北京理工大学附属中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

第1页（共 8 页） 2024—2025学年度第一学期初三年级数学期中练习 学校 姓名 准考证号___________ 注 意 事 项 1．本调研卷共 8 页，满分 100 分，时间 120 分钟。 2．在调研卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3．调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效。 4．在答题纸上，选择题用 2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。 第一部分 选择题 一、选择题（共 16 分，每题 2 分） 第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．一元二次方程 2 3 1 0x x+ − = 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 A．1，3，1 B．0，3， 1− C．1，3， 1− D．1， 3− ， 1− 2．下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是 A B C D 3．已知 ( )12,A y− ， ( )21,B y ， ( )34,C y 三点都在二次函数 2 5y x= − + 的图象上，则 1y ， 2y ， 3y 的大小关系为 A． 1 2 3y y y  B． 3 1 2y y y  C． 2 3 1y y y  D． 3 2 1y y y  4．用配方法解一元二次方程 2 4 1x x− = 时，变形后的结果正确的是 A．( ) 2 2 1x + = B．( ) 2 2 5x + = C．( ) 2 2 5x − = D．( ) 2 2 3x − = − 第2页（共 8 页） 5．将抛物线 25y x= 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后，得到的抛物线是 A． 25( 2) 3y x= − + B． 25( 2) 3y x= + + C． 25( 2) 3y x= − − D． 25( 2) 3y x= + − 6．如图，一块含 30°角的三角尺 ABC 绕点 C 顺时针旋转到△ A B C  的位置，当点 B，C，A在 一条直线上时，三角尺 ABC 旋转的角度为 A．30° B．120° C．60° D．150° 7．如图，二次函数 2 ( 0)y ax bx c a= + +  的图象经过 (0,54)A ， (20,57.9)B ， (40,46.2)C 三点， 下面四个结论中正确的是 A．抛物线开口向上 B．当 20x = 时， y 取最大值 57.9 C．该抛物线的对称轴 x= h的取值范围是10 20h  D．当 54m  时，一元二次方程 2ax bx c m+ + = 总有两个不相等的实数根 8．如图，已知正方形 ABCD 的中心为 O．将正方形 ABCD 绕点 O 逆时针旋转 60°得到正 方形 A B C D   ，两个正方形的公共点为 G，H，I，J，K，L，M，N．对八边形 GHIJKLMN 给出 下面四个结论： ① 该八边形各边长都相等； ② 该八边形各内角都相等； ③ 点 O 到该八边形各顶点的距离都相等； ④ 点 O 到该八边形各边的距离都相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是 A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 第3页（共 8 页） 第二部分 非选择题 二、填空题（共 16 分，每题 2 分） 9．请写出有一个根为 2− 的一元二次方程 ． 10．请写出一个开口向上，顶点坐标是（1,2）的抛物线表达式 ． 11．已知一元二次方程 2 6 2 0x x+ − = 的两个根为 1 2,x x ，则 1 2( 1)( 1)x x+ + = ． 12．已知关于 x 的一元二次方程 2 6 1 0x x m+ + − = 有两个相等的实数 根，那么 m= ． 13．如图，在△ABC 中， 65CAB = ，在同一平面内，将△ABC 绕点 A 旋转到△AB′C′的位置，使得 //CC AB ，则 BAB 的度数为 ． 14．如图，是二次函数 2y ax bx c= + + 的部分图象，由图象可知 关于 x 的不等式 2 2ax bx c+ +  的解集为 ． 15．如图，在正方形网格中，将△ABC 绕某一点旋转某一角度 得到了△ A B C  ，则旋转中心可能是点________ 填 1P ， 2P ， 3P ， 4P 之一．． ． 16．下表记录了二次函数 2 ( 0)y ax bx c a= + +  中两个变量 x 与 y 的三 组对应值： 点 ( )1 1,P x y ， ( )2 2,Q x y 在该函数图象上．若当 1 22 x x  时， 1 2 1y y  ，下列四个结论： ① 0a  ； ② 1 2 6x x+  ； ③25 5 1 0a b c+ + −  ； ④若记二次函数 2 1( 8 0)y ax bx c x x a= + +   ， 的图象为图形 G，存在直线 y k= 与图形 G 有两个交点，则 12 3x  ． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． x … 2− 2 8 … y … n 1 n … 13 题 x y 52 2 o B' C' A B C 14 题 15 题 第4页（共 8 页） 三、解答题（本题共 68 分，第 17 题 8 分，18-25 题每题 5 分，第 26 题 6 分，第 27、28 题每题 7 分） 17．解方程： （1） 2 5x x= ； （2） 2 6 8 0x x− + = ． 18．已知m 是方程 2 2 4 0x x+ − = 的一个根，求代数式 2 ( 2) ( 3)( 3)m m m+ + + − 的值． 19．如图，在▱ ABCD中，点 E，F 分别在 AB ，CD上，BE DF= ，连接EF 与对角线 AC 相交于点 O． （1）求证：OE OF= ； （2）连接CE，G 为CE的中点，连接OG．若 2OG = ， 求 AE 的长． 20．已知关于 x 的方程 2 ( 2) 2 0mx m x+ − − = (m 为实数， 0m  ). （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都为负整数，求整数m 的值． O G E B A C D F 第5页（共 8 页） 21．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 ( )2 0A ， ， ( )1 3B − ， ， ( )1 3D ， ,点 B 与点C 关于原点 对称． （1）点C 的坐标是________； （2）在图中画出 ABD△ 绕着点 A顺时针旋转90后的 1 1AB D△ ； （3）在 x 轴上是否存在点E ，使得 ADE△ 的面积等于 ABC△ 的面积．若存在，直接写出点E 的坐标，若不存在，说 明理由． 22．已知二次函数 2 2 3y x x= + − ． （1）将二次函数化成 2( )y a x h k= − + 的形式； （2）在平面直角坐标系中画出 2 2 3y x x= + − 的图象． 步骤一：列表 x … … y … … 步骤二：根据表中数值描点，画图． （3）当 2 2x−   时，结合函数图象，直接写出 y 的 取值范围_________________． 第6页（共 8 页） 23．如图，用一条长 60m 的绳子围成矩形 ABCD，设边 AB 的长为 xm． （1）边 BC 的长为 m，矩形 ABCD 的面积为 m2（均用含 x 的 代数式表示）； （2）矩形 ABCD 的面积是否可以是 230m2？请给出你的结论，并用所学的方程或者 函数知识说明理由． 24． 二次函数 2 ( 0)y ax bx c a= + +  的图象经过 (3,0)点，当 1x = 时，函数的最小值为 4− ． （1）求该二次函数的解析式； （2）直线 x m= 与抛物线 2 ( 0)y ax bx c a= + +  和直线 3y x= − 的交点分别为点C ，点 D ． ①当 1m = − 时，CD = ； ②结合函数的图象，直接写出 4CD  时m 的取值范围 ． 25．跳水运动是一项以高度、技术和美感为特点的水上运动项目．某跳水运动员进行 10 米 跳台跳水训练，身体(看成一点)在空中的运动轨迹可以看作 是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳 到落水的过程中，运动员离水面OB 的竖直高度 y(单位：m) 与离起跳点 A 的水平距离 x(单位：m)近似满足函数关 系 2( )y a x h k= − + ． （1）运动员第一次跳水时水平距离 x 与竖直高度 y 的几组数据 如下： 水平距离 x/m 0 0.25 0.5 0.75 1.5 竖直高度 y/m 10.00 10.75 11.00 10.75 7.00 x D CB A 第7页（共 8 页） ①根据上述数据，运动员第一次跳水的竖直高度的最大值为________m； ②正常情况下，运动员在距水面高度 5 米之前必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整 好入水姿势，否则就会失误．若运动员在第一次跳水时在空中调整好入水姿势时，恰好 距离起跳点 A 的水平距离为 1.7 米，那么判断他是否会失误？请说明理由． （2）进水角度是指运动员跳入水中时身体与水平面的夹角，如图中所示  ．通常情况下， 跳水运动员努力控制身体与水面的角度接近垂直，是减小水花的关键因素之一．在第二 次跳水时，该运动员的竖直高度 y 与水平距离 x 近似满足函数关系式： 28( 0.5) 12y x= − − + ，则此时的水花相比第一次跳水的水花_______（填“变大”“不变” 或“变小”）． 26．在平面直角坐标系 xOy 中，点 ( )1,M m ， ( )3,N n 在抛物线 2 ( 0)y ax bx c a= + +  上，抛 物线的对称轴为直线 x t= （1）若m n= ，则 t= ； （2）若 2t  ，比较 m，n 的大小，并说明理由； （3）已知点 ( )0P x p， 也在该抛物线上，若 01 0x−   ，都有m p n  ，求 t 的取值范围． 27．已知：在△ABC 中， AC=BC， 90ACB = ，E 是△ABC 内的一点， 135AEB = . （1）如图 1，请写出 ABE 与 CAE 的大小关系，并证明. （2）如图 2，点 F 为 AB 的中点，连接 EF，EC. 用等式表示 EF，EC 之间的数量关系并证明. 图 1 图 2 F A C B E A C B E 第8页（共 8 页） 28．在平面直角坐标系 xOy 中，对于图形 P 给出如下定义：图形 P 绕点 M（a，b）（x a ） 顺时针旋转 90°得到的图形记为图形 Q，对于图形 Q 上任意一点（x，y），存在实数 k 满足 0k x a y b− − − = ，则称满足条件的 k 的最大值为图形 P 关于点 M“旋转最大值”. （1）若 M 为原点，B（0，4），C（1，5），线段 BC 绕点 M 顺时针旋转 90°的图形记为线段 B C ． ①画出线段B C ； ②直接写出线段 BC 关于点 M 的“旋转最大值” ； （2）若 M 为原点，B（m，4），C（m+1，5），0 2m  ，直接写出线段 BC 关于点 M 的 “旋 转最大值” ； （3）若点 M（t，t），图形 P 是顺次连接 ( )2,1E t − ， ( )2, 1F t − − ， ( )2, 1G t + − ， ( )2,1H t + 所组成的四边形，图形 P 关于点 M 的“旋转最大值”不超过 3 ，则 t 的 取值范围是 ． 1 2024—2025学年度第一学期初三年级数学期中练习 数 学 参考答案 第一部分 选择题 一、选择题（共 16分，每题 2分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B C A D C A 第二部分 非选择题 二、填空题（共 16分，每题 2分） 9． 2 4 0x − = （答案不唯一） 10． 2( 1) 2y x= − + （答案不唯一） 11．−7 12．10 13．50° 14．0 < 𝑥 < 4 15．点 3P 16．②③④ 三、解答题（本题共 68分，第 17题 8分，18-25题每题 5分，第 26题 6分，第 27、28 题每题 7分） 17．（1） 2 5x x= 解： ( )5 0x x − = ……………………………………2 分 1 0x = ， 2 5x = ……………………………………4 分 （2）解： 2 6 8x x− = − ， ……………………………… 1 分 2 6 9 1x x− + = ， 2( 3) 1x − = ，…………………………………… 2 分 3 1x − =  ， 1 2x = ， 2 4x = ．…………………………………………………… 4 分 2 18．解：∵m 是方程 0422 =−+ xx 的一个根， ∴ 0422 =−+ mm ． ……………………………………………… 1 分 ∴ 2 2 4m m+ = ． 原式 944 22 −+++= mmm …………………………………………… 3 分 542 2 −+= mm …………………………………………………… 4 分 5)2(2 2 −+= mm 542 −= 3= ．……………………………………………………………… 5 分 19．（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ ,AB CD AB CD= ， ∴ BAC ACD = ． … … … … … … 1 分 ∵BE DF= ， ∴ AE CF= ． … … … … … … … 2 分 在 AOE△ 和 COF 中， ∵ BAC ACD = ， AOE COF = ，AE CF= ， ∴ ( )AASAOE COF≌ ． ∴OE OF= ． ……………… 3 分 （2）解：∵点 G 为CE的中点， , 2OE OF OG= = ， ∴OG是 AEC 的中位线． …………………………………… 4 分 ∴ 2 4AE OG= = ． …………………………………… 5 分 20．(1)证明：由题意， 2 ( 2) 4 ( 2 )m m = − −  − ………………………………… 1 分 2 +4 +4m m= 2 +2 0m= （ ） ． ∴ 该方程总有两个实数根． …………………………………… 2 分 3 (2) 解：解方程，得 1 2 m x = ， 2 1x = − ． …………………………………………… 4 分 ∵ 方程的两个实数根都为负整数， ∴ 1 2m = − −或 ． ………………………………… 5 分 21．(1)解：点 B 关于原点对称的点C 的坐标是 ( )1 3−， ． …………………………1 分 （2）解：如图， 1 1AB D 即为所画的三角形 …………………………………… 3 分 （3）解： 1 1 2 3 2 3 6 2 2 ABC ABO ACOS S S= + =   +   =△ △ △ ， 设 ( )0E x， ， 1 3 2 6 2 ADES x =   − = ， 解得： 2x = − 或 6x = ， ( )2 0E − ， 或 ( )6 0E ， ． …………………………………… 5 分 22．(1) 2 22 3 ( 1) 4y x x x= + − = + − ．……………………………………1 分 (2) …………………2 分 x … -3 -2 -1 0 1 … y … 0 -3 -4 -3 0 … 4 …………………………………… 3 分 (3) 4 5y−   ．……………………………………5 分 23．解：（1）( )30 x− ；( )2 30x x− + ； …………………………………2 分 （2）不可以， …………………………………3 分 理由如下： 方法一：设矩形 ABCD 的面积是 S m2， 则 2 30S x x= − + ．……………………………………………………4 分 ∵ 30x 0 ， ∴ 当 ( ) 30 15 2 1 x = − =  − 时，S 有最大值 225． ∵ 225＜230， ∴ 矩形 ABCD 的面积不可以是 230 m2． ……………………5 分 方法二：若矩形 ABCD 的面积是 230 m2，可得方程 2 30 230x x− + = ，………4 分 ∵ 2 4 20b ac = − = − ， ∵ 0  ， ∴ 这个方程无实数根. ∴ 矩形 ABCD 的面积不可以是 230 m2． ……………………5 分 24.(1) ∵ 当 1x = 时，函数的最小值为-4， ∴设二次函数解析式为 2( 1) 4y a x= − − ．……………………1 分 ∵图象经过 (3,0)点， ∴ 20 (3 1) 4a= − − ． ∴ 1a = ． 5 ∴ 2( 1) 4y x= − − ．…………………2 分 （2）①当 1m = − 时，CD = 4 ．……………………3 分 ②结合函数的图象直接写出 4CD  时m 的取值范围 1 4m m − 或 ．…………5 分 25．(1)① 11．……………………………………1 分 ②不会失误. ……………………………………2 分 求得解析式为： 24( 0.5) 11y x= − − + ，……………………………………3 分 代入 1.7x = ，求得 5.24 5y =  ．……………………………………4 分 (2) 变小. ……………………………………5 分 26．(1)t=2． …………………………………… 1 分 (2) ∵ 𝑎 > 0,且 对称轴为直线𝑥 = 𝑡， ∴ x<t 时，y 随 x 增大而减小；x>t 时，y 随 x 增大而增大． ∵𝑡 > 2 ， ∴点 M(1, 𝑚)在对称轴的左边，其关于 x= t 的对称点（2t-1,m）．………………… 2 分 ∵2t-1> 3 ， 1< 3<2t-1， ∴ m>n． ……………………………………3 分 (3) ∵𝑎 > 0,且 对称轴为直线𝑥 = 𝑡， ∴ x<t 时，y 随 x 增大而减小；x>t 时，y 随 x 增大而增大． ∵𝑥0 < 1,且𝑝 > 𝑚 所以点𝑃在对称轴的左侧， 若点𝑃在对称轴的右侧，𝑦随𝑥增大而增大，由𝑥0 < 1,且𝑝 < 𝑚与已知矛盾， 同理：∵𝑥0 < 3,且𝑝 < 𝑛 所以点𝑁 在对称轴的右侧， ……………… 4 分 ∴ 𝑃(𝑥0, 𝑝)在对称轴的左侧，其关于𝑥 = 𝑡 的对称点为（2𝑡 − 𝑥0, 𝑝）． ∴ 𝑁(3, 𝑛)在对称轴的右侧，其关于𝑥 = 𝑡 的对称点为（2𝑡 − 3, 𝑝）． ∵ 𝑚 < 𝑝 < 𝑛， ∴ 𝑥0 < 1 < 2𝑡 − 𝑥0 < 3 ． ∴ 1+𝑥0 2 < 𝑡 < 3+𝑥0 2 ． …………………………………… 5 分 ∵−1 < 𝑥0 < 0 ， ∴ 1 2 ≤ 𝑡 ≤ 1 ． ……………………………………6 分 6 27．（1） ABE CAE = . …………………………………… 1 分 证明：∵ AC BC= ， 90ACB = ， ∴ 45CAB CBA = =  . ∴ 45EAB CAE + =  . ∵ 135AEB = ， ∴ 45EAB EBA + =  . ∴ ABE CAE = . ……………………………………2 分 （2） 2CE EF= . …………………………………… 3 分 延长 EF 至 M 使 FM=EF，连接 MB， ∵F 为 AB 的中点， ∴AF BF= . ∵ AFE BFM =  ， ∴ ( )SASAFE BFM≌ ，……………………………………4 分 ∴AE BM= ， EAB ABM =  . 过点 C 作 CN⊥CE 且 CN=CE，连接 EN，BN. ∴ 2EN CE= . ∵ 90ACB = ， ∴ ACE NCB = . ∴ ( )SASACE NCB≌ ．.……………………………… 5 分 ∴AE BN= ， CAE CBN = . ∴ 45EBN EBM = =  . ∴ ( )SASEBN MBE≌ ． ……………………………………6 分 ∴EM EN= ， ∴ 2CE EF= ． …………………………………7 分 N MF A C B E 7 28．（1）① 补图略． ………………………………… 1 分 ② 1 5 ． ………………………………… 2 分 （2） 3 5 ． …………………………………4 分 （3） 2 3 2 1 1 3 3 3 t t +  − −或 ． …………………………………7 分