立体图形的位置关系专题训练-2025届高三数学一轮复习

立体图形的位置关系专题训练-2025年高三数学上学期一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024•泰安模拟）下列命题中，正确的是（　　） A．三点确定一个平面 B．垂直于同一直线的两条直线平行 C．若直线l与平面α上的无数条直线都垂直，则l⊥α D．若a、b、c是三条直线，a∥b且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上 2．（2024•五华区校级模拟）已知α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是（　　） A．若α∩β＝l，A∈α且A∈β，则A∈l B．若A，B，C是平面α内不共线三点，A∈β，B∈β，则C∉β C．若直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b为异面直线 D．若A，B是两个不同的点，A∈α且B∈α，则直线AB⊂α 3．（2024•天府新区模拟）在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•松江区校级模拟）已知α、β、γ是三个不同的平面，l、m、n是三条不同的直线，则（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，α∥β，则m∥n C．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m D．若α∩β＝l，且m∥l，则m∥α 5．（2024•六合区校级二模）设α，β，γ是三个不同平面，且α∩γ＝l，β∩γ＝m，则“l∥m”是“α∥β”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024•榆林三模）设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下面为真命题的是（　　） A．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b B．对于空间中的直线l，若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α C．若直线a上存在两点到平面α的距离相等，则a∥α D．若a∥α，a⊥β，则α⊥β 7．（2024•杨浦区校级三模）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　） A．若a∥α，b⊆α，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a⊆α，b⊆β，a∥b，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b 8．（2024•菏泽二模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D∩AD1＝E，CD1∩C1D＝F，则下列结论中正确的是（　　） A．BB1∥平面ACD1 B．平面BDC1⊥平面ACD1 C．EF⊥平面BDD1B1 D．平面ABB1A1内存在与EF平行的直线 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•宿迁模拟）设直线m与平面α相交但不垂直，则下列命题为真命题的有（　　） A．平面α内有无数条直线与直线m垂直 B．过直线m有无数个平面与α垂直 C．与直线m垂直的直线可能与平面α平行 D．与直线m平行的平面可能与平面α垂直 （多选）10．（2024•新乡三模）已知m，n，l为空间中三条不同的直线，α，β，γ为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（　　） A．若α∩β＝m，m⊥γ，则α⊥γ，β⊥γ B．若m⊂α，n⊄α，则m与n为异面直线 C．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，且l∩m＝P，则P∈n D．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ （多选）11．（2024•吉首市模拟）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的有（　　） A．平面PB1D⊥平面ACD1 B．A1P∥平面ACD1 C．异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是（0，] D．三棱锥D1﹣APC的体积不变 三．填空题（共3小题） 12．（2023•海淀区校级模拟）如图，在直角梯形ABCD中，E为CD的中点，BC⊥CD，AE⊥CD，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，使点D不在平面ABCE内，则下命题中正确的序号为 　 　． ①MN∥AB； ②MN⊥AE； ③MN∥平面CDE； ④存在某折起位置，使得平面BCD⊥平面ABD． 13．（2023•兴庆区校级二模）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，异面直线AB与CD的夹角为 　 　． 14．（2023•惠州模拟）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足　 　时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 四．解答题（共5小题） 15．（2024•古蔺县校级模拟）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AB＝AE＝2DF，AE∥DF． （1）证明：平面AEC⊥平面CEF； （2）求平面ABE与平面CEF夹角的余弦值． 16．（2024•简阳市校级模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA＝PC，PB⊥AC． （1）证明：四边形ABCD为菱形； （2）E为棱PB上一点（不与P，B重合），证明：AE不可能与平面PCD平行． 17．（2024•莲湖区校级三模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2，BC＝3． （1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积； （2）求证：AB1∥平面BC1D． 18．（2024•盐城校级三模）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1C1，A1B1的中点，求证： （1）B1C1∥平面A1EF； （2）平面A1EF∥平面BCGH． 19．（2024•西藏模拟）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝4，AB＝2，E为棱DD1上一点（含端点），且DE＝λDD1． （1）证明：AC⊥B1E； （2）当时，证明：B1E⊥平面ACE； （3）设几何体B1ACE的体积为V，若V∈（3，5），求λ的取值范围． 立体图形的位置关系专题训练-2025年高三数学上学期一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•泰安模拟）下列命题中，正确的是（　　） A．三点确定一个平面 B．垂直于同一直线的两条直线平行 C．若直线l与平面α上的无数条直线都垂直，则l⊥α D．若a、b、c是三条直线，a∥b且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上 【解答】解：对于A：不共线的三点确定一个平面，故A错误， 对于B：由墙角模型可知，两条直线可能是相交直线，也可能是异面直线，显然B错误， 对于C：根据线面垂直的判定定理，若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l与平面α垂直，若直线l与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l与平面α不垂直，故C错误， 对于D：因为a∥b，所以a与b唯一确定一个平面，设为平面α，又c与a和b都相交，所以c也在平面α内，即直线a、b、c共面，故选项D正确， 故选：D． 2．（2024•五华区校级模拟）已知α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是（　　） A．若α∩β＝l，A∈α且A∈β，则A∈l B．若A，B，C是平面α内不共线三点，A∈β，B∈β，则C∉β C．若直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b为异面直线 D．若A，B是两个不同的点，A∈α且B∈α，则直线AB⊂α 【解答】解：对于A，由A∈α且A∈β，则A是平面α和平面β的公共点，又α∩β＝l，由基本事实3可得A∈l，故A正确； 对于B，由基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面， 若C∈β，又A∈β，B∈β，且A，B，C∈α，则α，β重合与已知矛盾，故B正确； 对于C，由于平面α和平面β位置不确定，则直线a与直线b可能异面、相交、平行、重合，故C错误； 对于D，由基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，故D正确． 故选：C． 3．（2024•天府新区模拟）在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意； 对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意； 对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意； 所以选项A满足题意， 故选：A． 4．（2024•松江区校级模拟）已知α、β、γ是三个不同的平面，l、m、n是三条不同的直线，则（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，α∥β，则m∥n C．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m D．若α∩β＝l，且m∥l，则m∥α 【解答】解：α、β、γ是三个不同的平面，l、m、n是三条不同的直线， 对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误； 对于B，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，α∥β，则由面面平行的性质得m∥n，故B正确； 对于C，若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C错误； 对于D，若α∩β＝l，且m∥l，则m∥α或m⊂α，故D错误． 故选：B． 5．（2024•六合区校级二模）设α，β，γ是三个不同平面，且α∩γ＝l，β∩γ＝m，则“l∥m”是“α∥β”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：由α∩γ＝l，β∩γ＝m，l∥m，则α，β可能相交， 故“l∥m”推不出“α∥β”， 由α∩γ＝l，β∩γ＝m，α∥β，由面面平行的性质定理知l∥m， 故“α∥β”能推出“l∥m”， 故“l∥m”是“α∥β”的必要不充分条件． 故选：B． 6．（2024•榆林三模）设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下面为真命题的是（　　） A．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b B．对于空间中的直线l，若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α C．若直线a上存在两点到平面α的距离相等，则a∥α D．若a∥α，a⊥β，则α⊥β 【解答】解：若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b或a与b异面，故A错误； 当a⊂α，b⊂α，l⊥a，a⊥b时，只有a，b相交时才有l⊥α，故B错误； 若直线a上存在两点到平面α的距离相等，则a∥α或a与α相交，故C错误； 如图， ∵a∥α，过a作平面γ和平面α交于n，则a∥n，而a⊥β，故n⊥β， 又n⊂α，∴α⊥β，故D正确． 故选：D． 7．（2024•杨浦区校级三模）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　） A．若a∥α，b⊆α，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a⊆α，b⊆β，a∥b，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则 【解答】解：选项A：a∥α，b⊆α，只有当a，b在同一平面内的时候，才有a∥b，故不正确； 选项B：a∥α，b∥β，α∥β，则a，b可相交、平行或异面，故不正确； 选项C：a⊆α，b⊆β，a∥b，则α，β还可能是相交平面，故不正确； 选项D：两个平面垂直时，与它们垂直的两条直线一定是垂直的，所以若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b，故正确． 故选：D． 8．（2024•菏泽二模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D∩AD1＝E，CD1∩C1D＝F，则下列结论中正确的是（　　） A．BB1∥平面ACD1 B．平面BDC1⊥平面ACD1 C．EF⊥平面BDD1B1 D．平面ABB1A1内存在与EF平行的直线 【解答】解：因为ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，设正方体棱长为2， 以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则D1（0，0，0），A（2，0，2），C（0，2，2），B（2，2，2），B1（2，2，0），E（1，0，1）， F（0，1，1），D（0，0，2），C1（0，2，0）， 所以，，，， 设平面ACD1的法向量为， 则，令x＝1，则， 设平面BDC1 的法向量为． 则，令c＝1，则＝（﹣1，1，1）， 又， 所以，故A不正确； ，故B不正确； 又因为，，， 所以，， 所以EF⊥D1D，EF⊥D1B1，又D1D∩D1B＝D1， 所以EF⊥平面BDD1B1，故C正确； 易知平面ABB1A1的一个法向量为， 因为，故D不正确． 故选：C． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•宿迁模拟）设直线m与平面α相交但不垂直，则下列命题为真命题的有（　　） A．平面α内有无数条直线与直线m垂直 B．过直线m有无数个平面与α垂直 C．与直线m垂直的直线可能与平面α平行 D．与直线m平行的平面可能与平面α垂直 【解答】解：对于A，如图， 在平面α内存在无数条直线与直线m垂直，故A正确； 对于B，在直线m上取一点，过该点作平面α的垂线，两条直线确定一个平面，该平面与平面α垂直， 所以过直线m有且只有一个平面与平面α垂直，故B错误； 类似于选项A，在平面α外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面α，故C正确； 如图，m⊂β，α⊥β，可作β的平行平面γ， 则m∥γ且γ⊥α，故D正确． 故选：ACD． （多选）10．（2024•新乡三模）已知m，n，l为空间中三条不同的直线，α，β，γ为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（　　） A．若α∩β＝m，m⊥γ，则α⊥γ，β⊥γ B．若m⊂α，n⊄α，则m与n为异面直线 C．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，且l∩m＝P，则P∈n D．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ 【解答】解：m，n，l为空间中三条不同的直线，α，β，γ为空间中三个不同的平面， 对于A，若α∩β＝m，m⊥γ，则经过直线m的平面都垂直γ， 因为α∩β＝m，说明平面α和β都经过m，则α与γ，β与γ均垂直，故A正确； 对于B，若m⊂α，n⊄α，则m与n相交或异面，故B错误； 对于C，若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，且l∩m＝P，则由面面相交的关系得P∈n，故C正确； 对于D，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，又α∥γ，则β∥γ，故D正确． 故选：ACD． （多选）11．（2024•吉首市模拟）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的有（　　） A．平面PB1D⊥平面ACD1 B．A1P∥平面ACD1 C．异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是（0，] D．三棱锥D1﹣APC的体积不变 【解答】解：对于A，易知B1D⊥平面ACD1，B1D⊂平面PB1D，从而平面PB1D⊥平面ACD1，A正确； 对于B，易知平面BA1C1∥平面ACD1，A1P⊂平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B正确； 对于C，A1P与AD1所成角即为A1P与BC1的所成角，BA1＝BC1＝A1C1，当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，故A1P与AD1所成角的范围是，故C不正确； 对于D，由选项B得BC1∥平面ACD1，故BC1上任意一点到平面ACD1的距离均相等，所以以P为顶点，三角形ACD1为底面，则三棱锥P﹣ACD1的体积不变，又＝，所以三棱锥D1﹣APC的体积不变，故D正确． 故选：ABD． 三．填空题（共3小题） 12．（2023•海淀区校级模拟）如图，在直角梯形ABCD中，E为CD的中点，BC⊥CD，AE⊥CD，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，使点D不在平面ABCE内，则下命题中正确的序号为 　②③　． ①MN∥AB； ②MN⊥AE； ③MN∥平面CDE； ④存在某折起位置，使得平面BCD⊥平面ABD． 【解答】解：对于①，如图，直线梯形ABCD中，CD∥AB， ∵BC⊥CD，AE⊥CD，∴AE∥BC， ∴四边形ABCE是矩形， ∵N是BE的中点，连接AC，则BE与AC交于点N，由题意N是AC中点， ∵M是AD的中点，∴MN∥CD， 又AB∥CE，而CE与CD相交于点C， ∴AB与CD不平行，∴MN与AB不平行，故①错误； 对于③，∵MN∥CD，CD⊂平面CDE，MN⊄平面CDE， ∴MN∥CD，CD⊂平面CDE，MN⊄平面CDE， ∴MN∥平面CDE，故③正确； 对于②，∵AE⊥DE，AE⊥CE，DE∩CE＝E，∴AE⊥平面CDE， ∵CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD， 由（1）知MN∥CD，∴MN⊥AE，故②正确； 对于④，连接BD，以E为坐标原点，EA，EC所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系， 设AB＝1，EA＝a（a≠0），∠CED＝θ，θ∈（0，π）， ∴A（a，0，0），B（a，1，0），C（0，1，0），D（0，cosθ，sinθ）， ＝（﹣a，0，0），＝（﹣a，cosθ﹣1，sinθ），＝（0，﹣1，0）， 设平面BCD的法向量为＝（x，y，z）， 则，取y＝1，得＝（0，1，）， 设平面ABD的法向量为＝（x′，y′，z′）， 则，取y′＝1，得＝（1，0，）， ∴＝＝， ∵θ∈（0，π），∴1﹣cosθ≠0，∴＝≠0， ∴不存在某折起位置，使得平面BCD⊥平面ABD，故④错误． 故答案为：②③． 13．（2023•兴庆区校级二模）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，异面直线AB与CD的夹角为 　60°　． 【解答】解：如图所示，把展开图恢复到原正方体， 连接AE，BE．由正方体可得CE∥AD且CE＝AD， ∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE∥DC， ∴∠BAE或其补角是异面直线AB与CD所成的角， 由正方体可得：AB＝AE＝BE， ∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°， ∴异面直线AB与CD所成的角是60°． 故答案为：60°． 14．（2023•惠州模拟）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足　DM⊥PC（或BM⊥PC等）　时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 【解答】解：由三垂线定理可知，BD⊥PC． ∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD， 而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD． 故答案为：DM⊥PC（或BM⊥PC等）． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•古蔺县校级模拟）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AB＝AE＝2DF，AE∥DF． （1）证明：平面AEC⊥平面CEF； （2）求平面ABE与平面CEF夹角的余弦值． 【解答】解：（1）证明：如图，取EC的中点H，连结BD交AC于点O，连结HO、HF， ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD， 又AE⊥平面 ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AE⊥BD， ∵AE⊂平面AEC，AC⊂平面AEC，且AE∩AC＝A， ∴BD⊥平面AEC， ∵H、O分别为EC、AC的中点， ∴HO∥EA，且，∵AE∥DF，且． ∴HO∥DF，且HO＝DF，∴四边形HODF为平行四边形， ∴HF∥OD，即HF∥BD，∴HF⊥平面AEC． ∵HF⊂平面CEF，∴平面AEC⊥平面CEF． （2）取CD中点M，连接AM，∵菱形 ABCD中，∠ABC＝60°， ∴△ACD为正三角形，又M 为CD中点，∴AM⊥CD， ∵AB∥CD，∴AM⊥AB，∵AE⊥平面ABCD，AB，AM⊂平面ABCD， ∴AE⊥AB，AE⊥AM，以A为原点，AB，AM，AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图， 设AB＝AD＝AE＝2DF＝2， 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，，0），，E（0，0，2），， ∵AM⊥平面ABE，∴为平面ABE的一个法向量， 设平面CEF的法向量为， ∵， ∴，取x＝1，得． 设平面 ABE与平面CEF 夹角为θ， 则， ∴平面 ABE 与平面CEF夹角的余弦值为． 16．（2024•简阳市校级模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA＝PC，PB⊥AC． （1）证明：四边形ABCD为菱形； （2）E为棱PB上一点（不与P，B重合），证明：AE不可能与平面PCD平行． 【解答】证明：（1）底面ABCD为平行四边形，连接AC，BD交于O，则O为AC的中点，连接PO， 因为PA＝PC，可得PO⊥AC， 又因为PB⊥AC，PB∩PO＝P， 所以AC⊥平面POB，BD⊂平面POB， 所以AC⊥BD， 所以平行四边形ABCD为菱形； （2）因为AB∥CD，CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD， 所以AB∥平面PCD， 而E与B，P不重合，AB∩AE＝E，AE，AB⊂平面PAB， 如果AE∥平面PCD， 可证得PAB∥平面PCD， 而平面PAB与平面PCD有交点P，即平面PAB与平面PCD不平行， 所以AE不可能与平面PCD平行． 17．（2024•莲湖区校级三模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2，BC＝3． （1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积； （2）求证：AB1∥平面BC1D． 【解答】解：（1）因为侧棱AA1⊥底面ABC， 所以三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱， 所以侧面BCC1B1，BAA1B1，CAA1C1均为矩形， 因为AB⊥BC， 所以底面ABC，A1B1C1均为直角三角形， 因为AA1＝AB＝2，BC＝3， 所以， 所以三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为 ＝ ＝； （2）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD， 因为四边形BCC1B1为矩形， 所以O为B1C的中点， 因为D为AC的中点， 所以OD∥AB1， 因为AB1⊄平面BC1D，OD⊂平面BC1D， 所以AB1∥平面BC1D，得证． 18．（2024•盐城校级三模）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1C1，A1B1的中点，求证： （1）B1C1∥平面A1EF； （2）平面A1EF∥平面BCGH． 【解答】证明：（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E、F分别是AB，AC的中点， ∴EF∥BC，∵B1C1∥BC，∴B1C1∥EF， ∵EF⊂平面A1EF，B1C1⊄平面A1EF， ∴B1C1∥平面A1EF． （2）由（1）知BC∥EF， ∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E、F、G、H分别是AB，AC，A1C1，A1B1的中点， ∴CF∥A1G，且CF＝A1G，∴四边形A1GCF是平行四边形， ∴A1F∥CG， ∵BC∩CG＝G，A1F∩EF＝F，A1F、EF⊂平面A1EF，BC、CG⊂平面BCHG， ∴平面A1EF∥平面BCHG． 19．（2024•西藏模拟）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝4，AB＝2，E为棱DD1上一点（含端点），且DE＝λDD1． （1）证明：AC⊥B1E； （2）当时，证明：B1E⊥平面ACE； （3）设几何体B1ACE的体积为V，若V∈（3，5），求λ的取值范围． 【解答】证明：（1）如图，连接BD，B1D1， 在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，且BB1⊥平面ABCD， 所以AC⊥BD， 又AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1， 因为BD，BB1⊂平面BDD1B1，BD∩BB1＝B， 所以AC⊥平面BDD1B1， 又B1E⊂平面BDD1B1，所以AC⊥B1E． （2）当时，E为DD1的中点， 所以，B1D1＝＝2， 所以． 又， 所以，即AE⊥B1E， 由（1）知，AC⊥B1E， 因为AC，AE⊂平面ACE，AC∩AE＝A， 所以B1E⊥平面ACE． （3）解：因为E为棱DD1上一点（含端点），且DE＝λDD1，所以λ∈[0，1]， 又，则， 则， 因为V∈（3，5），所以， 解得， 即λ的取值范围是． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$