基本不等式题型归类 讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

基本不等式题型总结 题型一：基础型（直接使用） 1．基本公式：（1）； （2）； （3） 2．“一正二定三相等”是均值不等式成立的前提条件。 【典型例题】 例1．下列各函数中，最小值为2的是　　 A． B．， C． D． 例2．若，都是正数，则的最小值为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 例3．已知关于的不等式，的解集为，，，则下列结论错误的是　　 A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【针对练习】 1．已知，，若，则的最大值为　　 A． B． C． D．1 2．已知实数，满足，则的最小值为　　 A．2 B．1 C．4 D．5 3．已知关于的不等式的解集为，且，则的最小值是　 　． 4．（多选）已知关于的不等式的解集为，则　　 A．的解集为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 5．（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是　　 A．的解集为 B．的解集为 C．的最大值为1 D．的最小值为 6．已知关于的不等式的解集为，，则的最小值是 　 　． 题型二：“1”的代换型（包含“乘1法”） “1”的代换是基本型，要注意：（1）“一正二定三相等”；（2）“见分子想分母，见分母想分子” 【典型例题】 例1．已知，均为正实数，且，则的最小值为　　． 例2．已知，，，则的最小值为　　 A．25 B．26 C．27 D．28 例3．已知，，，则的最小值为　　 A．13 B．19 C．21 D．27 例4．已知正实数，满足，则的最小值为　　 A．10 B．11 C．13 D．21 【针对练习】 1．已知，，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 2．已知，则的最小值为　　 A．13 B．19 C．21 D．27 3．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是　　 A． B． C．，， D．，， 4．已知，，且，则的最小值为 　 　． 5．已知正实数，满足，则的最小值是 　 　． 6．设，，且，则的最小值为　　 A．4 B． C． D．2 7．已知，且，则的最小值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知，，且，则的最小值为　　 A．16 B． C．12 D． 9．已知，均为正实数，且，则的最小值为　 　． 10．已知正实数，满足，则的最小值为　 　． 11．已知正实数，满足，则的最大值为 　 　；的最小值为 　　． 12．已知正实数，满足，则的最小值为 　 　． 题型三：“和”与“积”互消型 基本规律：1．有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型。如例2 2．有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如例1 3．有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如例3 注意：这类求和时，基本所求和与原式和系数“一致”，不一致，则可以反解代入消参等方法 【典型例题】 例1．已知，，且，则的最大值　 　． 例2．已知，，且，则的最小值为　　 A．16 B． C．12 D． 例3．已知，，且，则的最小值为　 　． 例4．（多选）已知，，　　 A．的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最小值为 【针对练习】 1．若正实数，满足，则的最小值　　 A．3 B．4 C． D． 2．已知，，且，则的最小值为　　 A．2 B． C．4 D．6 3．已知，，，则的最小值为 　 　． 4．已知正数，满足，则的最小值为 　 　． 5．已知，均为正实数，且满足，则的最小值为　 　． 6．若，且，则的最小值为 　 　． 7．已知，，且，则的最大值为　　 A．2 B．3 C． D． 8．若实数，满足，则的最小值是 　 　． 9．（多选）已知，，，则　　 A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为1 10．（多选题）已知，，，则　　 A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为9 11．下列说法正确的有　　 A．对，的最小值为1 B．若正实数，满足，则的最大值为 C．已知，，且，则的最小值为3 D．已知，，且，则的最大值为 12．已知正实数，满足，则的最大值为　　 A． B． C． D．2 13．（多选题）若，满足，则　　 A． B． C． D． 题型四：以分母为主元构造型（最容易理解的方法是“双换元”） 构造分母型：1．以分母为主元构造，也可以直接分母换元，变化后为“1”的代换，如例1 2．构造过程中，分子会有分母参数的变化，可以分离常数后再构造分母，如例3 3．例4是三项构造，且无条件等式 【典型例题】 例1．已知正数，满足，则的最小值是 　 　． 例2．已知，，且，则的最小值为　　 A．9 B．10 C．11 D． 例3．已知正数，满足，则的最小值是　　 A．1 B．2 C．4 D．8 例4．设，则的最小值为　　 A． B． C．4 D． 【针对练习】 1．设，，若，则的最小值为　　 A．5 B．7 C．9 D．11 2．已知正实数，满足，则的最小值为　 　． 3．已知正数，满足，则的最小值为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知，均为正实数，且，则的最小值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知，均为正实数，且，则的最小值为　　 A．24 B．32 C．20 D．28 6．已知，为正实数，且，则的最小值为　　 A． B． C． D．1 7．已知，，且，则的最小值为　　 A．4 B．8 C．16 D．32 8．已知正实数，满足，则的最小值为 　 　． 9．已知，，满足，则的最小值为　　 A． B． C．3 D． 题型五：双换元法 特征：条件等式和所求式子之间变量系数“不一致” 方法：直观凑配或者分母换元 【典型例题】 例1．已知正实数，满足，则的最小值为　　 A． B． C． D． 例2．已知正实数，满足，则的最小值为　　 A． B． C． D． 例3．已知，，，则取到最小值为　 　． 【针对练习】 1．已知正实数，满足，则的最小值为　　 A． B． C． D． 2．已知，，，则的最小值为 　 　． 3．观察下面的解答过程：已知正实数，满足，求的最小值． 解：， ， 当且仅当，结合得，时等号成立， 的最小值为． 请类比以上方法，解决下面问题：（1）已知正实数，满足，求的最小值； （2）已知正实数，满足，求的最小值． 题型六：分子含参型：分离分子型 1．分离分子型原理题，如例1 2．分子二次型换元分离，如例3 3．分子二次型凑配构造分离，如例2 【典型例题】 例1．若，则的最小值为　　 A． B．1 C． D． 例2．已知正实数，满足，则的最小值是　　 A． B． C． D． 例3．若，，且，则的最小值为　 　． 【针对练习】 1．已知，均为正实数，则的最大值为　　 A． B． C． D． 2．已知，为正实数，则的最小值为　 　． 3．已知，为正实数，则的最小值为　 　． 4．设，且，则的最小值是　　 A． B． C． D． 5．已知实数，满足，则的最小值为 　 　． 6．已知正数，满足，则的最小值是　　 A． B． C． D． 7．若，，则的最小值是　　 A．16 B．18 C．20 D．22 8．（多选）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是　　 A．若，则 B．若，，则最小值为 C．若，，， D．若实数，满足，，，则的最小值是 题型七：反解代入型：消参法 基本规律：条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造 【典型例题】 例1．已知正数，满足，则的最大值为 　 　． 例2．已知，且，则的最小值为 　 　． 例3．若正数，满足，则的最小值是 　 ，此时　　 ． 例4．若正实数，满足，则的最小值为　 　． 【针对练习】 1．已知，，，则的最小值为　　 A．5 B．7 C．9 D．10 2．已知，，满足，则的最小值是 　 　． 3．（多选）已知正实数，满足，且恒成立，则的取值可能是　　 A． B． C．1 D． 4．已知，，，则的最小值为 　 　； 5．（多选）若，，，则下列说法正确的有　　 A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值是 题型八：因式分解型（有“和”有“积”有常数型） 特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 【典型例题】 例1．非负实数，满足，则的最小值为　 　． 例2．已知，，且，则的最小值等于　 　 例3．已知，，且，则的最小值是　 　． 【针对练习】 1．已知，，，则的最小值为 　 　． 2．已知，，且满足，则的最小值为 　 　． 3．已知，为实数，且，则的最小值为　 　． 4．已知正实数，满足，则的最大值为 　 　；的最大值为 　 　． 5．已知正实数，满足，则的最小值为 　 　． 6．已知，则的最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 7．若，，均为正数，且，则的最小值为　　 A． B．4 C． D． 题型九：均值用两次 基本规律：两次均值，逐次消去，取等条件一致 【典型例题】 例1．若，，均为正实数，则的最大值为　　 A． B． C． D． 例2．设正实数，满足，不等式恒成立，则的最大值为　 ． 例3．已知，，则的最小值为　 ． 例4．若，，均为正实数，满足，则的最小值为 ． 【针对练习】 1．已知正实数，，满足，则的最小值为　 　． 2．若，，，则的最小值为 　 　． 3．已知、、、均为正实数，且，则的最小值为　　 A．3 B． C． D． 4．已知正实数，，，满足，且，则的最小值是　　 A．1 B． C．2 D． 5．已知实数，，满足，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 6．已知正实数，，，，则的最小值为 　 　． 7．设，那么的最小值是 　 　． 8．若，，，则的最小值为　 　． 9．已知，，且，则的最小值为 　 　． 10．已知，，，则的最大值为　 　． 11．已知，，则的最小值为 　 　． 题型十：换元型 基本规律： 1．和前边分母构造换元一样，可以代数换元，如例1 2．齐次分式同除型，可以代数换元，如例2 【典型例题】 例1．若，且，则的最小值为 ． 例2．已知，为正实数，则的最小值为 　 　． 【针对练习】 1．设，，若，则的最大值为　　 A． B． C． D． 2．（多选）已知正数，满足，下列说法正确的有　　 A．的最大值为1 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为2 3．已知实数，，则的最小值为 　 　． 4．已知实数，，则的最小值为 　 　． 5．已知，，，则的最小值是　　 A．2 B． C． D． 题型十一：“和”与所求和系数不一致型 基本规律：1．可以简单的反解代入消去，如例1 2．可以整体配凑构造（换元），如例2 3．可以“无中生有”构造消去，如例3 4．也可以因式分解，参考题型八 【典型例题】 例1．已知，，且，则的最小值为　　 A． B． C．5 D．9 例2．若正实数，满足，则的最小值是　 　． 例3．已知正实数，，满足，求的最小值。 例4．已知正实数，，满足，求的最小值。 【针对练习】 1．若正数，满足，则的最小值是　 　． 2．已知，，且，则的最小值等于 　 　． 3．已知实数，满足，且，则的最小值为　　 A．1 B． C．4 D． 4．已知实数，，，则的最小值是　 　． 5．已知，，均为正数，且，则的最小值为　 　． 6．设，，则的最小值为　 　． 7．若，，且，则的最小值为　　 A．9 B．3 C．1 D． 题型十二：“齐次化”法 【典型例题】 例1．已知实数，满足，且，则的最大值为　 　． 例2．已知正数，满足，则的最大值为　 　． 例3．已知，为正数，且，则的最大值为　 　． 【针对练习】 1．已知正实数，满足，则的最小值为　　 A． B．2 C． D． 2．已知，为正实数，且，则的最小值为　　 A．6 B．8 C．9 D．12 3．已知正数，满足，则的最小值与最大值的和为　　 A．6 B．5 C．4 D．3 4．已知，，，则的取值范围为 　 　． 5．已知，，且，则的取值范围是 　 ． 6．（多选）已知，，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 7．（多选）已知正实数、满足，则下列说法正确的是　　 A．的最大值为 B．的最大值为9 C．的最小值为 D．的最小值为1 题型十三：恒成立求参数型 【典型例题】 例1．已知正实数，满足，，不等式恒成立，则的最大值为 　． 例2．已知正实数，满足，若不等式对，，恒成立，则实数的取值范围是 　． 例3．已知正数、，若，则实数的最大值为　 　． 【针对练习】 1．正数，满足，若不等式对，恒成立，则实数的取值范围是 　 ． 2．对任意正数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C．， D． 3．设任意正实数，，满足，不等式对任意正数，，恒成立，则实数的取值的最大值是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 4．若正实数，满足，且存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围为　　 A．， B．， C．，， D．，， 5．对任意，存在，，使得不等式成立，则实数的最大值为　　 A．2 B．5 C．4 D．3 6．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 　 　． 7．已知正数、，若，则实数的最大值为　 　． 8．（1）已知，，求的最大值； （2）求满足对，有解的实数的最大值，并说明理由． 9．设对一切，都成立，求的最小值． 题型十四：万能“k”法 适用题型：k法后能化成一元二次方程的不等式题型； 方法原理：利用一元二次方程有实数根时； 解题步骤：⑴问谁设谁：求谁，谁就是k；并找出变量具体范围； ⑵代入整理：整理成某个变量的一元二次方程； ⑶确认最值：方程有实数根时，解出最值并把k代入方程验证; 若根在对应变量范围则即为所求； 若根不在对应变量范围则转化成方程实根分布问题求解（少数题目需要此种方式处理，所以遇到数据很难验证时合理变通）； 【典型例题】 例1．已知正实数，满足，则的最小值________． 例2．若，满足，则的最大值是______． 例3．已知正实数、满足，则的最小值为_______． 例4．已知，，，则的最大值为________． 例5．已知，且，则的最大值_______ 例6．已知正实数满足，则的最小值是__________． 例7．实数满足，则的最小值是__________． 例8．已知，为实数，满足，则的最小值是______． 例9．已知实数、满足，则的最小值为__________. 例10．若实数满足，则的最小值为______． 例11．已知实数满足，则的最大值是___________. 例12．已知，若，则的最小值是___________. 例13．已知，若，则的最小值是（       ） A．8 B．7 C．6 D．5 k法不万能 不万能原因：上述做法默认的是二次函数在R上有零点从而，但实际函数里面的变量范围不一定是R，很多时候变量都有限制，所以相当于二次函数在某个区间上有零点，那么如果直接用计算的答案就有可能出错；这种题目不多，导致有些同学认为k法万能； 正确做法：变成实根分布进行讨论处理； 例1．已知，求的最大值为_______. 【针对练习】 1．已知，为实数，若，则的最大值为______． 2．已知实数、满足，则的最小值是______． 3．已知实数、满足，则的最小值为__________. 4．已知实数、满足，则的最小值是______． 5．已知实数x，y满足，则的最小值是______． 6．已知实数x，y满足，，且，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．已知，求的最大值为_______. 一 学科网（北京）股份有限公司 $$ 基本不等式题型总结 题型一：基础型 1．基本公式：（1）； （2）； （3） 2．“一正二定三相等”是均值不等式成立的前提条件。 【典型例题】 例1．在下列函数中，最小值是2的是　　 A． B． C．， D． 【解答】解：选项，正负不定，不能满足最小值是2，故错误；选项，， 当且仅当，即时取等号，但，故错误；选项，，， ，当且仅当，即时取等号，但，取不到1，故错误；选项，，当且仅当即时取等号，故正确．故选：． 例2．若，都是正数，则的最小值为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【解答】解：，都是正数，则，当且仅当时取等号． 故选：． 例3．已知关于的不等式，的解集为，，，则下列结论错误的是　　 A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【解答】解：因为关于的不等式，的解集为，，， 所以，所以，，所以，正确；因为，，所以，当且仅当时取等号，解得，正确； ，当且仅当时取等号，错误； ，当且仅当且，即，时取等号，正确．故选：． 例4．在区间，上随机地取一个数，使恒成立的概率是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，当且仅当时取等号，恒成立，，解得，故在区间，上随机地取一个数，使恒成立的概率是，故选：． 【针对练习】 1．下列各函数中，最小值为2的是　　 A． B．， C． D． 【解答】解：根据函数的单调性可知；，，单调递减，，单调递增，（1），，不正确．因为．中的函数式子等号不成了，所以，不正确．故选：． 2．下列各函数中，最小值为2的是　　 A． B．， C． D． 【解答】解：选项的函数可以是负数，不正确；选项的函数，函数没有最小值，不正确；选项的函数，不正确；选项的函数，当且仅当取等号．所以正确．故选：． 3．（多选）下列各函数中，最小值为2的是　　 A． B．， C． D． 【解答】解：．时，；的最小值不是2；．；； ，当时取等号；的最小值为2；； 该函数的最小值为2．；时，该函数取最小值；故选：． 4．已知，，若，则的最大值为　　 A． B． C． D．1 【解答】解：由题意知，，，，，则， 当且仅当，即，时，等号成立，的最大值为．故选：． 5．已知实数，满足，则的最小值为　　 A．2 B．1 C．4 D．5 【解答】解：，，当且仅当，即时等号成立，的最小值为2，故选：． 6．已知关于的不等式的解集为，且，则的最小值是　 　． 【解答】解：关于的不等式的解集为，， 即且；又，；， 当且仅当，即时“”成立；的最小值是．故答案为：． 7．（多选）已知关于的不等式的解集为，则　　 A．的解集为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【解答】解：关于的不等式的解集为，，， 对于，，，解得，故正确；对于， ，当且仅当，即时取等号，故正确；对于，，当且仅当，即时，取等号，故正确，错误；故选：． 8．（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是　　 A．的解集为 B．的解集为 C．的最大值为1 D．的最小值为 【解答】解：不等式可化为，不等式对应方程的两根为和，且， 所以不等式的解集为，所以，，；对于，可化为，解得，所以原不等式的解集为，选项正确；对于，可化为，即，解得或，所以原不等式的解集为，选项错误；对于，，当且仅当，即时等号成立，选项正确；对于，在上单调递减，没有最小值，选项错误．故选：． 9．已知关于的不等式的解集为，，则的最小值是 　 　． 【解答】解：不等式的解集为，，所以、是方程的实数根， 所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是．故答案为：． 题型二：“1”的代换型 “1”的代换是基本型，要注意：（1）“一正二定三相等”；（2）“见分子想分母，见分母想分子” 【典型例题】 例1．已知，均为正实数，且，则的最小值为　　． 【解答】解：，则， ，当且仅当时取等号， 故的最小值为2，故答案为2 例2．已知，，，则的最小值为　　 A．25 B．26 C．27 D．28 【解答】解：因为，，，则，当且仅当且，即时取等号，此时取得最小值25．故选：． 例3．已知，，，则的最小值为　　 A．13 B．19 C．21 D．27 【解答】解：，（当且仅当，即，时，等号成立）故选：． 例4．已知正实数，满足，则的最小值为　　 A．10 B．11 C．13 D．21 【解答】解：正实数，满足，则，， ，当且仅当且即，时取等号，故选：． 【针对练习】 1．已知，，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得：． 当且仅当 时等号成立．故选：． 2．已知，则的最小值为　　 A．13 B．19 C．21 D．27 【解答】解：因为， 所以，当且仅当，即，时取“”，所以的最小值为27．故选：． 3．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是　　 A． B． C．，， D．，， 【解答】解：因为，当且仅当，即，时取等号，依题意有，解得或．故选：． 4．已知，，且，则的最小值为 　 　． 【解答】解：因为，，且，所以 ；当且仅当，即，时，等号成立 所以的最小值为．故答案为：． 5．已知正实数，满足，则的最小值是 　 　． 【解答】解：，，当且仅当，即，时取等号，的最小值为．故答案为：． 6．设，，且，则的最小值为　　 A．4 B． C． D．2 【解答】解：，，且，， 当且仅当时，即，时取等号，故选：． 7．已知，且，则的最小值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：，且，则， 当且仅当且，即时取等号，此时取得最小值5．故选：． 8．已知，，且，则的最小值为　　 A．16 B． C．12 D． 【解答】解：因为，，且，则， ，当且仅当，即，时取等号，此时取得最小值为16，故选：． 9．已知，均为正实数，且，则的最小值为　 　． 【解答】解：，均为正实数，且， 则，当且仅当时取等号．的最小值为，故答案为：． 10．已知正实数，满足，则的最小值为　 　． 【解答】解：已知正实数，满足， 则， 当且仅当且时，取等号，即，时取等号，则的最小值为10；故答案为：10． 11．已知正实数，满足，则的最大值为 　 　；的最小值为 　　． 【解答】解：因为正实数，满足，则，当且仅当即时取等号；又，所以， ，当且仅当且，即，时取等号．故答案为：；1． 12．已知正数，满足，则的最小值为 　 　． 【解答】解：正数，满足，， 设函数，则在上单调递增，则，得， ，当且仅当，即时取等号， 的最小值为9，故答案为：9． 13．已知正实数，满足，则的最小值为 　 　． 【解答】解：因为正实数，满足， 则， 当且仅当且，即，时取等号．故答案为：． 题型三：“和”与“积”互消型 基本规律： 1．有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型。如例2 2．有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如例1 3．有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如例3 注意：这类求和时，基本所求和与原式和系数“一致”，不一致，则可以反解代入消参等方法 【典型例题】 例1．已知，，且，则的最大值　 　． 【解答】解：，，且，，化为，解得．当且仅当时取等号．则的最大值为18．故答案为：18． 例2．已知，，且，则的最小值为　　 A．16 B． C．12 D． 【解答】解：因为，，且，则， ，当且仅当，即，是取等号，此时确定最小值为16，故选：． 例3．已知，，且，则的最小值为　 　． 例4．（多选题）已知，，　　 A．的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最小值为 【解答】解：由，得（当且仅当时等号成立），令，则，解得．所以，即．所以的最大值为2，正确．由基本不等式得，则，所以，又，得，即， 所以，所以，解得或（舍去），当且仅当、时等号成立，则的最小值为4，正确．令，则，所以，故可化为，整理得，由△，得，即，解得或（舍去），故错误，正确．故选：． 【针对练习】 1．若正实数，满足，则的最小值　　 A．3 B．4 C． D． 【解答】解：正实数，满足，，设，， ，即，，故的最小值为4，故选：． 2．已知，，且，则的最小值为　　 A．2 B． C．4 D．6 【解答】解：由，，得，又，得，则，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为4．故选：． 3．已知，，，则的最小值为 　 　． 【解答】解：由题可得（当且仅当时取等号），整理得 ，即，又，故，所以（当且仅当时取等号，此时，则的最小值是．故答案为：． 4．已知正数，满足，则的最小值为 　 　． 【解答】解：由，，得，即，又，所以，即，解得（舍去），或，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8．故答案为：8． 5．已知，均为正实数，且满足，则的最小值为　 　． 【解答】解：由可得．又因为，所以，，即，即，所以或．又因为，均为正实数，所以（当且仅当时，等号成立），即的最小值为6．故答案为：6 6．若，且，则的最小值为 　 　． 【解答】解：，且，，， 或（舍去），当且仅当，时，等号成立，的最小值为6，故答案为：6． 7．已知，，且，则的最大值为　　 A．2 B．3 C． D． 【解答】解：，则，即，又，，所以当且仅当时取等号，的最大值为． 故选：． 8．若实数，满足，则的最小值是 　 　． 【解答】解：令，，则， ，，，当且仅当时，等号成立， 的最小值为．故答案为：． 9．（多选）已知，，，则　　 A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为1 【解答】解：对于，由题意，可知， 即，当且仅当时等号，故错；对于，由题意，可知，进而可得 ，当且仅当，取等号，故正确；对于，令，则，所以，故可化为，整理得， 由△，得，即，解得或（舍去），故正确； 对于，，当且仅当时等号成立，错误．故选：． 10．（多选题）已知，，，则　　 A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为9 【解答】解：因为，，，所以，即，， 当且仅当时等号成立，则，正确；， 当时取得最大值，则错误；，当且仅当时等号成立，则正确．故选：． 11．下列说法正确的有　　 A．对，的最小值为1 B．若正实数，满足，则的最大值为 C．已知，，且，则的最小值为3 D．已知，，且，则的最大值为 【解答】解：当时，，错误，，，，所以，当且仅当，即，时取等号，正确，，且，则，，，当且仅当，即，时等号成立，正确，，，且，如，时，，错误，故选：． 12．已知正实数，满足，则的最大值为　　 A． B． C． D．2 【解答】解：设，即代入原式整理得，因为，所以关于的方程有正根．即解得，所以，所以的最大值为，即选项正确． 故选：． 13．（多选题）若，满足，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：方法一：由可得，，令，则， ，，故错，对， ，，故对，错， 方法二：对于，，由可得，，即，，，故错，对，对于，，由得，，，故对，错，故选：． 题型四：以分母为主元构造型 构造分母型： 1．以分母为主元构造，也可以直接分母换元，变化后为“1”的代换，如例1 2．构造过程中，分子会有分母参数的变化，可以分离常数后再构造分母，如例3 3．例4是三项构造，且无条件等式 【典型例题】 例1．已知正数，满足，则的最小值是 　 　． 【解答】解：正数，满足，则则 ，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：． 例2．已知，，且，则的最小值为　　 A．9 B．10 C．11 D． 【解答】解：由，，得，，又，所以 ，当且仅当，整理得，时，等号成立．故选：． 例3．已知正数，满足，则的最小值是　　 A．1 B．2 C．4 D．8 【解答】解：因为正数，满足，则，当且仅当，即时取等号．故的最小值是4，故选：． 例4．设，则的最小值为　　 A． B． C．4 D． 【解答】解：，， ，当且仅当， ，即时取等号．故选：． 【针对练习】 1．设，，若，则的最小值为　　 A．5 B．7 C．9 D．11 【解答】解：，，，，，， ，（当且仅当，即，时，等号成立），故选：． 2．已知正实数，满足，则的最小值为　 　． 【解答】解：因为，所以， 则， 当且仅当，即，时取“”，故答案为：． 3．已知正数，满足，则的最小值为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：正数，满足， ，当且仅当，即，时取等号，的最小值为6，故选：． 4．已知，均为正实数，且，则的最小值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：，均为正实数，且， ，当且仅当，即，时取等号，的最小值为5，故选：． 5．已知，均为正实数，且，则的最小值为　　 A．24 B．32 C．20 D．28 【解答】解：，均为正实数，且， 则， 当且仅当时取等号．的最小值为20．故选：． 6．已知，为正实数，且，则的最小值为　　 A． B． C． D．1 【解答】解：因为，为正实数，且， 则， 当且仅当且，即时取等号．故选：． 7．已知，，且，则的最小值为　　 A．4 B．8 C．16 D．32 【解答】解：因为，，且，则 ，当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值16．故选：． 8．已知正实数，满足，则的最小值为 　 　． 【解答】解：，，，， ，当且仅当，即，时取等号，的最小值为．故答案为：． 9．已知，，满足，则的最小值为　　 A． B． C．3 D． 【解答】解：因为，，且，所以，则， 所以 ，当且仅当时取等号，此时的最小值为，故选：． 题型五：构造分母：待定系数 特征：条件等式和所求式子之间变量系数“不一致” 方法：直观凑配或者分母换元 【典型例题】 例1．已知正实数，满足，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由正实数，满足，可得，令，，可得， 所求，即， 即，当且仅当时取等号，所以答案为，故选：． 例2．已知正实数，满足，则的最小值为　　 A． B． C． D． 例3．已知，，，则取到最小值为　 　． 【解答】解：，，，，，即 取到最小值故答案为： 【针对练习】 1．已知正实数，满足，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意，， 故，当且仅当，即，时等号成立，故选：． 2．已知，，，则的最小值为 　 　． 【解答】解：已知，，，利用拼凑法：，则 ， 当且仅当，，时等号成立．故最小值为．故答案为：． 3．观察下面的解答过程：已知正实数，满足，求的最小值． 解：， ， 当且仅当，结合得，时等号成立， 的最小值为． 请类比以上方法，解决下面问题： （1）已知正实数，满足，求的最小值； （2）已知正实数，满足，求的最小值． 【解答】解：（1）由正实数，满足得：． 当且仅当，结合得时等号成立，的最小值为9． （2）正实数，满足，得， 当且仅当，结合得时等号成立，的最小值为． 题型六：分子含参型：分离分子型 1．分离分子型原理题，如例1 2．分子二次型换元分离，如例3 3．分子二次型凑配构造分离，如例2 【典型例题】 例1．若，则的最小值为　　 A． B．1 C． D． 【解答】解：，， （当且仅当时取“ “，故选：． 例2．已知正实数，满足，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【解答】解：正实数，满足，， ，当且仅当，时，取得最小值，故选：． 例3．若，，且，则的最小值为　 　． 【解答】解：由题意若，，且，可令，，则， ，当且仅当，即，时等号成立，则的最小值为， 故答案为：． 【针对练习】 1．已知，均为正实数，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设，，则，， ，当且仅当时取等号，即的最大值为． 故选：． 2．已知，为正实数，则的最小值为　 　． 【解答】解：因为，，则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故答案为：． 3．已知，为正实数，则的最小值为　 　． 【解答】解：，为正实数，，令，则可知：当即时，函数取得最小值． 故答案为：． 4．设，且，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【解答】解：令，，则，，即有，可得 ，当且仅当，即，时取得等号，则的最小值是．故选：． 5．已知实数，满足，则的最小值为 　 　． 【解答】解：设，，则， ，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为，故答案为：． 6．已知正数，满足，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为，所以， 令，，，，，， ， 当且仅当，即，即，时等号成立，所以的最小值是．故选：． 7．若，，则的最小值是　　 A．16 B．18 C．20 D．22 【解答】解：根据题意，若，，则，， 则有， （当且仅当，时，等号成立），所以的最小值是20．故选：． 8．（多选）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是　　 A．若，则 B．若，，则最小值为 C．若，，， D．若实数，满足，，，则的最小值是 【解答】解：对于，若，，则，故错误；对于，，，， ，（当目仅当，即时取等号），即的最小值为，故错误；对于，，，．又， ，（当且仅当，即时取等号），故正确；对于，令，，则， ， （当且仅当时取等号），即的最小值是，故正确．故选：． 题型七：反解代入型：消元法 基本规律： 条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造 【典型例题】 例1．已知正数，满足，则的最大值为 　 　． 【解答】解：因为，所以，当时，，不符合题意，所以， 则，因为,则，所以， 则，当且仅当，即时取等号，所以 ,则的最大值为．故答案为：． 例2．已知，且，则的最小值为 　 　． 例3．若正数，满足，则的最小值是 　 ，此时　　 ． 【解答】解：，，， ，即，当且仅当，即时取等号，故答案为：2；2． 例4．若正实数，满足，则的最小值为　 　． 【解答】解：由可得：,所以,则 ,当且仅当,即时取等号，此时的最小值为,故答案为：． 【针对练习】 1．已知，，，则的最小值为　　 A．5 B．7 C．9 D．10 【解答】解：已知，，，则：，所以，由，得到时， ，故函数的最小值为7．故选：． 2．已知，，满足，则的最小值是 　 　． 【解答】解：因为，，则由可得，所以 ，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值为， 故答案为：． 3．（多选题）已知正实数，满足，且恒成立，则的取值可能是　　 A． B． C．1 D． 【解答】解：，，又，则，， ，当且仅当时等号成立，， 又恒成立，，解得．故选：． 4．已知，，，则的最小值为 　 　； 【解答】解：，，，，，，， ，，，， ，，， ，当且仅当时，即时取等号， 故的最小值为，故答案为： 5．（多选题）若，，，则下列说法正确的有　　 A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值是 【解答】解：，，，，，，当且仅当时取等号，，同理，，错误，，当且仅当时取等号，的最大值为，正确，，当且仅当，时取等号，的最小值为，正确，，，当且仅当，时取等号，，的最大值为，正确，故选：． 题型八：因式分解型 特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 【典型例题】 例1．非负实数，满足，则的最小值为　 　． 【解答】解：由，得，即．又 ，所以，即，则或（舍去），所以． 当且仅当，即、时等号成立．所以的最小值为2．故答案为：2． 例2．已知，，且，则的最小值等于　 　 【解答】解：，，且，即有，即， 可得，当且仅当时，上式取得等号，即有的最小值为．故答案为：． 例3．已知，，且，则的最小值是　 　． 【解答】解：令，则，化为：，因为，，所以，即，，解得．的最小值是．故答案为：． 【针对练习】 1．已知，，，则的最小值为 　 　． 【解答】解：，，，（当且仅当，即，时取等号），故答案为：3． 2．已知，，且满足，则的最小值为 　 　． 【解答】解：，由，，可得． 当且仅当，即，时等号成立，则的最小值为7．故答案为：7． 3．已知，为实数，且，则的最小值为　 　． 【解答】解：，为实数，且，则， ，，故答案为：． 4．已知正实数，满足，则的最大值为 　 　；的最大值为 　 　． 【解答】解：（1）因为正实数，满足，所以，整理得，当且仅当，时，等号成立，所以的最大值为；（2）， 当且仅当时等号成立，又，故，当且仅当，时，等号成立，所以的最大值为；故答案为：． 5．已知正实数，满足，则的最小值为 　 　． 【解答】解：因为正实数，满足，即， 则，当且仅当且时取等号，此时取得最小值．故答案为：． 6．已知，则的最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 【解答】解：∵4x4+9x2y2+2y4＝4，∴（4x2+y2）（x2+2y2）＝4，∴4x2+у2＝，∴5x2+3y2＝（4x2+y2）+（x2+2y2）＝+（x2+2y2）≥2＝4．当且仅当＝x2+2y2，即x2＝，y2＝时取等号，∴5x2+3y2的最小值是4．故选：D． 7．若，，均为正数，且，则的最小值为　　 A． B．4 C． D． 【解答】解：由可得，因为， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．故选：． 题型九：均值用两次 基本规律：两次均值，逐次消去，取等条件一致 【典型例题】 例1．若，，均为正实数，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为，，均为正实数， 则， 当且仅当且，即时取等号，则的最大值为．故选：． 例2．设正实数，满足，不等式恒成立，则的最大值为　 ． 【解答】解：设，得，令，得，则，；那么： ；当且仅当，即，时取等号； 的最小值为8，即的最大值为8．故答案为：8． 例3．已知，，则的最小值为　 ． 例4．若，，均为正实数，满足，则的最小值为 ． 【针对练习】 1．已知正实数，，满足，则的最小值为　 　． 【解答】解：因为，即，所以，当且仅当即时取等号， 故的最小值为2．故答案为：2 2．若，，，则的最小值为 　 　． 【解答】解：，，，则，当且仅当且时，取得最小值8，故答案为：8． 3．已知、、、均为正实数，且，则的最小值为　　 A．3 B． C． D． 【解答】解：由题意可得， 当且仅当且时，取得最小值，故选：． 4．已知正实数，，，满足，且，则的最小值是　　 A．1 B． C．2 D． 【解答】解：由，得，又，则， 令，，则，且，所以， 当且仅当，，即时取等号．故选：． 5．已知实数，，满足，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：，，①当且仅当时取等号，同理可得，②，，③①②③可得，， ，当且仅当时取等号，又， ，故选：． 6．已知正实数，，，，则的最小值为 　 　． 【解答】解：由题意，，又， 所以原式，当且仅当，即，时等号成立，又，当且仅当，即时等号成立，所以，的最小值为．故答案为：． 7．设，那么的最小值是 　 　． 【解答】解：由于，故，所以， 故，当且仅当，时，等号成立，故的最小值为16． 故答案为：16． 8．若，，，则的最小值为　 　． 【解答】解：【解法一】，，，， 当且仅当，即，即，或，时取“”；上式的最小值为4． 【解法二】，，，，当且仅当， 即，即，或，时取“”；上式的最小值为4．故答案为：4． 9．已知，，且，则的最小值为 　 　． 【解答】解：，，，，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当，即，时等号成立，的最小值为2．故答案为：2． 10．已知，，，则的最大值为　 　． 【解答】解：因为，，，当且仅当时取等号，解得，令，则，则，当且仅当，即，此时且，即时取等号，所以的最大值为．故答案为：． 11．已知，，则的最小值为 　 　． 【解答】解：，，则 ，根据基本不等式可得，，当且仅当，即时取等号， ，当且仅当，即时取等号，同理，，当时取等号，所以 ，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8． 题型十：换元型 基本规律： 1．二次配方型，可以三角换元 2．和前边分母构造换元一样，可以代数换元，如例2 3．齐次分式同除型，可以代数换元，如例4 【典型例题】 例1．已知实数，满足方程，则的最大值为　　 A．2 B．4 C． D． 【解答】解：，方程可化为．令，，则有则故选：． 例2．若，且，则的最小值为 ． 例3．已知，，则的最小值为 ． 例4．已知，为正实数，则的最小值为 　 　． 【解答】解：，为正实数， ，当且仅当时取等号．的最小值为：． 故答案为：． 【针对练习】 1．设，，若，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设，则，因为，所以 ，所以，当且仅当时取等号， 解得，则．故选：． 2．（多选）已知正数，满足，下列说法正确的有　　 A．的最大值为1 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为2 【解答】解：对于：由正数，满足，得，当且仅当，时取等号，故正确；对于，所以，的最大值为；当且仅当，时取等号，故错误；对于，当且仅当，时取等号，故正确；对于：方法一：，当且仅当取等号，当，时第二个等号成立，故两个等号不能同时成立，故，故错误．方法二：，令，则， 又，所以，所以，故，当且仅当，时取等号，故错误．故选：． 3．已知实数，，则的最小值为 　 　． 【解答】解： ，，，当且仅当时等号成立，即的最小值为．故答案为：． 4．已知实数，，则的最小值为 　 　． 【解答】解：因为实数，， 所以， ，，所以，当且仅当时取等，即的最小值为，故答案为：． 5．已知，，，则的最小值是　　 A．2 B． C． D． 【解答】解：，，，且，， 设，，则，当且仅当，即时取等号， 的最小值为，即的最小值是．故选：． 题型十一：“和”与所求和系数不一致型 基本规律： 1．可以简单的反解代入消去，如例1 2．可以整体配凑构造（换元），如例2 3．可以“无中生有”构造消去，如例3 4．也可以因式分解，参考题型八 【典型例题】 例1．已知，，且，则的最小值为　　 A． B． C．5 D．9 【解答】解：，，且，则，，， ，当且仅当，即时取等号．的最小值为．故选：． 例2．若正实数，满足，则的最小值是　 　． 【解答】解：根据题意，若， 则； 又由，则有， 则； 当且仅当时，等号成立；即的最小值是；故答案为：． 例3．已知正实数，，满足，求的最小值。 例4．已知正实数，，满足，求的最小值。 【针对练习】 1．若正数，满足，则的最小值是　 　． 【解答】解：因为正数，满足，所以，所以， 则，当且仅当，即时取等号， 故则的最小值．故答案为：． 2．已知，，且，则的最小值等于 　 　． 【解答】解：，，且，可得，即，则 ，当且仅当时，即时上式取得等号，即有的最小值为．故答案为：． 3．已知实数，满足，且，则的最小值为　　 A．1 B． C．4 D． 【解答】解：，，，，， ，当且仅当，即，时取等号，的最小值为4，故选：． 4．已知实数，，，则的最小值是　 　． 【解答】解：，，且，，，当且仅当，即时取等号，的最小值是．故答案为：． 5．已知，，均为正数，且，则的最小值为　 　． 【解答】解：根据题意，，则，则 ，当且仅当时，等号成立； 则的最小值为8；故答案为：8． 6．设，，则的最小值为　 　． 【解答】解：，，，，，（当且仅当时取等号），，故当时，的最小值为．故答案为：． 7．若，，且，则的最小值为　　 A．9 B．3 C．1 D． 【解答】解：，，且， ，当且仅当时等号成立， ，故，即的最小值为1．故选：． 题型十二：“均值裂项”凑配型 基本规律： 利用轮换和对称特征，适当的裂项构造均值。 例1．已知实数，，不全为0，则的最小值是　 ，最大值是 　． 例2．不等式对任意正数，，恒成立，则的最大值是 　． 例3．已知实数，，满足，，则实数的取值范围是 　． 例4．已知，，，且，则的最小值为　 　． 【解答】解：，，，且，则， 由，可得，当且仅当时，取得等号． 则原式．当且仅当时，取得等号．则所求最小值为．故答案为：． 【针对练习】 1．已知，，，且，则的最小值为 　 　． 【解答】解：因为，，，所以， 当且仅当且，即，时取等号，因为， 所则， 当且仅当，即时取等号．故答案为：． 题型十三：整体化同乘方程型 例1．已知实数，满足，且，则的最大值为　 　． 【解答】解：令，，， ，，，解得， 的最大值为9 故答案为：9． 例2．已知正数，满足，则的最大值为　 　． 【解答】解：因为，所以 即，化简得 因为，（当且仅当 时取等号）所以（1）式化为 即解得，由，解得所以 当，时，的最大值为8． 例3．已知，为正数，且，则的最大值为　 　． 【解答】解：，， ，，即时取等号）， ，的最大值为8，此时．故答案为：8． 【针对练习】 1．已知正实数，满足，则的最小值为　　 A． B．2 C． D． 【解答】解：正实数，满足，，， ，当且仅当，即，又，当且仅当时，取得等号，，解得，的最小值为．故选：． 2．已知，为正实数，且，则的最小值为　　 A．6 B．8 C．9 D．12 【解答】解：因为，为正实数，且，则 ，当且仅当时取等号，此时，解得或（舍去），所以的最小值为8，故选：． 3．已知正数，满足，则的最小值与最大值的和为　　 A．6 B．5 C．4 D．3 【解答】解：因为，当且仅当时取等号，所以，所以，又，所以，即，解得，． 所以的最大值与最小值的和为5．故选：． 4．已知，，，则的取值范围为 　 　． 【解答】解：设，，则，， 当且仅当，即时，等号成立，或（舍去）．故答案为：，． 5．已知，，且，则的取值范围是 　 ． 【解答】解：因为，所以，所以， 因为，，所以由，当且仅当时，等号成立，设，则，即，即，解得或（舍去），所以的取值范围是，， 故答案为：，． 6．（多选）已知，，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设，所以，又因为，当且仅当等号成立，即，又因为，所以等号不成立，即，，所以，即，解得，所以，所以选项正确．因为，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，所以选项正确． 因为，因为，又因为，所以，所以．即，所以选项错误．因为函数在单调递减，所以当时，所以选项错误，（该选项也可直接利用特值思想验证即，．本题选：． 7．（多选）已知正实数、满足，则下列说法正确的是　　 A．的最大值为 B．的最大值为9 C．的最小值为 D．的最小值为1 【解答】解：设，，因为，所以，所以， ，当且仅当且，即或时取等号，此时，解得，．故有最大值9，最小值1．故选：． 题型十四：三元最值型 基本规律：求谁设谁，构造方程用均值 【典型例题】 例1．已知实数，，满足，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：由，得，即． ．（当且仅当时取等号）；又，， ．则的取值范围是，．故选：． 例2．若实数、、，且，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：， ， 所以，故选：． 例3．已知正实数，，，满足，则最大值为　 ，的最大值是　 　． 例4．若正实数，，满足，，则的最大值为 　 　． 【解答】解：，，，，，， ，的最大值．故答案为： 例5．已知，则的最大值为 　 　． 【针对练习】 1．已知正实数，，满足，，则的最大值为　　 A． B． C． D．2 【解答】解：由题意得，，代入到得， 整理得，即时，取得最大值．故选：． 2．已知，，且，则的最小值是　 　 【解答】解：，因为，所以， 所以． 当且仅当，，时等号成立．故填：24． 3．若正实数，，满足，，则的最大值为 　 　． 【解答】解：因为，所以，因为，所以，因为， 即，因为，均为正数，所以，解得，令，所以，所以，所以当时，有最大值为4，故答案为：4． 4．已知，，且，则的最小值为 　 　． 【解答】解：，，，，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当，即，时等号成立，的最小值为2．故答案为：2． 题型十五：恒成立求参数型 【典型例题】 例1．对任意正实数，不等式恒成立，则　　 A．实数有最小值1 B．实数有最大值1 C．实数有最小值 D．实数有最大值 例2．已知正实数，满足，，不等式恒成立，则的最大值为 　． 例3．已知正实数，满足，若不等式对，，恒成立，则实数的取值范围是 　． 例4．已知正数、，若，则实数的最大值为　 　． 【针对练习】 1．正数，满足，若不等式对，恒成立，则实数的取值范围是 　 ． 【解答】解：因为，，且，则，当且仅当，即，时取等号，故的最小值为16，不等式对，恒成立，即对，恒成立，即对，恒成立，即， 函数在，上单调递增，所以当时，函数取得最大值， 故实数的取值范围，． 2．对任意正数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C．， D． 【解答】解：令，则，则 若恒成立，则即实数的取值范围是故选：． 3．设任意正实数，，满足，不等式对任意正数，，恒成立，则实数的取值的最大值是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：不等式对任意正数，，恒成立不等式对任意正数，，恒成立．， ，当且仅当时取等号． ，，实数的取值的最大值是7，故选：． 4．若正实数，满足，且存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围为　　 A．， B．， C．，， D．，， 【解答】解：正实数，满足， ，舍去） 存在实数，使不等式成立，或，故选：． 5．对任意，存在，，使得不等式成立，则实数的最大值为　　 A．2 B．5 C．4 D．3 【解答】解：由，得，当时，取得最小值，所以．因为，所以． 因为函数在，上单调递增，所以的最大值为（4），所以实数的最大值为3．故选：． 6．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 　 　． 【解答】解：正实数，满足，则． 当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值16，因为不等式 恒成立，则，解可得．故答案为： 7．已知正数、，若，则实数的最大值为　 　． 【解答】解：根据，时，可得：，可得．，，可取，， 则．当且仅当时取等号．则实数的最大值为．故答案为：． 8．（1）已知，，求的最大值； （2）求满足对，有解的实数的最大值，并说明理由． 【解答】解：（1），，，当且仅当时，对等号， 当时，的最大值为． （2），，，，，，， 满足对，有解的实数的最大值，， ，解得，满足对，有解的实数的最大值为． 9．设对一切，都成立，求的最小值． 【解答】解：由题意，，，恒成立故有即 由于，解得则的最小值是：． 题型十四：万能“k”法 适用题型：k法后能化成一元二次方程的不等式题型； 方法原理：利用一元二次方程有实数根时； 解题步骤：⑴问谁设谁：求谁，谁就是k；并找出变量具体范围； ⑵代入整理：整理成某个变量的一元二次方程； ⑶确认最值：方程有实数根时，解出最值并把k代入方程验证; 若根在对应变量范围则即为所求； 若根不在对应变量范围则转化成方程实根分布问题求解（少数题目需要此种方式处理，所以遇到数据很难验证时合理变通）； 【典型例题】 例1．已知正实数，满足，则的最小值________． 例2．若，满足，则的最大值是______． 例3．已知正实数、满足，则的最小值为_______． 例4．已知，，，则的最大值为________． 例5．已知，且，则的最大值_______ 例6．已知正实数满足，则的最小值是__________． 例7．实数满足，则的最小值是__________． 例8．已知，为实数，满足，则的最小值是______． 例9．已知实数、满足，则的最小值为__________. 例10．若实数满足，则的最小值为______． 例11．已知实数满足，则的最大值是___________. 例12．已知，若，则的最小值是___________. 例13．已知，若，则的最小值是（       ） A．8 B．7 C．6 D．5 【详解】解：设，则，∴∴整理得：，由得，当且仅当时取“=”.∴，解得或（舍去）,即当时，取得最小值8，故选：A. k法不万能 不万能原因：上述做法默认的是二次函数在R上有零点从而，但实际函数里面的变量范围不一定是R，很多时候变量都有限制，所以相当于二次函数在某个区间上有零点，那么如果直接用计算的答案就有可能出错；这种题目不多，导致有些同学认为k法万能； 正确做法：变成实根分布进行讨论处理； 例1．已知，求的最大值为_______. 【针对练习】 1．已知，为实数，若，则的最大值为______． 2．已知实数、满足，则的最小值是______． 3．已知实数、满足，则的最小值为__________. 4．已知实数、满足，则的最小值是______． 5．已知实数x，y满足，则的最小值是______． 6．已知实数x，y满足，，且，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】，，令，，，当且仅当时取等号，可得，，，，，的最小值为.故选：A 7．已知，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【详解】，两边同时乘以“”得：，所以，当且仅当时等号成立，令，所以，解得或，因为，所以，即，故选：B. 已知，求的最大值为_______. 7．已知，求的最大值为_______. 一 学科网（北京）股份有限公司 $$