北京市东直门中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

北京市东直门中学2024~2025学年度第一学期期中考试 高三数学 2024.11 命题人：李伟峰 审稿人：盛晓艳 考试时间：120分钟 总分：150分 班级_________姓名__________学号__________ 第一部分（选择题） 一､选择题：（本题有10道小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边在第三象限，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 60 B. 80 C. 90 D. 100 5. 如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知为等比数列，，公比为，则“”是“对任意的正整数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（ ） A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 8. 已知定点和拋物线是抛物线的焦点，是抛物线上的点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. “三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长求三角形面积，即．现有面积为的满足，则的周长是（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 36 10. 如图，已知BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E，点P是线段AD上的动点，直线交BC于点Q． 当取得最小值时，下列结论中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题） 二､填空题：（本题有5道小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为___________． 12. 已知平面向量，的夹角为120°，且，，则的值为______，的最小值为______． 13. 已知等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则数列的公比__________. 14. 在中，，.若，则______；若满足条件的三角形有两个，则的一个值可以是______. 15. 设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 三､解答题：（本题有6小题，共85分） 16. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，若对恒成立，求的取值范围． 条件①：； 条件②：的最大值为； 条件③：在区间上单调递增． 注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分． 17. 某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 （1）根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望； （2）若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； （3）生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/（元/件） 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，,为的中点，点在上，且． （1）求证：平面; （2）求二面角的余弦值； （3）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由． 19. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点.以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为. （1）求栯圆的方程； （2）设过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于不同的两点，与直线交于点.点在轴上，为坐标平面内的一点，四边形是菱形.求证：直线过定点. 20. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求a的值； （3）若有两个不同的零点，且，求a的取值范围. 21. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”. （1）判断数列是否为“速增数列”？说明理由； （2）若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值； （3）已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：. 北京市东直门中学2024~2025学年度第一学期期中考试 高三数学 2024.11 命题人：李伟峰 审稿人：盛晓艳 考试时间：120分钟 总分：150分 班级_________姓名__________学号__________ 第一部分（选择题） 一､选择题：（本题有10道小题，每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】B 第二部分（非选择题） 二､填空题：（本题有5道小题，每小题5分，共25分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】3 【14题答案】 【答案】 ①. 2 ②. 【15题答案】 【答案】①③④ 三､解答题：（本题有6小题，共85分） 【16题答案】 【答案】（1） （2）选择①②；②③；①③组合，都能得到； 【17题答案】 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 （2） （3）应该选择方案一 由题意得，方案二的产品的平均售价为： （元/件）， ∵， ∴从采购商的角度考虑，应该选择方案一. 【18题答案】 【答案】（1）因为平面，平面，则， 由题意可知，且，平面， 由线面垂直的判定定理可得平面. （2） （3）直线在平面内，理由如下： 易知，，由，可得， 则，由平面的一个法向量为， 其中，且点在平面内，故直线在平面内. 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明：设直线的方程为， 令，得，即. 由得. 设，则. 设的中点为，则. 所以. 因为四边形为菱形， 所以为的中点，. 所以直线的斜率为. 所以直线的方程为. 令得.所以. 设点的坐标为，则， 即. 所以直线的方程为，即. 所以直线过定点. 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1） 因为，则，， 又，故，数列是“速增数列”. （2） （3） ，故，即； ，故， 即， 同理可得：，，， 故， 故，，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $