江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

江西师大附中高二年级数学期中考试卷 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线互相垂直，则（ ） A. 1 B. C. 或3 D. 或1 2. 已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 点，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6. 若实数满足，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 8. 从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为，内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在娒小疑给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若曲线表示两条直线，则或 B. 若曲线表示圆，则 C. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D. 若曲线表示双曲线，则 10. 已知圆，则（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为8 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为____________. 13. 已知为椭圆上的左右顶点，设点为椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为，若椭圆离心率为，则为______． 14. 如图，在棱长为3的正方体中，在正方形及其内部上运动，若，则点的轨迹的长度为__________. 四､解答题､本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分､解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆． （1）若线段端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程； （2）若为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值． 16. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角. （1）求证：； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． （1）求椭圆和其“准圆”的方程； （2）若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 18. 已知为坐标原点，圆：，直线：（），如图，直线与圆相交于（在轴的上方），两点，圆与轴交于两点（在的左侧），将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴正半轴，原轴正半轴所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． （1）若． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求二面角的余弦值． （2）是否存在，使得折叠后的长度与折叠前的长度之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）： 步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕. 现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设轨迹与轴从左到右的交点为点，，点为轨迹上异于，，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线、的斜率分别为、. （i）求证：为定值； （ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标. 江西师大附中高二年级数学期中考试卷 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在娒小疑给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】3 【13题答案】 【答案】##-0.25 【14题答案】 【答案】 四､解答题､本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分､解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）5 【16题答案】 【答案】（1）证明如下： 由题意知平面平面， 又平面平面，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又因为，，平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. （2）. 【17题答案】 【答案】（1）椭圆的方程为，其“准圆”方程为； （2）. 【18题答案】 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）存在， 【19题答案】 【答案】（1） （2） （i）设，，， 由题可知，如下图所示： 则，， 而，于是， 所以， 又，则， 因此为定值. （ii）设直线的方程为，，， 由，得， 所以. 由（i）可知，， 即， 化简得，解得或（舍去）， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $