北京工业大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

业京工堂大学附属中学 HIGH SCHOOLATTACHED TO BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 2024-2025学年第一学期期中考试 高二年级数学学科试卷 命题人：尘福真审核人：叶欣 (考试时间120分钟，总分150分】 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合要求的) 1.直线x-2=0的斜率为) A.0 B.2 c D.不存在 2.空间直角坐标系中，若点A(-2,1,4)关于点B(-2,0,0)的对称点为C,则点C的坐 标为) A.(-2,-1,-4) B.(-4,-1,-4)C.(-6,14) D.（-222 3.己知点(a,2)(a>0)到直线x-y+3=0的距离为1，则a等于() A√2 B.2-√2 C.V2-1 D.V2+1 4.已知F(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A, B两点，且A=3,则C的方程为() A号+y2=1 B号+号=1 c+-1 5.已知圆C:x2+y2-6x+4y-4=0,则过点M(4,-1)的最短弦所在直线1的 方程为() A,x+2y-2=0 B.x-y-5=0 C,x+y-3=0 D.x-2y-6=0 6.若直线2x+y-1=0是圆x2+y2-2ax+a2-1=0的一条对称轴，则a=() A月 B-克 C.1 D.-1 7.已知直线1过点P(1,2,1)和点Q(2,2,0),则点A(1,-1,-1)到1的距商为) A.3 B.2W3 C.√1I D.2W2 8.若直线：mx+y=4和圆0：x2+y2=4没有交点，则过点(m,)的直线与椭 圆号+苦=1的交点个数为() A.0个 B.至多有一个 C.1个 D.2个 9.若给定一向量组A={问，a,…,a}和向量C,若存在一组实数K、店、…、k, 使得c=店ζ+店2+…+飞an,则称向量c能由向量组A线性表示，或称向量C 是向量组A的线性组合若A={何+马，6-马}，c=g+mg,名、6、名为 三个不共面的空间向量，且向量c是向量组A的线性组合，则m=() A.2 B.1 C.-3 D.-4 10.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值 (1≠1)的点的轨迹是圆.人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知 4(-10),B20),动点M满足-京记动点M的轨迹为曲线取，给出下列四 个结论： ①曲线W的方程为(x+2)子+y2=4 ②曲线W上存在点D,使得D到点(1,1)距离为6； ③曲线W上存在点E,使得E到直线y=x+1的距离为V6: ④曲线W上存在点F,使得F到点B与点(-2,0)距离之和为8. 其中所有正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 二，填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 山双曲线号-=1的渐近线方程为 12,抛物线y=8x2的焦点坐标是 13. .设xy∈R,向量d=(11),i=(1,y,1),飞=(2，-42)，且d1元，庇 则位+= 14.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为 “阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个 圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆. 已知直线：y=a(x-2).若直线1与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点. 则a的取值范围是 -2 15.在△ABC中，∠A=30,AB引=2，S△ABc=√3，若以A,B为焦点的椭圆经过点C, 则该椭圆的离心率e= 16,已知椭圆C:女+上 =1,过原点O的直线y=00交椭圆C于A,B两点，过 42 点A向x轴引垂线，垂足为D,连接BD并延长，交椭圆C于点E,直线AE和BD 的斜率分别为k,k2,则下列选项正确的有 0k6=4@.46=月 @.k6=-】@.若k=1,则A=46 三、解答题（本大题共5个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤) 17.(本小题12分) 在楼长为2的正方体ABCD-A1B1G1D1中，E,F分别为AB,AC的中点. 应用空间向量方法求解下列问题。 D B (1)求EF的长； (2)证明：EF⊥平面ACD, 18.(本小题12分)已知直线2x-y+m=0和圆0：x2+y2=5, (1)m为何值时，直线与圆没有公共点： (②)m为何值时，截得的弦长为2： (3)诺直线和圆交于A,B两点，此时OA⊥OB,求m的值 19.(本小题15分) 如图，在三棱柱ABC-AB,C1中，CC,⊥平面ABC,AA=AC=BC=2,LACB=90°， D是CC的中点. (1)求证：AB/平面AB,C1; (2)求平面A,BD与平面ABC夹角的余弦值； (③)在线段CD上是否存在一点P,使得BP与平面A,BD所成角的正弦值为沿若存在， 求出CP的长；若不存在请说明理由 20.(本小题15分) 己知椭圆C: x2 +京=1(a>b>0)的长轴长为4，且点P0, 马在精圆c上 (1)求椭圆C的方程； (2)过点M(4,0)的直线1与椭圆C交于A(:,),B(x2,2)两点，且y2≠0.问： x轴上是否存在点N,使得直线NA,直线NB与y轴围成的三角形始终是底边在y 轴上的等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由. 21.(本小题16分) 对于空间向量元=(a,b,c),定义=max[lal,bLlc,其中max{x,yz表示x,yz 这三个数的最大值。 (①已知a=(6,号1)，方-（飞x-x) ①写出，写出（用含x的式子表示）： ②当0≤x≤4，写出a一1的最小值及此时x的值： (2)设a=(,yz,方=(x2,y2,2),求证：a+<l+b (3)在空间直角坐标系0-xyz中，A(2,0,0),B(0,4,0),C(0,0,6),点P是以0为球心， 1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出POI的最小值及相 应的点P的坐标. 5