广东省江门市鹤山市鹤华中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

2023-2024学年广东省江门市鹤山市鹤华中学高二（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）经过，B（3，0）两点的直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 2．（5分）设x，y∈R，向量，且∥，则＝（　　） A． B． C．3 D． 3．（5分）方程+＝10的化简结果是（　　） A．+＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1 4．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，若，则（　　） A．x＝1，， B．x＝1，， C．，y＝1， D．，y＝1， 5．（5分）已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（　　） A． B． C． D． 6．（5分）过P（1，1）的直线与圆x2+y2＝4相交，若使得相交弦长最短，则该直线的方程为（　　） A．y﹣1＝0 B．x+y﹣2＝0 C．x﹣y＝0 D．x+3y﹣4＝0 7．（5分）已知点F1，F2分别是椭圆+＝1的左、右焦点，点P在此椭圆上，∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积等于（　　） A． B．3 C．6 D．9 8．（5分）点P（1，0），点Q是圆x2+y2＝4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.多选或错选不得分，漏选得2分. （多选）9．（5分）下列说法正确的是（　　） A．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第三象限 B．直线y＝ax﹣3a+2过定点（3，2） C．过点（2，﹣1）且斜率为的直线的点斜式方程为 D．过点A（1，2）在两坐标轴上的截距相等的直线方程是x+y﹣3＝0 （多选）10．（5分）已知向量，，，则下列命题中，正确的是（　　） A．向量与的夹角为 B．以，为邻边的平行四边形的面积是 C．若，则，之间的夹角为锐角 D．若，则，之间的夹角为锐角 （多选）11．（5分）已知圆C：x2+y2＝4，则（　　） A．圆C与直线mx+y﹣m﹣1＝0必有两个交点 B．圆C上存在4个点到直线l：x﹣y+＝0的距离都等于1 C．圆C与圆x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝16 D．动点P在直线x+2y﹣4＝0上，过点P向圆C引两条切线，A、B为切点，直线AB经过定点（1，2） （多选）12．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，B1C1的中点，以下说法正确的是（　　） A．A1C⊥平面EFG B．C到平面EFG的距离为 C．过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是 D．平面EGF与平面BCC1B1夹角余弦值为 三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）若焦点在y轴上的椭圆的离心率为，则m的值为 　 　． 14．（5分）直线l1：mx+2y﹣3＝0与直线l2：3x+（m﹣1）y+m﹣6＝0平行，则m＝　 　． 15．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣8＝0，点P是圆C上一动点，则点P到直线5x+12y+8＝0的距离的最大值为 　 　． 16．（5分）平面n的法向量是，点A（﹣1，3，0）在平面α内，则点P（﹣2，1，4）到平面α的距离 　 　． 四、解答题：本题共6大题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分. 17．（10分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）． （1）求的值； （2）若，且分别与，垂直，求的坐标． 18．（12分）已知△ABC的三个顶点是A（﹣2，1），B（0，﹣3）C（3，4）． （1）求直线AB的方程以及△ABC的面积S； （2）若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程． 19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点． （1）求证：AM⊥平面PCD； （2）求平面BPD与平面PCD夹角的余弦值． 20．（12分）已知椭圆C过点（0，），椭圆上的点到焦点的最小距离是． （1）求椭圆C的方程； （2）倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，已知，求直线l的一般式方程． 21．（12分）已知圆，圆C2的圆心在直线y＝x上，且经过A（0，﹣1），B（﹣1，﹣2）两点． （1）求圆C2的方程． （2）求经过两圆的交点的圆中面积最小的圆的方程． 22．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，．以直线AB为轴，将直角梯形ABCD旋转得到直角梯形ABEF，且AF⊥AD． （1）求证：DF∥平面BCE； （2）在线段DF上是否存在点P，使得直线AF和平面BCP所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 2023-2024学年广东省江门市鹤山市鹤华中学高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）经过，B（3，0）两点的直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线AB的斜率，即可确定其倾斜角． 【解答】解：，B（3，0）， 则，所以直线的倾斜角为． 故选：A． 2．（5分）设x，y∈R，向量，且∥，则＝（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据题意利用空间向量的平行或垂直关系可得x，y，进而结合模长公式运算求解． 【解答】解：因为，则，解得x＝2，即， 又因为∥，则，解得y＝﹣4，即， 可得，所以． 故选：A． 3．（5分）方程+＝10的化简结果是（　　） A．+＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1 【答案】C 【分析】方程+＝10表示（x，y）与（4，0），（﹣4，0）两点的距离和为10，大于两点的距离，所以点的轨迹是以（4，0），（﹣4，0）为焦点的椭圆，且a＝5，c＝4，可得结论． 【解答】解：方程+＝10表示（x，y）与（4，0），（﹣4，0）两点的距离和为10，大于两点的距离，所以点的轨迹是以（4，0），（﹣4，0）为焦点的椭圆，且a＝5，c＝4， 所以b＝3， 所以椭圆方程为+＝1， 故选：C． 4．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，若，则（　　） A．x＝1，， B．x＝1，， C．，y＝1， D．，y＝1， 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算法则，用基底{，，}表示出，即可得解． 【解答】解：由题意知，＝＝+（）＝++， 因为， 所以x＝1，y＝，z＝． 故选：B． 5．（5分）已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合空间向量的共面定理，即可求解． 【解答】解：， 故，，共面，三者不能构成基底，故A错误； ，，不共面，能作为基底，故B正确； ＝， 则，，共面，三者不能构成基底，故C错误； ， 则，，共面，三者不能构成基底，故D错误． 故选：B． 6．（5分）过P（1，1）的直线与圆x2+y2＝4相交，若使得相交弦长最短，则该直线的方程为（　　） A．y﹣1＝0 B．x+y﹣2＝0 C．x﹣y＝0 D．x+3y﹣4＝0 【答案】B 【分析】当所得弦的长度最短时，求解直线的斜率，用点斜式求得直线方程． 【解答】解：圆x2+y2＝4 的圆心A（0，0 ），所得弦的长度最短时，直线的斜率：＝﹣1， 故直线的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即x+y﹣2＝0． 故选：B． 7．（5分）已知点F1，F2分别是椭圆+＝1的左、右焦点，点P在此椭圆上，∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积等于（　　） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，求出a、b的值，由椭圆的几何性质可得c的值，则有|F1F2|＝2c，由椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|＝2a，结合余弦定理计算可得|MF1||MF2|的值，由余弦定理分析可得答案． 【解答】解：由椭圆+＝1可得：a2＝25，b2＝9，∴c2＝a2﹣b2＝16． 即|F1F2|＝2c＝8， 若P在此椭圆上，且∠F1PF2＝60°， 则|PF1|+|PF2|＝2a＝10， cos∠F1PF2＝＝＝， 解可得|PF1||PF2|＝12， 则△MF1F2的面积S＝|PF1||PF2|sin60°＝3， 故选：B． 8．（5分）点P（1，0），点Q是圆x2+y2＝4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相关点法，即可求解． 【解答】解：设点M的坐标为M（x，y）， ∵P（1，0），线段PQ的中点为M， ∴Q（2x﹣1，2y）， 又点Q在圆x2+y2＝4上， ∴（2x﹣1）2+（2y）2＝4， 即． 故选：A． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.多选或错选不得分，漏选得2分. （多选）9．（5分）下列说法正确的是（　　） A．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第三象限 B．直线y＝ax﹣3a+2过定点（3，2） C．过点（2，﹣1）且斜率为的直线的点斜式方程为 D．过点A（1，2）在两坐标轴上的截距相等的直线方程是x+y﹣3＝0 【答案】BC 【分析】根据直线以及直线方程的相关知识可逐一判断． 【解答】解：对于A，若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则点（k，b）在第二象限，故A错误； 对于B，直线y＝ax﹣3a+2过定点（3，2），故B正确； 对于C，过点（2，﹣1）且斜率为的直线的点斜式方程为，故C正确； 对于D，过点A（1，2）在两坐标轴上的截距相等的直线方程是x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误． 故选：BC． （多选）10．（5分）已知向量，，，则下列命题中，正确的是（　　） A．向量与的夹角为 B．以，为邻边的平行四边形的面积是 C．若，则，之间的夹角为锐角 D．若，则，之间的夹角为锐角 【答案】BD 【分析】根据题意，由数量积的计算公式依次分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，||＝＝，||＝＝，•＝﹣2+3+6＝7， 则cos＜，＞＝＝，故＜，＞＝，A错误； 对于B，由A的结论，＜，＞＝， 则以，为邻边的平行四边形的面积S＝2×（||||sin＜，＞）＝××sin＝7，B正确； 对于C，当x＝﹣3时，＝（2，1，﹣3）＝﹣（﹣2，﹣1，3），、反向，其夹角不是锐角，C错误； 对于D，若，则•＝﹣4﹣1+3x＝3x﹣5＞0，同时、方向不会相同，故其夹角为锐角，D正确． 故选：BD． （多选）11．（5分）已知圆C：x2+y2＝4，则（　　） A．圆C与直线mx+y﹣m﹣1＝0必有两个交点 B．圆C上存在4个点到直线l：x﹣y+＝0的距离都等于1 C．圆C与圆x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝16 D．动点P在直线x+2y﹣4＝0上，过点P向圆C引两条切线，A、B为切点，直线AB经过定点（1，2） 【答案】ACD 【分析】对于A，找出直线mx+y﹣m﹣1＝0所过的定点，即可判断；对于B，计算圆x2+y2＝4的圆心到直线l的距离，再与半径比较，即可判断；对于C，由两圆有三条公切线，知两圆外切，再根据圆心距等于两圆的半径之和，即可得解；对于D，设点P（m，n），则m+2n﹣4＝0①，写出以OP为直径的圆的方程，并求出两圆的公共弦所在直线的方程mx+ny＝4②，联立①②，消去m，可得y＝2x，从而得解． 【解答】解：对于A，将直线mx+y﹣m﹣1＝0整理得（x﹣1）m+y﹣1＝0， 由，知x＝1，y＝1， 所以直线mx+y﹣m﹣1＝0过定点（1，1），而该定点在圆内，故选项A正确； 对于B，圆x2+y2＝4的圆心到直线的距离为，所以只有三个点满足题意，故选项B错误； 对于C，将圆x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0化成标准形式为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25﹣m， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切， 所以，解得m＝16，即选项C正确； 对于D，连接OP，OA，OB，设点P（m，n），则m+2n﹣4＝0， 因为A，B为切点，所以OA⊥PA，OB⊥PB， 所以A，B两点在以OP为直径的圆上， 而以OP为直径的圆的方程为，即x2+y2﹣mx﹣ny＝0， 将该方程与x2+y2＝4相减可得，两圆公共弦AB所在直线方程为mx+ny＝4， 联立，消去m，得4（x﹣1）+n（y﹣2x）＝0， 令x＝1，则y＝2，即直线AB经过定点（1，2），故选项D正确． 故选：ACD． （多选）12．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，B1C1的中点，以下说法正确的是（　　） A．A1C⊥平面EFG B．C到平面EFG的距离为 C．过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是 D．平面EGF与平面BCC1B1夹角余弦值为 【答案】ABD 【分析】本题利用空间向量求出法向量，再利用法向量求出夹角，再求出距离和面积即可． 【解答】解：以D为原点，DA，DC，DD，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 因为正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2， E，F，G分别为AD，AB，B1C1的中点， 则 A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）， D（0，0，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2）， C1（0，2，2），D1（0，0，2），E（1，0，0），F（2，1，0），G（1，2，2）， 因为， ， 所以A1C⊥EF，A1C⊥FG，EF，FG在平面EFG 上，EF∩FG＝F， 所以A1C⊥平面EFG，故A正确； 设平面EFG的法向量为，因为 所以 令x＝1，则y＝﹣1，故z＝1， 所以平面EFG的一个法向量为， 则点C到平面EFG的距离为， 所以点C到平面EFG的距离为，故B选项正确； 因为DC⊥平面BCC1B1，则 是平面BCC1B1的一个法向量， 因为平面EGF 的一个法向量为， 设平面EGF和平面BCC1B1 的夹角为θ，则θ为锐角， 所以，故D选项正确； 对于C选项，取BB1的中点H，C1D1的中点J，DD1的中点I，连接EI，IJ，JG， GH，HF，如图所示， 因此EF∥JG，GH∥EI，IJ∥FH， ， 且正六边形EFHGJ是过点E，F，G作正方体的截面， 所以其面积为： ，故C选项错误． 故选ABD． 三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）若焦点在y轴上的椭圆的离心率为，则m的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合离心率公式，即可求解． 【解答】解：椭圆的焦点在y轴上， 则a2＝1，b2＝m，c2＝1﹣m， 故，解得m＝． 故答案为：． 14．（5分）直线l1：mx+2y﹣3＝0与直线l2：3x+（m﹣1）y+m﹣6＝0平行，则m＝　﹣2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用两直线平行：斜率相等，纵截距不等即可求出结果． 【解答】解：由l1：mx+2y﹣3＝0，得到， 因为l1∥l2，所以m﹣1≠0，由3x+（m﹣1）y+m﹣6＝0，得到 所以，即，解得m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 15．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣8＝0，点P是圆C上一动点，则点P到直线5x+12y+8＝0的距离的最大值为 　4　． 【答案】4． 【分析】求出圆心C到直线l的距离，结合圆的几何性质可求得点P到直线l距离的最大值． 【解答】解：由题圆C：x2+y2﹣2x﹣8＝0，可得，圆心C（1，0），半径r＝3， 圆心C（1，0）到直线5x+12y+8＝0的距离等于＝1，所以点P到直线的距离的最大值为3+1＝4． 故答案为：4． 16．（5分）平面n的法向量是，点A（﹣1，3，0）在平面α内，则点P（﹣2，1，4）到平面α的距离 　　． 【答案】． 【分析】利用点到平面的距离的向量公式求解． 【解答】解：， 则点P到平面α的距离． 故答案为：． 四、解答题：本题共6大题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分. 17．（10分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）． （1）求的值； （2）若，且分别与，垂直，求的坐标． 【答案】（1）7； （2）（1，1，1）或（﹣1，﹣1，﹣1）． 【分析】（1）根据题意，求出2+的坐标，进而计算可得答案； （2）根据题意，设＝（x，y，z），分析可得，解可得x、y、z的值，即可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）， 则＝（﹣2，﹣1，3），＝（1，﹣3，2）， 则有2+＝（﹣4，﹣2，6）+（1，﹣3，2）＝（﹣3，﹣5，8）； 故|2+|＝＝7； （2）根据题意，设＝（x，y，z）， 而＝（﹣2，﹣1，3），＝（1，﹣3，2），， 则有，解可得或， 故＝（1，1，1）或（﹣1，﹣1，﹣1）． 18．（12分）已知△ABC的三个顶点是A（﹣2，1），B（0，﹣3）C（3，4）． （1）求直线AB的方程以及△ABC的面积S； （2）若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程． 【答案】（1）2x+y+3＝0，13； （2）2x+y﹣10＝0或5x﹣4y+1＝0． 【分析】（1）先求出直线AB的方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解； （2）由题意可知，直线l与AB平行或通过AB的中点，再分类讨论，即可求解． 【解答】解：（1）A（﹣2，1），B（0，﹣3）， ， 故直线AB的方程为y＝﹣2x﹣3，即2x+y+3＝0， ， 点C到直线AB的距离为， 所以△ABC的面积S为； （2）因为点A，B到直线l的距离相等，所以直线l与AB平行或通过AB的中点， ①当直线l与AB平行，所以kl＝，所以l：2x+y﹣10＝0． ②当直线l通过AB的中点D（﹣1，﹣1）， 所以，所以l：，即5x﹣4y+1＝0， 综上：直线l的方程为2x+y﹣10＝0或5x﹣4y+1＝0． 19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点． （1）求证：AM⊥平面PCD； （2）求平面BPD与平面PCD夹角的余弦值． 【答案】（1）证明过程见解答；（2）． 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得CD⊥平面PAD，进而得到CD⊥AM，利用正三角形的性质可知AM⊥PD，再由线面垂直的判定得证； （2）建立空间直角坐标系，求得平面BPD与平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式得解． 【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD， 又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD， 所以CD⊥平面PAD， 又AM⊂平面PAD， 所以CD⊥AM， 因为是正三角形，M是PD的中点， 所以AM⊥PD， 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， 所以AM⊥平面PCD； （2）取AD中点为O，BC中点为N，连接OP，ON，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD＝2，则A（0，﹣1，0），D（0，1，0），P（0，0，），B（2，﹣1，0），M（0，，）， 所以，， 设平面PBD的法向量为＝（x，y，z）， 则，可取 ， 由（1）知 是平面PCD的一个法向量，， 则， 由图象可知，平面BPD与平面PCD所成二面角的平面角为锐角， 则平面BPD与平面PCD所成二面角的余弦值为． 20．（12分）已知椭圆C过点（0，），椭圆上的点到焦点的最小距离是． （1）求椭圆C的方程； （2）倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，已知，求直线l的一般式方程． 【答案】（1）； （2）x﹣y﹣1＝0或x﹣y+1＝0． 【分析】（1）根据题意，得到，且求得a、b的值，即可求解； （2）设/的方程y＝x+m，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，根据题意，列出方程，求得m＝±1，即可求解． 【解答】解：（1）由椭圆C的离心率为， 即，可得， 由椭圆上的点到焦点的最小距离是，可得， 解得，c＝1，， 所以椭圆的方程为； （2）因为直线l的倾斜角为45°，可设l的方程y＝x+m， 由方程组，整理得5x2+6mx+3m2﹣6＝0， 可得Δ＝36m2﹣4×5（3m2﹣6）＝24（5﹣m2）＞0，解得， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，， 又由， 解得m＝±1，满足△＞0， 所以直线l的一般式方程为x﹣y﹣1＝0或x﹣y+1＝0． 21．（12分）已知圆，圆C2的圆心在直线y＝x上，且经过A（0，﹣1），B（﹣1，﹣2）两点． （1）求圆C2的方程． （2）求经过两圆的交点的圆中面积最小的圆的方程． 【答案】（1）x2+y2+2x+2y+1＝0． （2）（x+1）2+（y+1）2＝1． 【分析】（1）设出圆的一般方程，求出圆的圆心，列出方程组求解即可． （2）求出公共弦的方程，求解圆的圆心与半径，即可得到所求圆的方程． 【解答】解：（1）设圆C2的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，圆心坐标， 依题意有：∴， ∴圆C2的方程为：x2+y2+2x+2y+1＝0． （2）由圆，圆C2的方程为：x2+y2+2x+2y+1＝0． 两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为：x﹣y＝0， 圆，圆心C1（﹣2，0）， 圆，C2（﹣1，﹣1）， 则以两圆连心线所在直线的方程为，即x+y+2＝0， 过两圆的交点的圆中面积最小的圆也就是以公共弦为直径的圆， 由， 得所求圆的圆心为（﹣1，﹣1）， 又圆心C1（﹣2，0）到公共弦所在直线x﹣y＝0的距离为， ∴所求圆的半径， ∴所求圆的方程为（x+1）2+（y+1）2＝1． 22．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，．以直线AB为轴，将直角梯形ABCD旋转得到直角梯形ABEF，且AF⊥AD． （1）求证：DF∥平面BCE； （2）在线段DF上是否存在点P，使得直线AF和平面BCP所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）存在，，理由见解析． 【分析】（1）证明出四边形CDFE为平行四边形，得到DF∥CE，从而得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设出，利用线面角的正弦值列出方程，求出答案． 【解答】解：（1）证明：将直角梯形ABCD绕着AB旋转得到直角梯形ABEF， 故CD＝EF且CD∥EF， 故四边形CDFE为平行四边形， 所以DF∥CE， 又CE⊂平面BCE，DF⊄平面BCE，所以DF∥平面BCE； （2）因为AF⊥AD，∠DAB＝90°，∠FAB＝90°， 所以AD，AB，AF两两垂直， 故以A为坐标原点，以AD，AB，AF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为，设AD＝1， 则A（0，0，0），D（1，0，0），F（0，0，1），B（0，2，0），C（1，1，0）， 设，则，设P（a，0，b）， 则（a﹣1，0，b）＝m（﹣1，0，1），解得a＝1﹣m，b＝m，故P（1﹣m，0，m）， 当m＝0时，此时P与D重合，直线AF和平面BCD垂直， 不满足所成角的正弦值为，舍去； 当m≠0时，设平面BCP的法向量为， 则， 令x＝1，则，故， 设直线AF和平面BCP所成角的正弦值为θ， 则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝＝， 解得：或（舍去）， 综上，在线段DF上存在点P，使得直线AF和平面BCP所成角的正弦值为， 此时． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/9 10:54:04；用户：甘炎华；邮箱：15876282033；学号：49651929 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$