精品解析：广东省佛山市S6高质量发展联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷

2024—2025年上学期佛山市S6高质量发展联盟 高一年级期中联考试卷数学学科 考试范围：必修一第1—3章；考试时间：120分钟 2024年11月 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用特称命题的否定为全称命题求解. 【详解】原命题为特称命题它的否定为全称命题，. 故选：A 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式，然后按补集定义求补集，再用并集定义求解即可 【详解】或 所以， 故选：D 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】分别判断选项中函数的定义域和对应关系，即可得到答案. 【详解】对选项A，因为定义域为R，定义域为，定义域不同， 所以，不是同一函数，故A错误. 对选项B，因为定义域为R，定义域为， 定义域不同，所以，不是同一函数，故B错误. 对选项C，因为定义域为或， 定义域为，定义域不同， 所以，不是同一函数，故C错误. 对选项D，因为定义域为R，定义域为R， ， 所以，是同一函数，故D正确. 故选：D 4. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【详解】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 5. 已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，再根据集合的包含关系，对参数进行分类讨论，即可求得结果. 【详解】由题意知： 又且或； ①当时，，，故，解得，故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得，故； 综上所述：. 故选：A. 6. 定义在R上的函数满足：①，②，③，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再利用性质求解不等式作答. 【详解】因，，则在上单调递增， 又，则函数是R上的奇函数，因此在上单调递增， 显然，不等式化为：或，即或， 解得或，所以不等式的解集是或. 故选：A 7. 已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得函数为奇函数且为增函数，进而可以将原问题转化为对任意实数恒成立，由对勾函数的性质分析，可得的取值范围． 【详解】解：函数的定义域为， 且，所以为奇函数， 又与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增， 若不等式对任意实数恒成立， 则，即对任意实数恒成立， 所以对于任意实数恒成立， 即任意实数恒成立， 因为函数在上单调递增，所以，则有最小值， 若对任意实数恒成立，所以． 即的取值范围为． 故选：B． 8. 已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为 （ ） A. 920. B. 924 C. 308 D. 320 【答案】D 【解析】 【分析】分析出在集合的所有非空子集中分别出现了次，从而列出式子，求出这些和的总和. 【详解】的子集个数有个，其中每个元素均出现次， 故元素在集合的所有非空子集中分别出现了次， 则对的所有非空子集中，元素执行乘以再求和操作， 则这些和的总和为 . 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 已知幂函数的图象经过点，则函数的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用幂函数的解析式得到的解析式，从而得到为二次函数，进而根据二次函数的对称轴位置得到结果. 【详解】设幂函数，将代入可得：，所以， ，所以是二次函数，故排除B选项， 对称轴为，在轴左侧，故排除D选项， 当时，为开口向上的二次函数，可知A正确， 当时，为开口向下的二次函数，可知C正确. 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”是真命题 B. 若，则 C. 若幂函数在区间上是减函数，则 D. 方程有一个正实根，一个负实根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，运用函数值域判断；B选项，特殊值判断；C选项，运用幂函数定义和性质计算判断；D选项，由二次函数的图像性质判断得到. 【详解】A选项，恒成立，A正确； B选项，若，如，则，B选项错误； C选项，函数是幂函数， 所以，即，解得，或， 当时，在上单调递减，符合题意， 当时，，不符合题意，C选项正确； D选项，设，则有两个实根，且一个正实根，一个负实根，故，D选项正确. 故选：ACD 11. 若实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，只需将通过基本不等式放大为，解不等式即得；对于B项，只需将通过基本不等式缩小为，解不等式即得；对于C项，可以通过原等式消去一元代入所求式，再凑项运用基本不等式即得；对于D项，应注意到与的关系，即可整体运用基本不等式求得. 【详解】对于选项A，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则得， 解得：或，因，则，故A项错误； 对于选项B，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则， 解得：或，因，则，即，故B项正确； 对于选项C，由可得：，则，且， 则，当且仅当时取等号， 即时，有最小值，故C项正确； 对于选项D，由可得：，即，且， 则，当且仅当时等号成立， 由解得：，即当且仅当时，有最小值，故D项正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数和具体函数定义域求解方法，结合函数解析式，求解即可. 【详解】根据题意，，且，解得，故定义域为. 故答案为：. 13. 若，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性，列出不等式组求解即得. 【详解】由幂函数在和上都是单调递减的， 由，得或或， 解得或，所以实数的取值范围为. 故答案为： 14. 若不等式对一切实数x均成立，则实数m的取值范围为__________.若存在实数b，使得关于m的方程在上述范围有解，则实数b的取值范围为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①由条件转化为不等式恒成立，运用分类讨论思想及一元二次不等式恒成立条件可求出m的范围；②由条件转化为方程有解，求b的范围即转化为函数的值域，运用分离常数法及对勾函数的单调性即可得结果. 【详解】由条件可知即为不等式恒成立， 当时不等式显然恒成立； 当时，由一元二次不等式恒成立可得， 即，， 综上可知：m的取值范围为； 因为，可知， 依题意，方程有解， 即方程有解， 所以求b的范围即转化为求函数的值域， ， 令，， 又对勾函数在上为增函数，且，， ，即，所以b的取值范围为， 故答案为：；. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）先判断函数在区间上的单调性，再用定义法证明； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）在上单调递减，证明：令， 则 ， 又，， 所以，故， 则在区间上的单调递减. （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）将令应用作差法判断的大小判断单调性； （2）利用的单调性求区间的最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：在上的单调递减，所以在上递减， 即，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为. 16. 已知函数是上的偶函数，当，， （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义求时，函数的解析式，即可得结果； （2）根据函数解析式以及奇偶性分析函数的单调性，结合单调性和对称性可得，运算求解即可. 【小问1详解】 当时，则， 由题意可得：， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 因为的开口向下，对称轴为， 可知函数在内单调递增， 且函数是上的偶函数，可知函数在内单调递减， 若，则， 整理可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 17. 为改善生态环境，某企业对生产过程中产生的污水进行处理.已知该企业污水日处理量为百吨，日处理污水的总成本元与百吨之间的函数关系可近似地表示为. （1）该企业日污水处理量为多少百吨时，平均成本最低?（平均成本） （2）若该企业每处理1百吨污水获收益100元，为使该企业可持续发展，政府决定对该企业污水处理进行财政补贴，补贴方式有两种方案： 方案一：每日进行定额财政补贴，金额为4200元； 方案二：根据日处理量进行财政补贴，处理百吨获得金额为元. 如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴?并说明原因. 【答案】（1）百吨； （2）选择方案二，日处理污水量为100百吨时，成本最低，获得最大利润. 【解析】 【分析】（1）根据条件写出日污水处理量的平均成本表达式，利用基本不等式求解出其最小值； （2）根据两种补贴方式分别列出企业日获利的函数表达式，并求解出最大值，将最大值进行比较确定出所选的补贴方式. 【小问1详解】 由题意可知，每百吨污水平均处理成本为，. 又. 当且仅当，即百吨时，每百吨污水的平均处理成本最低. 【小问2详解】 若该企业采用第一种补贴方式，设该企业每日获利为，由题可得 ， 因为,所以当百吨时，企业最大获利为元. 若该企业采用第二种补贴方式，设该企业每日获利为，由题可得 因为,所以当百吨时, 企业最大获利为元. 结论：选择方案二，日处理污水量为100百吨时，成本最低，获得最大利润. 18. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集 （2）若，解这个关于的不等式 （3），恒成立，求的范围． 【答案】（1）； （2） 时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集为；时，解集为； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，即可求解； （2）讨论，和三种情况，讨论不等式的解集，当时，讨论两根的大小，求解不等式的解集； （3）首先参变分离，，利用换元，以及基本不等式，转化为求的最大值. 【小问1详解】 时， ， 则所求不等式的解集为：； 【小问2详解】 当时，； 当时，， 当时，有，则此时不等式解集为：； 当，． 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为空集． 综上，时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集为；时，解集为； 【小问3详解】 ， 因，则． 则题目等价于． 令，因，则． 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为． 19. 定义：函数为“下取整函数”，其中表示不大于的最大整数；函数为“上取整函数”，其中表示不小于的最小整数；例如根据定义可得：，，，. （1）函数，；求和； （2）判断（1）中函数的奇偶性； （3）试用分段函数的形式表示函数：. 【答案】（1）；（2）非奇非偶函数；（3） 【解析】 【分析】（1）根据定义分别进行计算即可， （2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可， （3）利用新定义，结合分段函数的定义进行分段求解即可． 【详解】（1）函数， ∵ ，则 则 ∵ ，则 则 （2）∵且，则（1）中函数为非奇非偶函数； （3）当时，，，此时 当时，，，此时 当时，，，此时 当时，，，此时 当时，，，此时 则 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，根据新定义分别进行计算是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025年上学期佛山市S6高质量发展联盟 高一年级期中联考试卷数学学科 考试范围：必修一第1—3章；考试时间：120分钟 2024年11月 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 定义在R上的函数满足：①，②，③，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为 （ ） A. 920. B. 924 C. 308 D. 320 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 已知幂函数的图象经过点，则函数的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”是真命题 B. 若，则 C. 若幂函数在区间上是减函数，则 D. 方程有一个正实根，一个负实根，则 11. 若实数，且，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 13. 若，则实数的取值范围为__________. 14. 若不等式对一切实数x均成立，则实数m的取值范围为__________.若存在实数b，使得关于m的方程在上述范围有解，则实数b的取值范围为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）先判断函数在区间上的单调性，再用定义法证明； （2）求函数在区间上的最值. 16. 已知函数是上的偶函数，当，， （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 17. 为改善生态环境，某企业对生产过程中产生的污水进行处理.已知该企业污水日处理量为百吨，日处理污水的总成本元与百吨之间的函数关系可近似地表示为. （1）该企业日污水处理量为多少百吨时，平均成本最低?（平均成本） （2）若该企业每处理1百吨污水获收益100元，为使该企业可持续发展，政府决定对该企业污水处理进行财政补贴，补贴方式有两种方案： 方案一：每日进行定额财政补贴，金额为4200元； 方案二：根据日处理量进行财政补贴，处理百吨获得金额为元. 如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴?并说明原因. 18. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集 （2）若，解这个关于的不等式 （3），恒成立，求的范围． 19. 定义：函数为“下取整函数”，其中表示不大于的最大整数；函数为“上取整函数”，其中表示不小于的最小整数；例如根据定义可得：，，，. （1）函数，；求和； （2）判断（1）中函数的奇偶性； （3）试用分段函数的形式表示函数：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $