四川省成都外国语学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

高二数学试卷第 1页（共 4页） 成都外国语学校 2024-2025 学年度上期半期考试 高二数学试卷 命题人：陈显伟 审题人：彭富杰 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 2、本堂考试 120分钟，满分 150分。 3、答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用 2B铅笔填涂。 4、考试结束后，将答题卡交回。 第Ⅰ卷（选择题部分，共 58分） 一、单项选择题：本题共 8个小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1．已知两条直线 1 : 3 2 1 0l x y   和 2 : 2 1 0l ax y   相互垂直，则 a （ ） A．2 B．3 C． 4 3 D． 4 3  2．我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有 1200人，其中一、二、三年级的人数比为3: 4 :3， 要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为 120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（ ） A．52 B．48 C．24 D．36 3．若方程 2 2 2 3 0x y mx y     表示圆，则 m的取值范围是（ ） A．  , 2  B．    , 2 2 2 2,    C．  , 3  D．    , 2 3 2 3,    4．学校组织知识竞赛，某班 8名学生的成绩（单位：分）分别是 65，60，75，78，86，84，90，94，则这 8名学生成绩的 75%分位数是（ ） A．88分 B．84分 C．85分 D．90分 5．无论为何值，直线      2 3 4 2 1 0x y        过定点（ ） A．  2, 2 B．  2, 2  C．  1, 1  D．  1,1 6．在一个袋子中装有分别标注 1，2，3，4，5，6的 6个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从 中随机取出 2个小球，则取出标注的数字之差的绝对值为 2或 4的小球的概率是（ ） A． 1 10 B． 2 5 C． 3 10 D． 1 4 高二数学试卷第 2页（共 4页） 7．如图，平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 的底面 ABCD是矩形，其中 6AB  ， 14, 2AD AA  ，且 1 1 60A AD A AB    ，则线段 1AC 的长为（ ） A．9 B． 2 15 C．6 D． 2 19 8．已知点  ,P x y 在直线 2 8 0x y   上，则 2 2 2 24 4 4 4x y x x y x       的最小值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、多项选择题：本题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求；全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有错选的得 0分. 9．下列说法正确的是（ ） A．不经过原点的直线都可以表示为 1 x y a b   B．若直线与两坐标轴交点分别为 A、B，且 AB的中点为  4,1 ，则直线 l的方程为 1 8 2 x y   C．过点  1,1 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程为 y x 或 2x y  D．直线3 2 4x y  的截距式方程为 14 2 3    x y 10．一只不透明的口袋内装有 9张相同的卡片，上面分别标有1 9 这 9个数字（每张卡片上标 1个数），“从 中任意抽取 1张卡片，卡片上的数字为 2或 5或 8”记为事件A，“从中任意抽取 1张卡片，卡片上的数字不 超过 6”记为事件 B，“从中任意抽取 1张卡片，卡片上的数字大于等于 7”记为事件C．则下列说法正确的是 （ ） A．事件A与事件C是互斥事件 B．事件 B与事件C是对立事件 C．事件A与事件 B相互独立 D．      P A B P A P B  11．如图，棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的内切球为球O， E， F 分别是棱 AD， 1BB 的中点，G在 棱 AB上移动，则下列选项正确的是（ ） A．该内切球的表面积为 4π B．存在点G，使得 //OD 平面 EFG C．平面EFC被球O截得的截面圆的面积为 4π 7 D．当G为 AB的中点时，过 E， F ，G的平面截该正方体所得截面的面积为3 3 高二数学试卷第 3页（共 4页） 第Ⅱ卷（非选择题部分，共 92分） 三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．圆心为  1, 2 ，半径为 5的圆的标准方程为 . 13．经过    0,2 , 1,0A B  两点的直线的方向向量为  1,k ，求 k的值为 ． 14．若恰有三组不全为 0的实数对 ( , )a b 满足关系式 223353 batbaba  ，则实数 t的所有 可能取值的和为 . 四、解答题：本题共 5 个小题，共 77 分，其中 15 题 13 分，16-17 题每道 15 分，18-19 题每道 17 分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知空间三点  2,0,2A  ，  1,1, 2B  ，  3,0, 4C  ，设 ,b ACa AB     . (1)求 a和 b  的夹角 的余弦值； (2)若向量 ka b  与 2ka b  互相垂直，求 k的值． 16．（15分）已知 ABC 的三个顶点分别是  5,1A ，  7, 3B  ，  8,2C  . (1)求 BC边上的高所在的直线方程； (2)若直线 l过点A，且与直线 1 0x y   平行，求直线 l的方程； (3)求 BC边上的中线所在的直线方程. 17．（15分）如图，在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E，F分别为棱 1DD ， 1 1C D 的中点. (1)求点 F 到直线 1B A的距离； (2)求点 F 到平面 1A BE 的距离. 高二数学试卷第 4页（共 4页） 18．（17分）某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人 举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分 100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年 龄分成 5组，其中第一组  20,25 ，第二组 25,30 ，第三组 30,35 ，第四组 35,40 ，第五组  40,45 ，得到 如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取 20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄 36），乙 （年龄 42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取 2名作为组长，求甲、 乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为 36和 2，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为 42和 1，据此估计这m人中 35~45岁所有人的年龄的方差. 19．（17分）如图所示，直角梯形 ABCD中， / / , , 2 2AD BC AD AB AB BC AD    ，四边形 EDCF为矩 形， 3CF  ，平面 EDCF 平面 ABCD． (1)求证： / /DF 平面 ABE； (2)求平面 ABE与平面 EFB夹角的余弦值； (3)在线段DF上是否存在点 P，使得直线 BP与平面 ABE所成角的余弦值为 13 4 ， 若存在，求出线段 BP的长度，若不存在，请说明理由．