精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟2024-2025学年高二上学期11月期中学业质量测试数学试题

2024-2025学年第一学期高二年级期中学业质量测试试卷 数学 注意事项 1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号、考生号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需政动，用擦皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知三点共线，则（ ） A. B. 6 C. D. 2 2. 某工厂生产A，B，C,3种不同型号的产品，产量之比为.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中A种型号的产品有18件，则样本容量（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 3. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙不输的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 7610 4281 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ） A. 0.852 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.75 7. 已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 现有7张分别标有的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为，剩下的2张卡片数字之和为，则的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错得得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体被抽到的概率是 B. ，的夹角为钝角的充要条件是 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的中位数是18 D. 若样本数据的方差为1，则数据的方差为8 10. 已知直线l过点P（3，4）且与点A（－2，2），B（4，－2）等距离，则直线l的方程为（ ） A. 2x+3y－18=0 B. 2x－y－2=0 C. 3x－2y+18=0 D. 3x－2y－1=0 11. 如图，棱长为2的正方体 中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 时，平面 B. 时，四面体的体积为定值 C. 时，，使得平面 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在平行四边形中，，，，则点的坐标为____________． 13. 某同学进行投篮训练，在甲､乙､丙三个不同的位置投中的概率分别为，该同学站在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值是______. 14. 如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点. H为PC上的点，且，点G在AH上，且，若四点共面，则_________ 四、解答题（15题13分，16题和17题为15分，18和19题为17分，共77分） 15. 已知直角中，点，，在轴上. （1）求点的坐标； （2）求斜边中线所在直线的方程. 16. 黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求x的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）； （3）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为． （1）求，； （2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 18. 三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，三人闯关都成功的概率是，三人闯关都不成功的概率是. （1）求两人各自闯关成功的概率； （2）求三人中恰有两人闯关成功的概率. 19. 如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； （3）当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高二年级期中学业质量测试试卷 数学 注意事项 1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号、考生号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需政动，用擦皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知三点共线，则（ ） A. B. 6 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据三点共线列方程，从而求得的值. 【详解】由题可得，即，解得． 故选：B 2. 某工厂生产A，B，C,3种不同型号的产品，产量之比为.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中A种型号的产品有18件，则样本容量（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】运用分层抽样知识可解. 【详解】分层抽样抽样比为，样本中A种型号的产品有18件， 则样本中B,C种型号的产品有12件,30件.则样本容量. 故选：B. 3. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙不输的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】乙不输与甲获胜对立事件，根据概率公式计算即可． 【详解】∵乙不输与甲获胜对立事件， ∴乙不输的概率是， 故选：A. 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 5. 已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用斜率计算公式可得：，线段的中点为，即可得出线段的垂直平分线的方程． 【详解】，线段的中点为， 线段的垂直平分线的方程是，化为：， 故选：A． 6. 已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 7610 4281 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ） A. 0.852 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.75 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的随机数表，求出只击中1次或2次的频数，再求出古典概率. 【详解】由已知的数表知，射击运动员射击4次，只击中1次或2次的有7140，7610，1417，0371，6011，共5组， 因此该射击运动员射击4次，至少击中3次的有15组， 所以该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为. 故选：D 7. 已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线与线段相交，即可求解． 【详解】∵，，， 则，， 直线与线段相交， 则直线的斜率的取值范围是． 故选：A． 8. 现有7张分别标有的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为，剩下的2张卡片数字之和为，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意，将转化为，再结合古典概型公式求解即可. 【详解】因为，所以， 故，而，所以，解得， 所以求的概率即可，从7张卡片抽2张， 基本事件有， ， 共有个基本事件，且设的概率为， 符合题意的事件有， ，共9种，所以，故D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查概率，解题关键是合理消元，转化条件，然后利用古典概型公式得到所要求的概率即可． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错得得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体被抽到的概率是 B. ，的夹角为钝角的充要条件是 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的中位数是18 D. 若样本数据的方差为1，则数据的方差为8 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：根据简单随机抽样的特点，结合已知条件，即可判断；对B：根据，也可推出向量反向，即可判断；对CD：根据中位数计算方法和方差的性质，求解后即可判断. 【详解】对A：从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体被抽到的概率是，故A正确； 对B：由，可以得到反向，夹角不为钝角，故B错误； 对C：将10个数据按照从小到大顺序排列为：12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，又， 故这10个数据的中位数为，故C正确； 对D：若样本数据的方差为1，则数据的方差为，故D错误. 故选：AC. 10. 已知直线l过点P（3，4）且与点A（－2，2），B（4，－2）等距离，则直线l的方程为（ ） A. 2x+3y－18=0 B. 2x－y－2=0 C. 3x－2y+18=0 D. 3x－2y－1=0 【答案】AB 【解析】 【分析】可设直线l：y－4=k（x－3），由点到直线距离公式列方程求解可得． 【详解】依题意，可设直线l：y－4=k（x－3）（k≠0），即kx－y+4－3k=0， 则有， 因此－5k+2=k+6或－5k+2=-－k+6），解得k=－或k=2， 故直线l的方程为2x+3y－18=0或2x－y－2=0. 故选：AB． 11. 如图，棱长为2的正方体 中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 时，平面 B. 时，四面体的体积为定值 C. 时，，使得平面 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；由线面平行确定点到平面的距离是定值判断B；由空间向量数量积的运算律计算判断C；求出外接球半径计算判断D. 【详解】对于A，当时，，即， 而平面，平面，因此平面，故A正确； 对于B，正方体中，当时，面积是定值， 又，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离是定值，因此四面体的体积为定值，故B正确； 对于C，当时，， 而，则 ，因此不垂直于，不存在，使得平面，故C错误； 对于D，显然平面，则三棱锥与以线段为棱的长方体有相同的外接球， 令球半径为，则， 球的表面积，解得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在平行四边形中，，，，则点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，由条件结合平行四边形的性质列方程可求，由此可得结论. 【详解】因为，，， 所以直线的斜率，， 设点的坐标为， 因为四边形为平行四边形， 所以，， 所以且， 故， 解得，， 所以点的坐标为. 故答案为：. 13. 某同学进行投篮训练，在甲､乙､丙三个不同的位置投中的概率分别为，该同学站在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】由该同学在三个不同的位置至少投中一次的概率与全不中的概率和为1，结合概率的乘法公式求解即可. 【详解】由题意，，解得. 故答案为： 14. 如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点. H为PC上的点，且，点G在AH上，且，若四点共面，则_________ 【答案】## 【解析】 【分析】由，，，四点共面，得即为与平面的交点，连接，交于点，连接，则即为与的交点，取的中点，连接，结合三角形的中位线定理及相似三角形，可得答案． 【详解】如图，若，，，四点共面， 则即为与平面的交点， 连接，交于点，连接， 则即为与的交点，如图所示： 在截面中，为的中点，为的三等分点，取的中点， 连接，则， 故，即，则． 故答案为： 四、解答题（15题13分，16题和17题为15分，18和19题为17分，共77分） 15. 已知直角中，点，，在轴上. （1）求点的坐标； （2）求斜边中线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直求直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，最后令可求点坐标. （2）先确定斜边的中点，利用两点式写出斜边中线的方程，再化简即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以. 所以直线的方程为，即. 令，可得. 所以点的坐标为. 【小问2详解】 的斜边为，设中点为，则. 所以直线的方程为：，即. 所以斜边中线所在直线的方程为. 16. 黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求x的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）； （3）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 【答案】（1） （2）83.33 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可； （2）由百分位数的定义，结合直方图求分位数； （3）分布求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 由图知：，可得. 【小问2详解】 由， 所以分位数在区间内，令其为， 则，解得. 所以满意度评分的分位数为83.33. 【小问3详解】 因为评分在的频率分别为， 则在中抽取人，设为； 在中抽取人，设为； 从这6人中随机抽取2人，则有： ， ，共有15个基本事件， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件， 则有，共有8个基本事件， 所以. 17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为． （1）求，； （2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 【答案】（1），； （2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 【解析】 【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出，再得到所有的值，最后计算出方差即可； （2）根据公式计算出的值，和比较大小即可. 【小问1详解】 ， ， ， 的值分别为: ， 故 【小问2详解】 由（1）知:，，故有, 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 18. 三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，三人闯关都成功的概率是，三人闯关都不成功的概率是. （1）求两人各自闯关成功的概率； （2）求三人中恰有两人闯关成功的概率. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）分三种情况，结合相互独立事件的概率乘法公式求解. 【小问1详解】 设两人各自闯关成功的概率分别是. 由题意得 解得， 所以两人各自闯关成功的概率分别是，. 【小问2详解】 三人中只有闯关成功的概率， 三人中只有闯关成功的概率， 三人中只有闯关成功的概率， 故三人中恰有两人闯关成功的概率为. 19. 如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； （3）当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） 因为， 所以，即平面， 平面，平面， 所以 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直得出线线垂直； （2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可； （3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单调性得出范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为二面角是直二面角， 所以平面平面，平面平面，平面，平面， 以分别为轴建立空间直角坐标系， 设平面法向量为， 设平面法向量为 ， 令，得，所以， 设二面角为，则为锐角， 故， ， 【小问3详解】 分别以反方向和方向分别为轴，过做的垂线为z轴， 设，，显然， ， ，得出，则，则， 因为，，故， 化简得， 而在轴上的射影、构成直角三角形，则，且，解得， 设平面的法向量为， 设直线PE与平面ABC所成角为， ， 则， 令，，令，则，且， ， 根据对勾函数在上单调递减，且恒大于0， 则函数在单调递增，则，即， 则，即正弦值的取值范围. 【点睛】方法点睛：先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $