福建省厦门双十中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

福建省厦门双十中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 本试卷共4页.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若经过两点A（3，y＋1）、B（2，－1）的直线的倾斜角为，则y等于（ ） A. －1 B. 2 C. 0 D. －3 2. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的另两边则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，若的面积为，则的焦距的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知直线l与抛物线交于两点，且 ， 交于点D，点D的坐标为，则l方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（ ） A. 的虚轴长为6 B. 的离心率为 C. 的渐近线方程为 D. 点到的一条渐近线的距离为4 10. 已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则下列描述正确的有（ ） A. 直线l与圆C相交 B. 的最小值为 C. 四边形面积的最小值为4 D. 存在点，使得 11. 如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线经过点，其方程为 C. 曲线围成的图形面积小于 D. 存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的焦距是，则的值是____． 13. 已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过扡物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为______. 14. 双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数的图象是双曲线，它的实轴在直线上，虚轴在直线上，实轴顶点是，焦点坐标是，离心率为，已知函数的图象也是双曲线，其离心率为.则其在第一象限内的焦点横坐标是__________. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆O：与x轴交于A，B两点，动点P与点A的距离是它与点B距离的倍． （1）求点P的轨迹方程； （2）过点B作倾斜角为45°直线l交点P的轨迹于M，N两点，求弦长． 16. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 17. 已知椭圆的离心率为，右焦点为分别为椭圆的左、右顶点. （1）求椭圆的方程; （2）过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.求证:为定值. 18. 已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段的中点. （i）求证：点在定直线上； （ii）若的面积为6，求点的坐标. 19. 通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P， （1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标： （2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C， （i）求斜椭圆C的离心率； （ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 福建省厦门双十中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 本试卷共4页.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）或； （2） 【16题答案】 【答案】（1）； （2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2）证明：设，因为直线过点且斜率不为0， 所以可设的方程为，代入椭圆方程得，， 其判别式，所以 两式相除得，即 因为A，B分别为椭圆的左、右顶点，所以点A的坐标为，点的坐标为，所以 从而. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （i）由（1）知点的坐标为，因为的角平分线与轴垂直， 所以的倾斜角互补，即的斜率互为相反数，如图， ， 同理，则， 化简得，则， 所以点在定直线上. （ii）或 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）是，2 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $