专题05 一元一次方程（中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

专题05 一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的应用——古代问题 【解惑】我国古代《九章算术》中有一个数学问题，其大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则依题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，在一个的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方、在金庸先生的武侠著作《射雕英雄传》中的女主角黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九服一，左七右三，五居中央”，如图①就是这个幻方，图②是一个未完成的幻方，请你类比图①推算出图②a处所对应的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，牛主较羊主多处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿 斗． 3．《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？ 类型二、一元一次方程的应用——日历问题 【解惑】如图，表中给出的是某月的月历，任意选取某“H”型框中的7个数（表中阴影部分仅作“H”型框的例）．请你运用所学的数学知识分析任取的这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．98 C．126 D．161 【融会贯通】 1．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“凹”型框中的5个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，这5个数的和不可能是（    ） A．36 B．51 C．78 D．126 2．如图所示的是2022年2月份的月历，2022年2月1日恰逢春节，也是农历壬寅虎年的开始．月历中，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字之和为．若，则的最大值为 ． 3．如图是某月的月历． 用如图恰好能完全遮盖住月历表中的五个数字，设带阴影的“×”形中的5个数字的最小数为a． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)请用含a的代数式表示这5个数； (2)这五个数的和与“×”形中心的数有什么关系? (3)盖住的5个数字的和能为105 吗? 为什么? 类型三、一元一次方程的应用——数字问题 【解惑】幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现”．请将，，，，，，，，分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0，则的值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．三个连续的偶数的和是，其中最大的偶数是（   ） A． B． C． D． 2．一个数的小数点，向左移动一位，所得到的新数比原数少27，原数是 ． 3．有5个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数的和的多18，五个偶数的和是多少？ 类型四、一元一次方程的应用——比例分配问题 【解惑】程大位是我国珠算发明家，他完成杰作《直指算法统宗》是东方古代数学名著，在书中记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．某村原有林地115公顷、旱地65公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把公顷旱地改为林地，则可列方程（    ） A． B． C． D． 2．张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有( )元． 3．甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？（本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量）． 类型五、一元一次方程的应用——和差倍分问题 【解惑】某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有13位工人，乙施工队有27位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．某校合唱队的人数是60人，假设舞蹈队人数为x人，列出的方程是“”．问合唱队与舞蹈队的人数关系是（） A．合唱队的人数是舞蹈队人数的2倍还少4人 B．合唱队的人数是舞蹈队人数的2倍还多4人 C．舞蹈队的人数是合唱队人数的2倍还少4人 D．舞蹈队的人数是合唱队人数的2倍还多4人 2．有两根同样长度但粗细不同的蜡烛 ，粗蜡烛可燃，细蜡烛可燃．一次停电，同时点燃两根蜡烛，恢复供电后同时吹灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍，则停电的时间为 ． 3．我县某校七年级研学活动中，某班男生小明与班上同学一起到国防教育基地参观．如图是小明与妈妈的对话．请根据对话内容，求小明班上男生与女生的人数． 类型六、一元一次方程的应用——工程问题 【解惑】某车间原计划用13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件．设原计划每小时生产 x 个零件，则所列方程（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．整理一批图书，由一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排人工作，则列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一项工作，甲独做需天，乙独做需天，如果两人合做天后，余下的工作再由甲独做 天完成． 3．哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 类型七、一元一次方程的应用——行程问题 【解惑】如图，甲、乙两人沿着边长为的正方形，按…的方向行走．甲从点A出发，以的速度行走；同时，乙从点B出发，以的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（    ） A．边上 B．边上 C．点C处 D．点D处 【融会贯通】 1．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（    ）次 A．5 B．4 C．3 D．2 2．某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要，逆水航行需要，水流的速度是．两个码头之间的距离为 ． 3．环形跑道长，王明跑步每秒跑，爸爸骑车每秒行． (1)如果两人同时同地反向而行，经过几秒他们第一次相遇？ (2)如果两人同时同地同向而行，经过几秒他们第一次相遇？ 类型八、一元一次方程的应用——销售问题 【解惑】某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（   ） A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了60元 D．不赚不赔 【融会贯通】 1．一双鞋子，如果卖169元可赚；如果卖104元，就要亏（　　） A． B． C． D． 2．一件服装的标价为400元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是 元． 3．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为； 乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【一览众山小】 1．如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（   ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 2．某条公路的一侧原有电线杆103根（两端都有），相邻的2根相距．现计划把他们全部换成大型水泥电线杆，相邻的两根相距，则需要大型水泥电线杆（    ） A．67根 B．68根 C．69根 D．70根 3．已知4个连续的偶数a、b、c、d，满足，则这四个偶数是 ． 4．小彬是学校的篮球队长，在一场篮球比赛中，他一人得了25分，其中罚球得了5分，他投进的2分球比3分球多5个，则他本场比赛3分球进了 个． 5．小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？ 6．整理一批图书，甲、乙两人单独做分别需要6小时、9小时完成．现在先由甲单独做1小时，剩下的两人合作整理，还要用几小时完成？ 7．某超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价/（元/件） 售价/（元/件） (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品降价销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次乙商品的售价是多少？ 8．六六乘船由源头甲地顺流而下到乙地，马上又逆流而上到距甲地2千米的丙地，已知他共乘船3小时，船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时2千米，则甲乙两地相距千米． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的应用——古代问题 【解惑】我国古代《九章算术》中有一个数学问题，其大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则依题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设买鸡的人数为x人，则根据每人出9文钱，就多出11文钱可知鸡的价格为文，再根据每人出6文钱，就相差16文钱列出方程即可． 【详解】解：设买鸡的人数为x人， 由题意得，， 故选：B． 【融会贯通】 1．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，在一个的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方、在金庸先生的武侠著作《射雕英雄传》中的女主角黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九服一，左七右三，五居中央”，如图①就是这个幻方，图②是一个未完成的幻方，请你类比图①推算出图②a处所对应的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程应用，涉及有理数的加法，根据表格，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列方程是解题的关键．根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，列方程即可求出a的值，从而得到答案． 【详解】解：根据题意：， 解得：， 故选：B． 2．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，牛主较羊主多处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿 斗． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设羊的主人赔斗，则马的主人赔斗，牛的主人赔斗，根据题意，列出方程即可求解． 【详解】解：设羊的主人赔斗，则马的主人赔斗，牛的主人赔斗， 根据题意得：， 解得， 所以羊的主人赔斗，牛的主人赔（斗）， 所以牛主人比羊主人多赔偿（斗）． 故答案为：． 3．《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？ 【答案】84岁 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解． 【详解】解：设丢番图的年龄是x岁， 根据题意列方程得：， 解得：， 答：丢番图这一生的年龄是84岁． 类型二、一元一次方程的应用——日历问题 【解惑】如图，表中给出的是某月的月历，任意选取某“H”型框中的7个数（表中阴影部分仅作“H”型框的例）．请你运用所学的数学知识分析任取的这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．98 C．126 D．161 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设最中间的数为x，根据题意列出方程求解即可判断， 解题的关键是正确找出题中的等量关系． 【详解】设最中间的数为x， ∴这7个数分别为、、、x、、、， ∴这7个数的和为：， 当时，此时， 当时，此时， 当时，此时， 当时，此时， 由图可知，当时，右面没有数字， ∴时不符合题意， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“凹”型框中的5个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，这5个数的和不可能是（    ） A．36 B．51 C．78 D．126 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题关键是明确五个数的和的形式以及列出方程求解；本题先求出五个数的和为，再依次判断即可． 【详解】解：设“凹”型框中下面三个数的中间数为x，则其余数分别为， ∴这5个数的和为 A、令，则，不符合题意； B、令，则，不符合题意； C、令，则，不是整数，符合题意； D、令，则，不符合题意； 故选：C ． 2．如图所示的是2022年2月份的月历，2022年2月1日恰逢春节，也是农历壬寅虎年的开始．月历中，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字之和为．若，则的最大值为 ． 【答案】24 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解日历中的数字变化规律，理解的值随着a的增大而减小是解题关键． 设“U”型阴影覆盖的最小数字为a，则其它的数字分别是、、、，设“十字型”阴影覆盖的中间的数字为b，则其它数字分别为、、、，然后根据，列出方程求得a与b的等量关系，代入中分析最值． 【详解】解：设“U”型阴影覆盖的最小数字为a，则其它的数字分别是、、、， ∴， 设“十字型”阴影覆盖的中间的数字为b，则其它数字分别为、、、， ∴， ∵， ∴， 整理可得：，即， ∴ ∵， ∴的值随着a的增大而减小， 又∵， ∴在符合题意的情况下，当b最大时，有最大值，当时， ∴此时有最大值为， 故答案为：24． 3．如图是某月的月历． 用如图恰好能完全遮盖住月历表中的五个数字，设带阴影的“×”形中的5个数字的最小数为a． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)请用含a的代数式表示这5个数； (2)这五个数的和与“×”形中心的数有什么关系? (3)盖住的5个数字的和能为105 吗? 为什么? 【答案】(1) (2)这五个数的和是“×”形中心的数的5倍 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查列代数式，整式加法的应用，一元一次方程的应用．理解题意，正确用a表示出被盖住的5个数是解题关键． （1）设带阴影的“×”形中的5个数字的最小数为a，根据日历中同一横行左右相邻的数相差1，同一竖列上下相邻的数相差7，即可用含a的代数式表示另外4个数； （2）将（1）中5个数相加即可得出结论； （3）根据的规律得出关于a的一元一次方程，解之得出a的值，进而得出结论． 【详解】（1）解：设带阴影的“×”形中的5个数字的最小数为a，则另外4个数分别为， 故这5个数是； （2）解：∵， ∴这五个数的和是“×”形中心的数的5倍； （3）解：结合（2）可知， 解得：， 故盖住的5个数字的和能为105，且此时另外四个数分别为15，21，27，29． 类型三、一元一次方程的应用——数字问题 【解惑】幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现”．请将，，，，，，，，分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，代数式求值．设如图所示的幻方中右边的方格中的数为，根据“同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0”可得，，，求出和的值，然后代入即可求出的值． 【详解】解：设如图所示的幻方中右边的方格中的数为， ∵同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0， ∴，解得：， 又∵，将代入得：， 又∵，将代入得：， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．三个连续的偶数的和是，其中最大的偶数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，先设最大的偶数，再根据三个连续的偶数的和是，即可列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设最大的偶数为x，则另为两个偶数为， 由题意可得：， 解得， 故选C． 2．一个数的小数点，向左移动一位，所得到的新数比原数少27，原数是 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设原数是x，则向左移动一位后为，根据向左移动一位，所得到的新数比原数少27列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设原数是x，则向左移动一位后为， 根据题意有：， 解得：， 则原数是30， 故答案为：30． 3．有5个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数的和的多18，五个偶数的和是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设最小的那个偶数是，则其他四个偶数分别为，根据第三个数比第一个数与第五个数的和的多18列出方程求解即可． 【详解】解：设最小的那个偶数是，则其他四个偶数分别为， 由题意得，， 解得， 所以这五个偶数分别为， 所以这五个偶数的和为， 答：这五个偶数的和为． 类型四、一元一次方程的应用——比例分配问题 【解惑】程大位是我国珠算发明家，他完成杰作《直指算法统宗》是东方古代数学名著，在书中记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程． 根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数，依此列出方程即可． 【详解】解：设大和尚有x人，则小和尚有人，根据题意得：， 故选：C． 【融会贯通】 1．某村原有林地115公顷、旱地65公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把公顷旱地改为林地，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设把x公顷旱地改为林地，根据旱地面积占林地面积的20%列出方程即可． 【详解】解：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是设出未知数以以改造后的旱地与林地的关系为等量关系列出方程． 2．张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有( )元． 【答案】28 【分析】本题考查了方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设一支钢笔的价格为元，根据题意建立方程，解方程求出的值，由此即可得． 【详解】解：设一支钢笔的价格为元， 则， 解得， 所以张自己的钱数为（元），李自己的钱数为（元）， 所以张和李剩下的钱共有（元）， 故答案为：28． 3．甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？（本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量）． 【答案】甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为153本． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设甲捐书 本，则乙捐书 本，丙捐书为本，根据他们共捐374本，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为本， ∵他们共捐了374本， ∴， 解得， ∴，，， 答：甲捐书85本，乙捐书136本，丙捐书为153本．． 类型五、一元一次方程的应用——和差倍分问题 【解惑】某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有13位工人，乙施工队有27位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据两队原有人数及借调人数，可得出借调后甲施工队有位工人，乙施工队有位工人，结合借调后甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵要从乙施工队借调x名工人到甲施工队， ∴借调后甲施工队有位工人，乙施工队有位工人． 根据题意得：． 故选：B． 【融会贯通】 1．某校合唱队的人数是60人，假设舞蹈队人数为x人，列出的方程是“”．问合唱队与舞蹈队的人数关系是（） A．合唱队的人数是舞蹈队人数的2倍还少4人 B．合唱队的人数是舞蹈队人数的2倍还多4人 C．舞蹈队的人数是合唱队人数的2倍还少4人 D．舞蹈队的人数是合唱队人数的2倍还多4人 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，关键是弄清方程所表示的数量关系等式，再根据数量表示的意义解答．因为合唱队的人数是60人，假设舞蹈队人数为人，列出的方程是，即舞蹈队的人数合唱队的人数，据此解答． 【详解】解：因为， 即舞蹈队的人数合唱队的人数， 所以合唱队的人数是舞蹈队人数的2倍还少4人， 故选：A 2．有两根同样长度但粗细不同的蜡烛 ，粗蜡烛可燃，细蜡烛可燃．一次停电，同时点燃两根蜡烛，恢复供电后同时吹灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍，则停电的时间为 ． 【答案】2.4// 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设停电x小时，把蜡烛长度看成1，根据粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍为等量关系列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解∶设停电x小时， 由题意得：， 解得：， 则停电的时间为2.4小时． 故答案为：2.4. 3．我县某校七年级研学活动中，某班男生小明与班上同学一起到国防教育基地参观．如图是小明与妈妈的对话．请根据对话内容，求小明班上男生与女生的人数． 【答案】小明班上男生有人，女生有人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．分析题意找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设小明班上参观国防教育基地的女生人数为x人，则男生人数=女生人数人，根据“男生人数十女生人数=”列出方程并解答． 【详解】解：设女生人数为x． 由题意，得， 所以． 男生人数为． 故答案为：小明班上男生有人，女生有人． 类型六、一元一次方程的应用——工程问题 【解惑】某车间原计划用13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件．设原计划每小时生产 x 个零件，则所列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．熟练掌握工作总量与单位时间的工作量和时间的关系列式，列方程，是解题的关键． 根据“每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件．”列出方程，解出即可求解． 【详解】设原计划每小时生产 x 个零件，实际生产每小时生产 个零件， 12小时的零件数量是件， 原计划13小时生产的零件数量是件， 由此得到方程 ， 故答案为：B． 【融会贯通】 1．整理一批图书，由一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排人工作，则列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，准确理解题意是解题的关键．根据题中等量关系列出方程即可． 【详解】解：设应先安排人工作， 根据题意得：一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，工作量为，再增加人和他们一起做小时的工作量为， 故可列式， 故选：B． 2．一项工作，甲独做需天，乙独做需天，如果两人合做天后，余下的工作再由甲独做 天完成． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题目中的相等关系．设余下的工作再由甲独做天完成，把这项工作看作“”，则甲的效率为，乙的效率为，最后根据甲乙合作的量余下的量工作总量，列方程即可求解． 【详解】解：设余下的工作再由甲独做天完成，则甲的效率为，乙的效率为， 根据题意得：， 解得：， 即余下的工作再由甲独做天完成， 故答案为：． 3．哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 【答案】(1)天 (2)元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）根据甲车队每天的租金元，比乙车队少元，计算求解即可； 【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾． （2）解：乙队一共工作了天，甲队一共工作了天， ， 答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元． 类型七、一元一次方程的应用——行程问题 【解惑】如图，甲、乙两人沿着边长为的正方形，按…的方向行走．甲从点A出发，以的速度行走；同时，乙从点B出发，以的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（    ） A．边上 B．边上 C．点C处 D．点D处 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设乙行走后第一次追上甲，则甲行走的路程为，乙行走的路程为，乙追上甲时，乙比甲多走，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设乙行走后第一次追上甲，则甲行走的路程为，乙行走的路程为． 当乙第一次追上甲时，， 解得． ∴此时乙行走的路程为 ∵， ∴当乙第一次追上甲时，共走了3圈多90米，即在正方形的点C处乙第一次追上甲， 故选；C． 【融会贯通】 1．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（    ）次 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为t小时，相距要从相遇前和相遇后；追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计5种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【详解】解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得： 当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有： 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时， ， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶， ∵ ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： ， 解得； ④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有， 解得； ⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了，距终点还需 行驶，则有： 解得． 综上所述，两车恰好相距的次数为5次． 故选：A． 2．某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要，逆水航行需要，水流的速度是．两个码头之间的距离为 ． 【答案】48 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程．设轮船在静水中的速度是，根据码头之间的距离不变列方程即可解得答案． 【详解】解：设静水中轮船的速度为．根据题意， 得， 解得， 则， 故答案为：． 3．环形跑道长，王明跑步每秒跑，爸爸骑车每秒行． (1)如果两人同时同地反向而行，经过几秒他们第一次相遇？ (2)如果两人同时同地同向而行，经过几秒他们第一次相遇？ 【答案】(1)经过他们第一次相遇 (2)经过他们第一次相遇 【分析】本题考查一元一次方程应用题-环形跑道问题，解题的关键是掌握环形跑道问题的等量关系，同时注意审题，相遇问题要找路程和，追及问题要找路程差． （1）设经过x秒，两人第一次相遇，根据两人行走的总路程米，可以列出方程，解方程即可； （2）设经过y秒，两人第一次相遇，根据爸爸比王明多走400米，可以列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设经过x秒，甲乙两人第一次相遇， 依据题意得：， 解得： 答：经过40秒两人第一次相遇； （2）解：设经过y秒，两人第一次相遇， 依据题意得：， 解得：， 答：经过200秒两人第一次次相遇． 类型八、一元一次方程的应用——销售问题 【解惑】某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（   ） A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了60元 D．不赚不赔 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设赚了的商品进价为元，赔了的商品进价为元，根据卖价都是480元分别列方程求出进价，即可得到答案． 【详解】解：设赚了的商品进价为元， 则，解得（元）； 设赔了的商品进价为元， 则，解得， ∴（元）， 即这次买卖过程中，商人赔了40元． 故选：B． 【融会贯通】 1．一双鞋子，如果卖169元可赚；如果卖104元，就要亏（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该鞋子的成本为x元，利用利润=售价-进价，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设该鞋子的成本为x元， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴如果卖104元，就要亏． 故选：A． 2．一件服装的标价为400元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是 元． 【答案】260 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．设该件服装的成本价是x元．根据“利润标价折扣进价”即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：设该件服装的成本价是x元， 依题意得：， 解得：． ∴该件服装的成本价是260元． 故答案为260． 3．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为； 乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)， (2)购进甲种商品件． (3)小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件． 【分析】本题主要考查一元一次方程与实际问题： （1）根据利润率的定义求解即可． （2）设购进甲商品件，根据题意可得． （3）设打折前应付款为元，购进甲商品时，分两种情况：当时，得，当时，得；同理，购进乙商品时，分三种情况． 【详解】（1）(元) 故答案为：，． （2）设购进甲商品件． 根据题意可得 ． 解得 ． 答：购进甲种商品件． （3）设打折前应付款为元． 第一天，购买甲商品： 当时，由，得，商品件数为(件)，舍去．   当时，由，得，商品件数为(件) ．   第二天，购买乙商品： 当时，由，得(元)，舍去． 当时，由，得，商品件数为(件) ．   当时，商品件数为(件) ，舍去． 两天一共购买的商品件数为(件) ． 答：小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件． 【一览众山小】 1．如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（   ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意是解题关键．这八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．再列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，如图． 因为横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，且这八个数分别为，2，，4，，6，，8， 又因为， 所以横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都为， 所以，，， 所以，，． 所以当时，，此时； 当时，，此时． 综上可知的值为或． 故选A． 2．某条公路的一侧原有电线杆103根（两端都有），相邻的2根相距．现计划把他们全部换成大型水泥电线杆，相邻的两根相距，则需要大型水泥电线杆（    ） A．67根 B．68根 C．69根 D．70根 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设需要大型水泥电线杆x根，原有电线杆103根（两端都有），相邻的2根相距，则这条公路的一侧长为，再根据两根大型水泥电线杆相距以及一共有个间隔建立方程求解即可． 【详解】解：设需要大型水泥电线杆x根． 根据题意，得， 解得， ∴需要大型水泥电线杆69根， 故选：C． 3．已知4个连续的偶数a、b、c、d，满足，则这四个偶数是 ． 【答案】100，102，104，106 【分析】本题主要考查了列一元一次方程的应用；解题的关键是准确表示出这四个数，正确列出方程来解答．首先用字母m来表示出这四个数，然后根据等式，列出方程求解即可解决问题． 【详解】解：、b、c、d是4个连续的偶数， 设最后一个数是， ， ， ， ， ， 故答案为：100，102，104，106． 4．小彬是学校的篮球队长，在一场篮球比赛中，他一人得了25分，其中罚球得了5分，他投进的2分球比3分球多5个，则他本场比赛3分球进了 个． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后用含的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．设他本场比赛3分球进了个，则2分球进了个，利用得分的和为25列方程，得到，然后解方程即可． 【详解】解：设他本场比赛3分球进了个， 根据题意得， 解得． 故他本场比赛3分球进了2个． 故答案为：2． 5．小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（销售盈亏），准确理解题意，列出方程并求解是解题的关键． 设至少生产个产品，则营业额为元，成本就是元，利润为元，然后根据关系式：营业额成本利润，列方程求解即可． 【详解】解：设至少生产个产品，由题意可得： ， 即：， 解得：， 答：至少要生产个产品． 6．整理一批图书，甲、乙两人单独做分别需要6小时、9小时完成．现在先由甲单独做1小时，剩下的两人合作整理，还要用几小时完成？ 【答案】他们合作整理这批图书的时间是3h． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，掌握工程问题的解法是解题的关键． 设他们合作整理这批图书的时间是，根据总工作量为单位“1”，列方程求出x的值即可得出答案． 【详解】解：设他们合作整理这批图书的时间是x h，根据题意得： 解得：， 答：他们合作整理这批图书的时间是． 7．某超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价/（元/件） 售价/（元/件） (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品降价销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次乙商品的售价是多少？ 【答案】(1)购进甲商品件，购进乙商品件 (2)第二次乙商品的售价为元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，商品的打折销售问题，掌握利用一元一次方程解决商品的打折销售问题是解题的关键． （1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，利用第一次购进甲、乙两种商品的总价为元，可得，再解方程可得结论； （2）设第二次购进乙种商品是按原价打y折销售，可得：，解方程后可得答案． 【详解】（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品件， ， 解得：， ∴， ∴购进甲商品件，购进乙商品件． （2）第二次购进甲商品件， 第二次购进乙商品（件）， 第一次利润为（元） 设第二次乙商品售价为y元， ， 解得： 第二次乙商品的售价为元． 8．六六乘船由源头甲地顺流而下到乙地，马上又逆流而上到距甲地2千米的丙地，已知他共乘船3小时，船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时2千米，则甲乙两地相距千米． 【答案】10或12.5千米 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意，找到合适的等量关系式是解题的关键．分丙地位于甲、乙中间时及甲地位于乙、丙中间时，两种情况讨论，设甲、乙两地的距离为千米，根据“他共乘船3小时”列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：当乙、丙间的距离小于甲、乙间的距离，即丙地位于甲、乙中间时， 设甲、乙两地的距离为千米， 因为船在静水中的速度为每小时8千米，水流速度为每小时2千米， 所以船顺流而下的速度为（千米/时），船逆流而上的速度为（千米/时）， 根据题意，得 解得：， 所以甲、乙两地的距离为12.5千米； 当乙、丙间的距离大于甲、乙间的距离，即甲地位于乙、丙中间时， 根据题意，得 解得： 所以甲、乙两地的距离为10千米； 综上所述，甲、乙两地的距离为10千米或12.5千米． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$