  nnn 3．下列各组函数中，两个函数相同的是（ ） A． 33 )( xy  和 xy  B． 2)( xy  和 xy  C． 2xy  和 2)( xy  D． 3 3xy  和 x xy 2  4．下列函数在区间 ),0(  上为增函数的是（ ） A． xy 2 B． 2)1(  xy C． 1 xy D． xy  3 5．若实数 a，b满足 a＞b，则下列不等式成立的是（ ） A． |||| ba  B． cbca  C． 22 ba  D． 22 bcac  6．“ 4a ”是“二次函数 aaxxxf  2)( 有零点”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．在下列区间中，一定包含函数 52)(  xxf x 零点的区间是（ ） A． )1,0( B． )2,1( C． )3,2( D． )4,3( 8．已知函数        0,1 01, )( x x x xf ，则使方程 mxfx  )( 有解的实数m的取值范围是（ ） A． )2,1( B． )2,(  C． ),2()1,(   D． ),2[]1,(   第 2页（共 6页） 9．定义在R 上的偶函数 )(xf 满足：对任意的 ))(,0[, 2121 xxxx  ，都有 0 )()( 12 12    xx xfxf ， 且 0)3( f ，则不等式 0)( xf 的解集是（ ） A． )0,3()3,(  B． ),3()0,3(   C． )3,3( D． ),3()3,(   10．现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索 有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线．在合适的坐标系中，这类曲线可 用函数 ...)71828.2e,0( e e)( 2    abbaxf x x 来表示．下列结论正确的是（ ） A．若 0ab ，则 )(xf 为奇函数 B．若 0ab ，则 )(xf 有最小值 C．若 0ab ，则 )(xf 为增函数 D．若 0ab ，则 )(xf 存在零点 二．填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11．函数 1)(  xxf 的定义域为 ． 12. 已知函数 )0(1 4 1)(  x x xxf ，则当且仅当 ____x 时， )(xf 有最小值________. 13．已知集合 }9,3{},0,{ 2  aBaA ，若满足 {9}BA ，则实数 a的值为 ． 14．已知函数 )(xfy  在R 上是奇函数，当 0x 时， 12)(  xxf ，则 )1(f ＝ ；当 0x 时， )(xf ＝ . 15．已知非空集合 A，B满足以下四个条件： ① 6},5,4,3,2,{1BA ； ② BA ； ③ A中的元素个数不是 A中的元素； ④ B中的元素个数不是 B中的元素． （ⅰ）如果集合 A中只有 1个元素，那么集合 A的元素是 ； （ⅱ）有序集合对 ),( BA 的个数是 ． 三．解答题（共 6 小题，第 16 题 9 分，第 17--19 题 6 分，第 20 题 7 分，第 21 题 6 分） 16．已知集合 }41|{  xxA ， }11|{  axaxB ． （1）若 4a ，求 BA ；（2）若 ABA  ，求 a的取值范围． 第 3页（共 6页） 17．解下列关于 x的不等式： （1） 1 2 12    x x （2） 3|12| x （3） )R(02)2(2  axaax 18．已知函数 xxaxf  22)( 是定义在R 上的奇函数． （1）求 a的值，并用定义法证明 )(xf 在R 上单调递增； （2）解关于 x的不等式 0)4()53( 2  xfxxf ． 19．某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为 34800m ，深为 m3 ，如果池底造价为 每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是 多少？ 20．已知函数 mxmmxxf  )1()( 2 ． （1）若不等式 0)( xf 的解集为R ，求m的取值范围； （2）若不等式 0)( xf 对一切 ),0( x 恒成立，求m的取值范围； 21．设 k是正整数，集合 A至少有两个元素，且 *NA ．如果对于 A中的任意两个不同的元 素 x， y，都有 kyx  || ，则称 A具有性质 )(kP ． （1）试判断集合 {1,2,3,4}B 和 10},7,{1,4C 是否具有性质 )2(P ？并说明理由； （2）若集合 }20,...,2,1{},...,,{ 1221  aaaA ，求证： A不可能具有性质 )3(P ； （3）若集合 }2320,...,2,1{A ，且同时具有性质 )4(P 和 )7(P ，求集合 A中元素个数的最大 值． 第 4页（共 6页） 草稿纸 第 5页（共 6页） 高一第一学期期中试卷 数 学 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） CBAABABDCD 二．填空题（共 5 小题） 11． ),1[  12． 2 1 ； 2 13．﹣3 14． 2 1 ； xxf  21)( 15．5；10 三．解答题（共 6 小题） 17．（1）A∩B＝{x|2≤x≤3}．（2）a的取值范围是（﹣∞， ]． 16．（1） )2,3( ；（2） ),2[]1,(   （3）综上所述：当 a＝0时，不等式解集为 ]1,(  ； 当 a＞0时，不等式解集为 ； 当﹣2＜a＜0时，不等式解集为 ； 当 a＝﹣2时，不等式解集为{﹣1}； 当 a＜﹣2时，不等式解集为 ． 18．（1）a＝1，证明略 （2） 0)4()53( 2  xfxxf  )4()4()53( 2 xfxfxxf   xxx 453 2 3 22  xx 或 ． 19．水池总造价 f（x）＝xy×150+2（3x+3y）×120＝（x+ ）×720+1600×150≥2 × 720+240000＝57600+240000＝297600元．当且仅当 x＝40m，y＝40m时取等号． ∴设计水池底面为边长为 40m的正方形能使总造价最低，最低造价是 297600元． 20．（1）m的取值范围为 ), 3 1(  ；（2）m的取值范围为 ]1,(  ； 21．（1）集合 B不具有性质 P（2），集合 C具有性质 P（2） （2）证明：将集合{1，2，⋯ ，20}中的元素分为如下 11个集合， {1，4}，{2，5}，{3，6}，{7，10}，{8，11}．{9，12}，{13，16}，{14，17}，{15，18}，{19}，{20}， 所以从集合{1，2，⋯ ，20}中取 12个元素，则前 9个集合至少要选 10个元素， 第 6页（共 6页） 所以必有 2个元素取自前 9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为 3， 所以 A不可能具有性质 P（3）； （3）先说明连续 11项中集合 A中最多选取 5项， 以 1，2，3……，11为例． 构造抽屉{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5}，{6}，{7}． ①5，6，7同时选，因为具有性质 P（4）和 P（7）， 所以选 5则不选 1，9；选 6则不选 2，10；选 7则不选 3，11； 则只剩 4，8．故 1，2，3……，11中属于集合 A的元素个数不超过 5个． ②5，6，7选 2个， 若只选 5，6，则 1，2，9，10，7不可选，又{4，11}只能选一个元素， 3，8可以选，故 1，2，3……，11中属于集合 A的元素个数不超过 5个． 若选 5，7，则只能从 2，4，8，10中选，但 4，8不能同时选， 故 1，2，3……，11中属于集合 A的元素个数不超过 5个． 若选 6，7，则 2，3，10，11，5不可选，又{1，8}只能选一个元素， 4，9可以选，故 1，2，3……，11中属于集合 A的元素个数不超过 5个． ③5，6，7中只选 1个， 又四个集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每个集合至多选 1个元素， 故 1，2，3……，11中属于集合 A的元素个数不超过 5个． 由上述①②③可知，连续 11项自然数中属于集合 A的元素至多只有 5个， 如取 1，4，6，7，9． 因为 2023＝183×11+10，则把每 11个连续自然数分组，前 183组每组至多选取 5项； 从 2014开始，最后 10个数至多选取 5项，故集合 A的元素最多有 184×5＝920个． 给出如下选取方法：从 1，2，3……，11中选取 1，4，6，7，9； 然后在这 5个数的基础上每次累加 11，构造 183次． 此时集合 A的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；…………； 2014，2017，2019，2020，2022，共 920个元素． 经检验可得该集合符合要求，故集合 A的元素最多有 920个．