精品解析：重庆市江津二中联盟十校联考2024-2025学年上期期中测试九年级数学试题

2024-2025学年度上期期中测试 初 2025 届 数学 题 卷 （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C D. 2. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 3. 二次函数与坐标轴的交点个数是(　　) A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 若将函数的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围为（ ） A B. C. 且 D. 且 6. 收发微信红包已成为各类人群进行交流联系增强情感的一部分．今年六一期间，甜甜收到484元的微信红包，而2021年她只收到了400元的微信红包，设2021年到2023年甜甜在六一期间收到的红包的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 河北省赵县赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ） A. ﹣20m B. 10m C. 20m D. ﹣10m 8. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（　　） A. 1秒 B. 4秒 C. 1秒或4秒 D. 1秒或秒 9. 二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，，在轴的负半轴上，点，，，，在二次函数位于第三象限的图象上，若四边形，四边形，四边形，，四边形都是正方形，则正方形的面积为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 二次函数的顶点坐标为_______． 12. 把方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为______． 13. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为______（用“＞”连接）． 14. 一个QQ群里共有若干个好友，如果每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有930条消息，则这个QQ群里有______个好友． 15. 如图，一块长，宽的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，则道路的宽应为_________m． 16. 如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是______． 17. 已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是___． 18. 平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为______． 三、解答题（19题8分，20-26题每小题10分，共78分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知的两边的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形菱形？ （2）若，求的周长． 21. 为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． （1）问该校八年级共有几个班？ （2）篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 22. 已知函数（，为常数）的图象经过点，． （1）求b，c的值； （2）当时，求y的最大值． 23. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 24. 某商场有A、B两种商品，若购买1件A商品和3件B商品，则共需元；若购买2件A商品和4件B商品，则共需元． （1）求A、B两种商品每件的售价分别是多少元． （2）B商品每件的成本是元，根据市场调查发现，若按（1）中求出的单价销售，则该商场每天销售B商品件；若销售单价每上涨1元，则B商品每天的销售量就减少4件．请写出B商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）（）乙间的函数关系式，并求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 25. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中点，点都在抛物线上，M为抛物线的顶点． （1）求a，b的值； （2）求四边形的面积． 26. 抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （3）在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点（点在下方），使得以为边、以为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的所有点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上期期中测试 初 2025 届 数学 题 卷 （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：形如的方程为一元二次方程， 化简得，故选项A符合题意； 不符合一元二次方程的定义，故选项B不符合题意； 不符合一元二次方程的定义，故选项C不符合题意； 化简得不符合一元二次方程的定义，故选项D不符合题意； 故选A． 2. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”，将代入可得答案． 【详解】解：将代入，得：， ． 故选C． 3. 二次函数与坐标轴的交点个数是(　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】先计算根的判别式的值，然后根据b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数进行判断． 【详解】∵△＝22−4×1×2＝−4＜0， ∴二次函数y＝x2＋2x＋2与x轴没有交点，与y轴有一个交点． ∴二次函数y＝x2＋2x＋2与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2＋bx＋c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根之间的关系：△＝b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 4. 若将函数的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的规律是解题的关键． 根据二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】若将函数的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位， 得到抛物线的表达式是． 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得，且， 故选：C． 6. 收发微信红包已成为各类人群进行交流联系增强情感的一部分．今年六一期间，甜甜收到484元的微信红包，而2021年她只收到了400元的微信红包，设2021年到2023年甜甜在六一期间收到的红包的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设2021年到2023年甜甜在六一期间收到的红包的平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】设2021年到2023年甜甜在六一期间收到的红包的平均增长率为x， 根据题意可得， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 7. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ） A. ﹣20m B. 10m C. 20m D. ﹣10m 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意，把y=﹣4直接代入解析式y=﹣x2 解得x=±10， 所以A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 即可得水面宽度AB为20m． 故选C. 【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用． 8. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（　　） A. 1秒 B. 4秒 C. 1秒或4秒 D. 1秒或秒 【答案】A 【解析】 【分析】当运动时间为t秒时，，，根据的面积等于，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为t秒时，，， 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴． ∴运动时间为1秒． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点问题，二次函数图象的性质等等，根据抛物线与轴有两个交点，可判断①；根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，据此可判断②；根据对称轴计算公式得到，再由当时，，得到，即，据此可判断③；根据当时，，则，即，据此可判断④． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ，故①错误； ∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴ ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确有②③④； 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，，在轴的负半轴上，点，，，，在二次函数位于第三象限的图象上，若四边形，四边形，四边形，，四边形都是正方形，则正方形的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作轴交轴于，轴交轴于，轴交轴于，由正方形的性质可得，从而得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，设，由点在图象上求出的值，得到，，从而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为：，联立，得到的坐标，同理得出，，再同理计算出，即可得到． 【详解】解：如图，作轴交轴于，轴交轴于，轴交轴于， ， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ，， 点在第四象限， 设， 点在图象上， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ，， ，， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 联立， 解得：，， ， ， 由正方形的性质可得， ，， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 联立， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， ， 由正方形的性质可得：， ， ， …， ， 故选C. 【点睛】本题考查了正方形的性质、二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 二次函数的顶点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 12. 把方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式是解答本题的关键． 先将方程化为一般式，然后分别找出二次项系数、一次项系数、常数项的值，再求出其和即可． 【详解】解：的一般式为：， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为， 二次项系数、一次项系数、常数项的和为， 故答案为：． 13. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为______（用“＞”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用对称性得点C关于对称轴的对称点D的坐标，这样A、B、D三点均在抛物线对称轴的左侧，由二次函数的性质即可判断，，的大小关系． 【详解】解：抛物线解析式为，则抛物线的对称轴为直线， 故点C关于对称轴的对称点D的坐标为， 而，且， 所以当时，函数值随自变量的增大而减小， 故， 故答案为：． 14. 一个QQ群里共有若干个好友，如果每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有930条消息，则这个QQ群里有______个好友． 【答案】31 【解析】 【分析】这个QQ群共有好友x人，则每人发出（x-1）条消息，根据人数×每人发送消息数=930，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：这个QQ群共有好友x人，则每人发出（x-1）条消息， 根据题意得：x（x-1）=930， 解得：x1=31，x2=-30（不合题意，舍去）． 答：这个QQ群共有好友31人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15. 如图，一块长，宽的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，则道路的宽应为_________m． 【答案】2 【解析】 【分析】设道路的宽为xm，当道路移至边缘时花草面积为长方形，再由面积列方程求解即可； 【详解】解：设道路的宽为xm，由平移的性质可得： 花草的面积=（12-x）（8-x）=60， x2-20x+96=60， x2-20x+36=0， （x-18）（x-2）=0， x=18或x=2， ∵x＜8，∴x=2， ∴道路的宽应为2m， 故答案为：2； 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，利用平移的性质求得花草面积是解题关键． 16. 如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】由图象可知，当时，抛物线在直线的上方， 关于的不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围． 17. 已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是___． 【答案】84 【解析】 【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可． 【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为： x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 解得：x1＝8，x2＝1.5（舍）， ∴x﹣4＝4， ∴10x+（x﹣4）＝84． 答：这个两位数为84． 故答案为：84 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键． 18. 平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求得抛物线C的解析式，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根据二次函数的性质即可求得． 【详解】解：设平移后的解析式为y=-x2+bx+c， ∵抛物线C经过点A（-1，0）和B（0，3）， ∴，解得， ∴抛物线C的解析式为y=-x2+2x+3， 设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3）， ∵点P是抛物线C上第一象限内一动点， ∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3） =-x2+3x+3 ∴OQ+PQ的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移，二次函数图象与几何变换，根据题意得出OQ+PQ=-x2+3x+3是解题的关键． 三、解答题（19题8分，20-26题每小题10分，共78分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据不同的方程用不同的解法． （1）利用直接开平方法解一元二次方程； （2）利用配方法解一元二次方程． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 ，； 20. 已知的两边的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？ （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得到只需要满足即可，则关于x的方程有两个相等的实数根，据此可得，解之即可得到答案； （2）根据题意可得是方程的一个根，据此求出m的值，进而解原方程求出，再根据平行四边形周长计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵为菱形， ∴只需要满足即可， ∵的两边的长是关于x的方程的两个实数根， ∴当关于x的方程有两个相等的实数根时，符合题意， ∴， ∴， 解得， ∴当时，四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵， ∴是方程的一个根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得或， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，一元二次方程的解的定义，根的判别式，解一元二次方程等等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21. 为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． （1）问该校八年级共有几个班？ （2）篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 【答案】（1）10个班 （2）5场 【解析】 【分析】（1）该校八年级共有个班，利用比赛的总场数该校八年级的班数（该校八年级的班数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场，利用积分胜的场数负的场数，结合积分不低于14分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：该校八年级共有个班， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校八年级共有10个班； 【小问2详解】 设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为5． 答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 已知函数（，为常数）的图象经过点，． （1）求b，c的值； （2）当时，求y的最大值． 【答案】（1），； （2）当时，y的值最大，最大值为6， 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点，代入解析式，即可求解； （2）把解析式化为顶点式，可得当时，y的值最大，最大值为6． 【小问1详解】 解：∵函数（b，c为常数）的图象经过点点，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得：函数解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，且当时，y的值最大，最大值为6， ∵， ∴当时，y的值最大，最大值为6． 23. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2）不能，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 小问2详解】 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 24. 某商场有A、B两种商品，若购买1件A商品和3件B商品，则共需元；若购买2件A商品和4件B商品，则共需元． （1）求A、B两种商品每件的售价分别是多少元． （2）B商品每件的成本是元，根据市场调查发现，若按（1）中求出的单价销售，则该商场每天销售B商品件；若销售单价每上涨1元，则B商品每天的销售量就减少4件．请写出B商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）（）乙间的函数关系式，并求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）元，元 （2），售价为元时，B商品每天的销售利润最大为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设A、B两种商品每件的售价分别是元，由题意得列方程组，即可求解； （2）由题意求得销量为，即可求解； 【小问1详解】 解：设A、B两种商品每件的售价分别是元， 由题意得：， 解得： ∴A商品的售价是元，B商品的售价是元 【小问2详解】 解：由题意得： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴售价为元时，B商品每天的销售利润最大为元 25. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中点，点都在抛物线上，M为抛物线的顶点． （1）求a，b的值； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等． （1）利用待定系数法求出解析式即可作答； （2）连接，，，过点M作垂足N，则得到，，，，然后根据即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意得，解得， ，； 【小问2详解】 解：连接，，，过点M作垂足为N， 由（1）知，， 对称轴为直线，，， ∴，，， 令， 解得：或， ， ， ． 26. 抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （3）在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点（点在下方），使得以为边、以为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】（1） （2）当点时，△的面积取得最大值，最大值为4 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，，得出当，即点时，△的面积取得最大值，最大值为4； （3）由题意得，，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况进行讨论． 【小问1详解】 解：交轴于点和点， ， ， ； 【小问2详解】 解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ， 设点， ， ， ， 当，即点时，△的面积取得最大值，最大值为4； 【小问3详解】 解：由（1）（2）可知：，，设点，点，由点在下方结合根据中点坐标公式可分： ①以、为对角线，， ， 或（不符合题意，舍去）； ②以、为对角线，， ， 或， ∴或， ∴当时，代入直线的解析式得：，此时点Q在直线下方，符合题意； 同理可验证也符合题意； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$