北京市第十四中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024北京十四中初三（上）期中 数 学 2024.11 班级：________________________ 姓名：_______________ 注意事项 1.本试卷共十页，共27道小题，满分100分。考试时间120分钟。 2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号。 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5.答题不得使用任何涂改工具。 出题人：侯玉梅 审核人：黄炜 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2．抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3．如图，在Rt△ABC中，，， 将△ABC绕点C顺时针旋转α角至， 使得点恰好落在AB边上，则α等于（ ） A. 150° B. 90° C. 30° D. 60° 4．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．如图，点A，B，C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在上，且OA=AB， 则∠ABC的度数是（ ） A. B. C. D. 6．某厂家2024年1~5月份某种产品的产量统计图如图所示. 设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的月平均增长率 为，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，2为半径的 圆上的动点，E是线段BD的中点， 连接OE，则线段OE的最大值是（ ） A. B. C. D. 8．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为，当任务完成的百分比为时，线段MN的长度记为()．下列描述正确的是（ ） A．(25%)=1 B．当时， C．当时， D． 当50%时， 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．在平面直角坐标系xOy中，点P（3，−4）关于原点O对称点的坐标为　 　． 10．若 是关于的二次函数，则m的值为__________． 11．如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，则关于的不等式的解集为___________． 12．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米，停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为_______________． 13．如图，，为的三等分点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，，连接．若，则的长为 　 　． 第11题图 第12题图 第13题图 14．已知函数，当时，函数的最小值是，则实数的取值范围是　 　． 15．在二次函数中，与的部分对应值如表： x … −1 0 1.5 2 3 … y … 0 2 m n 0 … 则m，n的大小关系为m n．（填“>”、“=”或“<”） 16． 如图，已知，,， 点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB= ___________； 在点D运动过程中，CE的最小值___________． 三、解答题（本题共68分，第17题12分，第18、20、22题，每题5分，第19题4分， 第21、23、24、26、27题，每题6分，第25题7分） 17．解下列方程： （1） （2） （3） 18．已知二次函数． （1）将化成的形式：__________________； （2）抛物线与x轴的交点坐标为 ； （3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象； … … … … （4）结合图象写出时，自变量x的取值范围是　 ； （5）当时，y的取值范围是　 ． 19．下面是李雷设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．图1 已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法：如图2， ①作射线OP； ②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B； ③连接BA并延长与⊙A交于点C； ④作直线PC；图2 则直线PC即为所求． 根据李雷设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，在图2中补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵BC是⊙A的直径， ∴∠BPC＝90°（　 　）（填推理的依据）． ∴OP⊥PC． ∵OP是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线（　 　）（填推理的依据）． 20．已知关于x的一元二次方程. （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若是该方程的根，求代数式的值． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶 点分别为A（－3，4），B（－5，1），C（－1，2）． （1）画出ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出 点B1的坐标； （2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2， 并写出点B2的坐标． 22．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整． 如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm． 作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理的依据是： ． 经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝ cm； 用含r的代数式表示OD，OD＝ cm． 在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程： ， 解得r＝ . 通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮． 23．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示． （1）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的解析式； （2）若铅球投掷距离（铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀． 24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD为直径，AE是⊙O切线，且AE⊥CD，交CD的延长线于点E． （1）求证：DA平分∠BDE； （2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长． 25．如图，已知点，在二次函数 的图象上， 且． （1）若二次函数的图象经过点． ①求这个二次函数的解析式； ②若，求顶点到MN的距离； （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为， 点M，N在对称轴的异侧，直接写出a的取值范围． 26．已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC． （1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD， 交AD的延长线于点E，连接CE． ①若∠BAD＝α，则∠DBE= (用含α的式子表示)； ②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明． （2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE． ①依题意补全图2； ②直接写出线段EA，EB和EC之间的数量关系． 图1 图2 27．在平面直角坐标系xOy中的⊙W上，有弦MN，取MN的中点P，将点P绕原点O顺时针 旋转90°得到点Q，称点Q为弦MN的“中点对应点”．设⊙W是以W为圆心， 半径为2的圆． （1）已知弦MN长度为2，点Q为弦MN的“中点对应点”． ①如图1,当MN∥轴时，在图1中画出点Q，并且直接写出线段OQ的长度； ②当MN在圆上运动时，直接写出线段WQ的取值范围． （2）已知点M，点N为⊙W上的一动点，设直线与x轴、y轴分别交于 点A、点B，若线段AB上存在弦MN的“中点对应点”点Q，直接写出b的取值范围． 参考答案 一、选择题：（共16分，每小题2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D C A C D B 二、填空题：（共16分，每小题2分） 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 4 ; 三、解答题：（共68分，第17题12分，第18、20、22题，每题5分，第19题4分， 第21、23、24、26、27题，每题6分，第25题7分） 17.（1）解： ……………………… ……………………… （2） ……………………… ……………………… ∴原方程无实根 ……………………… （3） ……………………… ……………………… ∴ ……………………… 18. （1）； ……………………… （2）该图象与x轴的交点坐标为（1，0）或（3，0）； ……………………… （3）用“五点法”描点连线得到函数图象如下： ……………………… （4）或； ……………………… （5）． ……………………… 19．解：（1）如图补全图形； ……………………… （2）证明：∵BC是⊙A的直径， ∴∠BPC＝90°（直径所对的圆周角是直角）， …………… ∴OP⊥PC． 又∵OP是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线（切线的判定定理）． ……………………… 20. （1）证明：∵， ……………………… ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； ………………… （2）解：把代入方程得， 即:， ……………………… ∴原式 ……………………… ． ………………………C1 21.解：（1）如图△A1B1C1为所求，点B1的坐标为（5，−1）； ……………………… （2）如图△A2B2C2为所求，点B2的坐标为（−1，−5）． ……………………… 22.解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为r cm． 作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点． 其推理依据是：垂径定理（或“垂直于弦的直径平分弦”）． ……………… 经测量：AB=90cm，CD=15cm，则AD= 45 cm； ……………………… 用含r的代数式表示OD，OD= cm． ……………………… 在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程： , ……………………… 解得． ……………………… 23．（1）解：依题意，抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为． 设该抛物线的表达式为，…………… 由抛物线过点，有． 解得， …………………… 该抛物线的解析式为； …………………… （2）解：令，得． ………………… 解得，在轴正半轴，故舍去）． …………… 点的坐标为，． ． 由，可得． 小明此次试投的成绩达到优秀． ……………………… 24．（1）证明：连接OA， ∵AE是⊙O切线， ∴AE⊥半径OA ………………… ∴∠OAE＝90°， ∵AE⊥CD， ∴OA∥DE， ∴∠OAD＝∠ADE， ……………………… ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO， ∴∠ADE＝∠ADO， ∴DA平分∠BDE； ………………… （2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为F， ∵CD＝6， ∴DF＝FC＝DC＝3，∠OFD＝90°， ……………………… ∵∠OAE＝∠E＝90°， ∴四边形AEFO是矩形， ∴EF＝OA，AE＝OF＝4， ……………………… ∴DE＝EF﹣DF＝OA3， 在Rt△OFD中，根据勾股定理得：OD2＝OF2+DF2， ∴OD2＝42+32， ∴OD＝5， ∴DE＝OA﹣3＝5﹣3＝2， 在Rt△AED中，AD＝， ∴⊙O的半径为5，AD的长为． ……………………… 25.（1）解：①将点代入中， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为：； ……………………… ②当时，此时为平行x轴的直线， 将代入二次函数中得到：， 将代入二次函数中得到：， ∵， ∴=， 整理得到：， 又∵，代入上式得到：，解出， ∴，即直线为：， 又∵二次函数的顶点坐标为(2，1)， ∴顶点(2, −1)到的距离为； ……………………… (2) a的取值范围为． ……………………… 26.解：（1）①∠DBE＝45°α； …………… ②结论：AEBEEC． 证明：如图，过点C作CR⊥CE交AE于R． ∴∠ACB＝∠RCE＝90°， ∴∠ACR＝∠BCE， ∵∠CAR+∠ADC＝90°，∠CBE+∠BDE＝90°，∠ADC＝∠BDE， ∴∠CAR＝∠CBE， ……………… 在△ACR和△BCE中， ， ∴△ACR≌△BCE（ASA）， ……………… ∴AR＝BE，CR＝CE， ∴△CER是等腰直角三角形， ∴ERCE， ∴AEBE＝AEAR＝ER EC． ……………………… （2）①补全图形，如图2所示： …………… ② EBEAEC． ……………… 27．解：（1）①OQ＝；(图形1分，OQ值1分) ……………………… ② ≤WQ≤； ……………………… （2） 3≤b≤ …………… 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$