北京市北京师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

2024北京北师大二附中高三（上）期中 数 学 本试卷共6页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，只收答题纸，不收试卷。 一、单选题（本大题共10小题，共40分） 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 3．在复平面内，复数对应的点分别是，则的模是（    ） A．5 B． C．2 D． 4．已知直线是函数图像的一条对称轴，则的值为（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 5．若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．在中，为边上的中线，为的中点．则（    ） A． B． C． D． 7．在长方体的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面平行的概率为（ ） A． B． C． D． 8．已知都大于零且不等于1，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 10．核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（    ） （参考数据：，） A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.4% 二、填空题（本大题共5小题，共25分） 11．函数的定义域为 . 12．已知等差数列的前n项和为18，则 . 13．在中，角的对边分别为，，，则的面积是 . 14．已知函数的值域是R，则实数的最大值是 ． 15．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PA=AB=4．E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，对于平面EFH截四棱锥所得的截面多边形，有以下三个结论： ①截面面积等于； ②截面是一个五边形； ③直线PC与截面所在平面EFH无公共点． 其中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题（共6题，共85分） 16．已知函数， (1) 求函数的最小正周期和单调递减区间； (2) 当时，求的最大值和最小值 17．在中，角A，B，C的对边分别为，且___________. 在下面的三个条件中任选一个补充到上面的横线中，并给出下面问题的解答. ①，②， ③，，. (1) 求角C； (2) 若，求周长的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．   (1) 求证：平面； (2) 求平面与平面夹角（锐角）的余弦值； (3 )在棱上是否存在一点，使直线与平面 所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长； 若不存在，说明理由． 19．某市两所中学的学生组队参加信息联赛，中学推荐了3名男生、2名女生，中学推荐了3名男生、4名女生. 两校所推荐的学生一起参加集训. 由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛. (1 )求中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2) 设表示中学参赛的男生人数，求的分布列和数学期望； (3) 已知3名男生的比赛成绩分别为76、80、84；3名女生的比赛成绩分别为77、、81；若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出的取值范围（不要求过程）. 20．已知函数（且）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，讨论函数的单调性与单调区间； （3）若有两个极值点，证明：. 21．设为正整数，集合对于，设集合. (1) 若，写出集合； (2) 若，且满足令，求证：； (3) 若，且，求证：. 参考答案 一、单选题（本大题共10小题，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C D A C A B C 二、填空题（本大题共5小题，共25分） 11． 12．81 13． 14． 15．②③ 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16（13分）．(1)最小正周期，单调递减区间，；6分 (2)最大值，最小值-1．7分 【详解】 （1）最小正周期，由，得单调递减区间为，； （2）由得， 故当时，的最大值为；当时，的最小值为-1. 17（14分）． (1) 6分 (2) 7分 【详解】（1）选① 由正弦定理及，， 又， ，，又，. 选② 由，， 即，. ，，，. 选③ ，... 化简得，. 又，. （2）由余弦定理得， 又，当且仅当时等号成立. ，，当且仅当时等号成立. .又，. 周长的取值范围为. 18（15分）． (1)证明见解析 4分 (2) 5分 (3)存在；的长为或 6分 【详解】（1）连接，交于点，连接， 点是的中点，点是的中点， 所以,平面,平面， 所以平面；   （2） 如图，以向量，，为 轴的正方向建立空间直角坐标系， 即，，，则， 设平面的法向量，则， 令得，所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为；   （3）由（2）知，，，， ，，， ， 由（2）知平面的法向量，设直线与平面的夹角为， 则 整理得，解得或 故当时，；当时， 则的长为或． 19（14分）． (1) 3分 (2)分布列见解析，期望为 8分 (3) 3分 【详解】（1）由题意知，参加集训的男、女生各有6名. 参赛学生全部从B中学中抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为. 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为. （2）根据题意得，X的可能取值为0，1，2，3. 则， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 因此，X的数学期望. （3）3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，平均值为80，方差为， 3名女生的比赛成绩为77，，81，平均值为， 所以， 即， 代入检验，可知最小为74，最大，故， 即的取值范围. 20（15分）． （Ⅰ）； 5分 （Ⅱ）详见解析； 4分 （Ⅲ）证明见解析. 6分 【详解】由题可知：函数的定义域为 （Ⅰ）因为时，，所以， 那么，， 所以曲线在处的切线方程为：， 即； （Ⅱ）因为，由可得： ①当，，时，有，，满足，和时， 即函数在和上为减函数； 时，，即函数在上为增函数； ②当时，，恒成立，所以函数在为减函数. 综上可知： 当时，函数在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，函数在上为减函数； （Ⅲ）因为有两个极值点、， 则有两个正根、，则有，且，，即， 所以 若要，即要， 构造函数，则， 易知在上为增函数， 且，， 所以存在使即， 且当时，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以函数在上有最小值为， 又因为则，所以在上恒成立， 即成立. 21（15分）． (1)；4分(2) 5分 (3) 6分 【详解】（1）； （2）因为，所以， 当时，， 所以，即，， 又因为，所以， 所以， 所以； （3）对任意，令， 若且，则， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 对，因为， 由（2）可知，令，则. 若，因为， 所以，即， 又因为，所以. 若，则， 所以. 综上，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$