2022-2023学年人教版 九年级数学上册期中检测试卷

人教版九年级数学上册期中试卷 （含答案） （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1．已知x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+1＝0的一个解，则m的值是（　　） A．1 B．0 C．0或1 D．0或﹣1 2．若＝，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 3．若关于x的方程x2+2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣1 4．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　） A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm 5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若，则的值为（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1 6．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB的延长线上一点，BP＝2cm，则OP等于（　　） A． cm B．3 cm C． cm D． cm 7．如图，在⊙O中，∠A＝10°，∠B＝30°，则∠ACB等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．40° 8．给出下列4个命题：①圆的对称轴是直径所在的直线．②等弧所对的圆周角相等．③相等的圆周角所对的弧相等．④经过三个点一定可以作圆．其中真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 10．如图，正方形OABC的边长为8，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q（m，n），若S△BPQ＝S△OQC，则mn值为（　　） A．12 B．16 C．18 D．36 二、填空题（每空3分，共24分） 11．在1：25000000的图上，量得福州到北京的距离为6cm，则福州到北京的实际距离为　 　km． 12．一元二次方程x2+3x+2＝0的两个实根分别为x1，x2，则x12x2+x1x22＝　 　． 13．一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程为　 　． 14．已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为（0，4）、（6，4）、（0，﹣1），则这个三角形的外接圆的圆心坐标为　 　． 15．如图，C、D是以AB为直径的半圆上两点，且D是中点，若∠ABD＝80°．则∠CAB＝　 　． 16．如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在边BC上，∠BAE＝∠DAC，AB＝7，AD＝10，则CE＝　 　． 17．⊙O的半径为1，弦AB＝，弦AC＝，则∠BAC度数为　 　． 18．如图，把一块含30°角的三角板的直角顶点放在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的点C处，另两个顶点分别落在原点O和x轴的负半轴上的点A处，且∠CAO＝30°，则AC边与该函数图象的另一交点D的坐标坐标为　 　． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．（6分）解方程：x2﹣8x=16﹣8x． 20．（6分）解方程：（x+5）2=6（x+5） 21．（8分）关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值． 22．（8分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则共有多少支球队参赛？ 23．（8分）如图，四边形ABCD在平面直角坐标系中， （1）分别写出点A，B，C，D各点的坐标； （2）作出四边形ABCD关于原点O对称的四边形A′B′C′D′． 24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，连接BM，交AC于点O，求BM的长． 25．（10分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 26．（12分）如图，抛物线y=x2+x﹣与x轴相交于A，B两点，顶点为P． （1）求点A，点B的坐标； （2）在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 答 案 一、选择题 1．已知x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+1＝0的一个解，则m的值是（　　） A．1 B．0 C．0或1 D．0或﹣1 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．把x＝1代入方程式即可求解． 解：把x＝1代入方程x2﹣2mx+1＝0，可得1﹣2m+1＝0，得m＝1， 故选：A． 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把求未知系数的问题转化为方程求解的问题． 2．若＝，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【分析】根据合分比性质求解． 解：∵＝， ∴＝＝． 故选：D． 【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质． 3．若关于x的方程x2+2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣1 【分析】根据判别式的意义得到△＝22﹣4m＜0，然后解不等式即可． 解：根据题意得△＝22﹣4m＜0， 解得m＞1． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 4．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　） A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比． 解：方法1：设书的宽为x，则有（20+x）：20＝20：x，解得x＝12.36cm． 方法2：书的宽为20×0.618＝12.36cm． 故选：A． 【点评】理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若，则的值为（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1 【分析】由于DE∥BC，可得出△ADE∽△ABC，因此它们的边对应相等成比例，由此可求出的值． 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝＝＝． 故选：C． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 6．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB的延长线上一点，BP＝2cm，则OP等于（　　） A． cm B．3 cm C． cm D． cm 【分析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC、BC，根据勾股定理求出OC，根据勾股定理求出OP即可． 解：过O作OC⊥AB于C， 则∠OCP＝∠ACO＝90°， ∵OC⊥AB，OC过O， ∴AC＝BC＝AB＝×8cm＝4cm， ∵BP＝2cm， ∴PC＝BC+BP＝6cm， 在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC＝＝＝3（cm）， 在Rt△PCO中，由勾股定理得：OP＝＝＝3（cm）， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦． 7．如图，在⊙O中，∠A＝10°，∠B＝30°，则∠ACB等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．40° 【分析】由题意∠AOB＝2∠ACB，设∠ACB＝x，则∠AOB＝2x，根据∠A+∠AOB＝∠B+∠ACB，构建方程求出x即可； 解：∵∠AOB＝2∠ACB，设∠ACB＝x，则∠AOB＝2x， 由题意∠A+∠AOB＝∠B+∠ACB， ∴10°+2x＝30°+x， ∴x＝20°， 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 8．给出下列4个命题：①圆的对称轴是直径所在的直线．②等弧所对的圆周角相等．③相等的圆周角所对的弧相等．④经过三个点一定可以作圆．其中真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据轴对称的性质、圆周角定理、确定圆的条件即可一一判断； 解：①圆的对称轴是直径所在的直线．正确； ②等弧所对的圆周角相等．正确； ③相等的圆周角所对的弧相等．错误，条件是同圆或等圆中； ④经过三个点一定可以作圆．错误，条件是不在同一直线上的三点； 故选：B． 【点评】本题考查命题与定理、解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x﹣1）]元，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于等于10的值即可得出结论． 解：设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x﹣1）]元， 根据题意得：[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]＝1120， 整理得：x2﹣18x+72＝0， 解得：x1＝6，x2＝12（舍去）． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．如图，正方形OABC的边长为8，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q（m，n），若S△BPQ＝S△OQC，则mn值为（　　） A．12 B．16 C．18 D．36 【分析】由△PBQ∽△COQ，推出＝（）2＝，推出OC＝3PB，由OC＝8，推出PB＝，由＝＝，BO＝8，推出OQ＝×8＝6，求出点Q坐标即可解决问题； 解：∵四边形ABCO是正方形， ∴AB∥OC， ∴△PBQ∽△COQ， ∴＝（）2＝， ∴OC＝3PB， ∵OC＝8， ∴PB＝， ∵＝＝，BO＝8， ∴OQ＝×8＝6， ∴Q（6，6）， ∴mn＝36， 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 二、填空题（每空2分，共16分） 11．在1：25000000的图上，量得福州到北京的距离为6cm，则福州到北京的实际距离为　1500　km． 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”即可求出两地的实际距离． 解：6÷：＝150000000（厘米）＝1500（千米）； 答：福州到北京的实际距离是1500千米． 故答案为：1500． 【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系． 12．一元二次方程x2+3x+2＝0的两个实根分别为x1，x2，则x12x2+x1x22＝　﹣6　． 【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣3，x1•x2＝2，再将x12x2+x1x22变形为x1•x2（x1+x2），然后利用整体思想代入计算即可． 解：根据题意得x1+x2＝﹣3，x1•x2＝2， 所以x12x2+x1x22＝x1•x2（x1+x2）＝2×（﹣3）＝﹣6． 故答案为﹣6． 【点评】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝． 13．一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程为　60（1﹣x）2＝48.6　． 【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降价的百分率）＝48.6，把相应数值代入即可求解． 解：第一次降价后的价格为60×（1﹣x），二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为60×（1﹣x）×（1﹣x），所以可列方程为60（1﹣x）2＝48.6． 【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b． 14．已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为（0，4）、（6，4）、（0，﹣1），则这个三角形的外接圆的圆心坐标为　（3，）　． 【分析】由题意，△ABC是直角三角形，推出△ABC的外接圆的圆心是斜边BC的中点Q，利用中点坐标公式计算即可解决问题； 解：如图， 由题意，△ABC是直角三角形， ∴△ABC的外接圆的圆心是斜边BC的中点Q， ∵C（0，﹣1），B（6，4）， ∴Q（3，）， 故答案为（3，）． 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是记住直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点． 15．如图，C、D是以AB为直径的半圆上两点，且D是中点，若∠ABD＝80°．则∠CAB＝　20°　． 【分析】连接AD．根据直径的性质求出∠DAB，再证明∠CAD＝∠DAB即可解决问题； 解：连接AD． ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝80°， ∴∠DAB＝10°， ∵D是中点， ∴＝， ∴∠CAD＝∠DAB＝10°， ∴∠CAB＝20°， 故答案为20°． 【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16．如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在边BC上，∠BAE＝∠DAC，AB＝7，AD＝10，则CE＝　5.1　． 【分析】由▱ABCD的性质及∠BAE＝∠DAC可得∠BAE＝∠BCA，进而可判定△BAE∽△BCA，可得，可BE的长，即可得CE的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD＝BC＝10， ∴∠DAC＝∠BCA， 又∵∠BAE＝∠DAC， ∴∠BAE＝∠BCA， ∵∠B＝∠B， ∴△BAE∽△BCA， ∴， ∵AB＝7，BC＝10， ∴BE＝4.9， ∴EC＝5.1． 故答案为：5.1． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到∠BAE＝∠BCA是判定三角形相似的前提，熟练运用相似形的性质是解题的关键． 17．⊙O的半径为1，弦AB＝，弦AC＝，则∠BAC度数为　75°或15°　． 【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可． 解：有两种情况： ①如图1所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∴∠OEA＝∠OFA＝90°， 由垂径定理得：AE＝BE＝，AF＝CF＝， cos∠OAE＝＝，cos∠OAF＝＝， ∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，∴∠BAC＝30°+45°＝75°； ②如图2所示： 连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∴∠OEA＝∠OFA＝90°， 由垂径定理得：AE＝BE＝，AF＝CF＝， cos∠OAE═＝，cos∠OAF＝＝， ∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°， ∴∠BAC＝45°﹣30°＝15°； 故答案为：75°或15°． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是根据题意作出图形，求出符合条件的所有情况．此题比较好，但是一道比较容易出错的题目． 18．如图，把一块含30°角的三角板的直角顶点放在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的点C处，另两个顶点分别落在原点O和x轴的负半轴上的点A处，且∠CAO＝30°，则AC边与该函数图象的另一交点D的坐标坐标为　（﹣3，）　． 【分析】过点C作CE⊥AO于点E，由题意可得：AE＝CE，CE＝OE，设点C坐标为（a，﹣a），代入解析式可求a＝﹣1，可求点A坐标，点C坐标，即可求直线AC解析式，直线AC解析式与反比例函数解析式组成方程组，可求点D坐标． 解：如图：过点C作CE⊥AO于点E ∵∠CAO＝30°，CE⊥AO ∴∠COE＝60°，AC＝2CE，AE＝CE ∴CE＝EO 设点C坐标为（a，﹣a） ∵点C在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上 ∴a×（﹣a）＝﹣ 解得：a＝﹣1 ∴点C坐标（﹣1，） ∴CE＝，EO＝1 ∴AE＝×＝3 ∴AO＝4 ∴点A（﹣4，0） ∵点A（﹣4，0），点C（﹣1，） ∴直线AC解析式y＝ ∵直线AC与反比例函数y＝﹣相交于点C，点D ∴﹣＝ 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3 ∴点D坐标为（﹣3，） 故答案为：（﹣3，） 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．（6分）解方程：x2﹣8x=16﹣8x． 【解答】解：原方程可变形为：x2=16， 两边开方得：x=±4， 解得：x1=4，x2=﹣4． 20．（6分）解方程：（x+5）2=6（x+5） 【解答】解：移项得：（x+5）2﹣6（x+5）=0， （x+5）（x+5﹣6）=0， x+5=0，x+5﹣6=0， x1=﹣5，x2=1． 21．（8分）关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值． 【解答】解：由题意，得 m2+3m+2=0，且m+1≠0， 解得m=﹣2， m的值是﹣2． 22．（8分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则共有多少支球队参赛？ 【解答】解：设有x支球队参赛，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛， 由题意，可得=28， 解得x=8或﹣7（舍去）．[来源:Z。xx。k.Com] 答：有8支球队参赛． 23．（8分）如图，四边形ABCD在平面直角坐标系中， （1）分别写出点A，B，C，D各点的坐标； （2）作出四边形ABCD关于原点O对称的四边形A′B′C′D′． 【解答】解：（1）A（0，﹣2），B（2，﹣2），C（1，0），D（1，3）； （2）如图所示：A′（0，2），B′（﹣2，2），C′（﹣1，0），D（﹣1，﹣3）． 24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，连接BM，交AC于点O，求BM的长． 【解答】解：如图，连接AM， 由题意得：CA=CM，∠ACM=60°， ∴△ACM为等边三角形， ∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°； ∵∠ABC=90°，AB=BC=， ∴AC=CM=2， ∵AB=BC，CM=AM， ∴BM垂直平分AC， ∴BO=AC=1，OM=CM•sin60°=， ∴BM=BO+OM=+1． 25．（10分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设y=kx+b， 把（22，36）与（24，32）代入得：， 解得：， 则y=﹣2x+80； （2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元， 根据题意得：（x﹣20）y=150， 则（x﹣20）（﹣2x+80）=150， 整理得：x2﹣60x+875=0， （x﹣25）（x﹣35）=0， 解得：x1=25，x2=35， ∵20≤x≤28， ∴x=35（不合题意舍去）， 答：每本纪念册的销售单价是25元； （3）由题意可得： w=（x﹣20）（﹣2x+80） =﹣2x2+120x﹣1600 =﹣2（x﹣30）2+200， 此时当x=30时，w最大， 又∵售价不低于20元且不高于28元， ∴x＜30时，y随x的增大而增大，即当x=28时，w最大=﹣2（28﹣30）2+200=192（元）， 答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 26．（12分）如图，抛物线y=x2+x﹣与x轴相交于A，B两点，顶点为P． （1）求点A，点B的坐标； （2）在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解： （1）令y=0，则x2+x﹣=0， 解得x=﹣3或x=1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）； （2）存在．理由如下： ∵y=x2+x﹣=﹣（x+1）2﹣2， ∴P（﹣1，﹣2）， ∵△ABP的面积等于△ABE的面积， ∴点E到AB的距离等于2， 当点E在x轴下方时，则E与P重合，此时E（﹣1，﹣2）； 当点E在x轴上方时，则可设E（a，2）， ∴a2+a﹣=2，解得a=﹣1﹣2或a=﹣1+2， ∴存在符合条件的点E，其坐标为（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）或（﹣1，﹣2）． 学科网（北京）股份有限公司 $$